1. Введение

В настоящее время в лаборатории «Электромагнитные явления» действует лабораторная установка по моделированию электростатических полей. Она позволяет решать все учебные вопросы, однако, включает в себя громоздкие приборы и требует значительного места. Целью данной работы является разработка предложений по модернизации этой установки с целью экономии места без ухудшения её качества.

2.Глава I. Теоретические основы.

2.1 Общие теоретические замечания

Понятие поля — одно из основных понятий современной! физики. Если поле создается электрическими зарядами, на­ходящимися в покое, то это поле называют электростатическим.

В основе теории электростатического поля лежит закон Кулона, являющийся обобщением данных опыта. Этот закон выражает силу взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, расстояние между которыми r, и в векторной форме записывается в виде:

здесь — сила, действующая на заряд q₁ ; — сила, действующая на q₂ ; - единичный вектор, направленный от q₂ к q₁; = — электрическая постоянная.

Электростатическое поле характеризуется напряженно­стью электрического поля Е — величиной, численно равной силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, и направленной в сторону действия силы.

Если электрическое поле образуется несколькими заряда­ми, то, как показывает опыт, напряженность результирую­щего поля определяется векторной суммой напряженностей, создаваемых отдельными зарядами (принцип суперпозиции электрических полей).

Одним из распространенных способов представления электрического поля является изображение его с помощью силовых линий (линий напряженности). В электростатическом поле силовым линиям приписывается такое направление, что они всегда выходят из положительных зарядов и заканчиваются на отрицательных зарядах, представляя собой гладкие кривые. Условились проводить эти линии так, чтобы линий, отнесенных к единице площади поверхности, расположенной перпендикулярно к ним, было равно величине напряженности поля в данном месте.

Основное соотношение между зарядами, создающими поле, и напряженностью выражается теоремой Гаусса—Остроградского. Для формулировки этой теоремы необходимо определить величину, называемую потоком вектора напряженности поля Ф через поверхность S:

,

Где - проекция вектора на направление нормали к поверхности S.

Если источником поля являются отдельные точечные заряды q_i то закон Гаусса—Островского утверждает, что поток электрического поля E через произвольную замкнутую поверхность будет равен:

(2)

Здесь — алгебраическая сумма всех зарядов, окруженных 'замкнутой поверхностью S. Если источником электрического поля является распределение заряда с объемной плотностью по объему V, ограниченному поверхностью S, то

(3)

Соотношения (2) и (3) представляют теорему Гаусса—Остроградского в интегральной форме. Эту теорему можно представить и в дифференциальной форме, устанавливающей связь между плотностью заряда и электрическим полем в одной точке пространства

, (4)

где скалярная функция в декартовых координатах выражается равенством

(5)

Электростатическое поле обладает той особенностью, что работа сил этого поля на пути между двумя произвольными точками зависит только от положения этих точек и вовсе не зависит от формы пути. Это дает возможность ввести рассмотрение понятие потенциала электрического поля. Электрический потенциал измеряется работой электрически сил по перемещению единицы положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Следует помнить, что физический смысл имеет только разность потенциалов, так как работа определяется между началом и концом пути. Поскольку потенциал есть скаляр, то описание электрического поля этой характеристикой проще и удобнее, чём при помощи напряженности поля.

Из потенциального характера электростатического поля вытекает важная связь потенциала с напряженностью поля

(6)

где выражение носит название градиента скаляра и является вектором, направленным в сторону, максимального возрастания этой функции. Знак минус в уравнении (6) показывает, что электрическое поле направлено из области положительного потенциала в область отрицательного потен­циала. В декартовой системе координат:

где , , — единичные векторы по соответствующим осям координат.

Электрическое поле может быть изображено графически с помощью эквипотенциальных поверхностей и линий. Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек с определенным значением потенциала . Пересекаясь с плоскостью чертежа, эти поверхности дают эквипотенциальные линии. Если строить эквипотенциальные линии, соответствующие определенному приращению потенциала, то по картине таких линий можно получить представление о поле: где эквипотенциальные линии располагаются гуще, там больше напряженность поля.

Так как вектор Е направлен противоположно вектору градиента потенциала, то вдоль электрических силовых линий потенциал изменяется наиболее быстро, т. е. силовые линии нормальны к эквипотенциальным поверхностям или линиям. Если известен потенциал как функция пространственных координат, то его дифференцированием можно вычислить напряженность электрического поля по формуле (6).

В электростатике многие реальные задачи сводятся к нахождению потенциала в зависимости от х, у, z. Получим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция (х; у; z). Для этого в соотношение (4) подставим величину из формулы (6):

или в координатной форме:

Если ввести так называемый оператор Лапласа (или лапласиан)

а уравнение (9) запишется в краткой форме

(10)

Уравнение (10) называется уравнением Пуассона. Всюду, где = 0, т. е. в пространстве, не содержащем электрических зарядов, потенциал должен удовлетворять уравнению

0 (11)

которое называется уравнением Лапласа. Это уравнение находит применение во многих разделах физики. Основная задача электростатики заключается в определении функции ,удовлетворяющей уравнению (11), а также определенным граничным условиям (например, заданы потенциалы на проводниках образующих, исследуемую электростатическую систему). В математике доказывается, что такая задача не

может иметь более одного решения. Нахождение этого решения, вообще говоря, очень сложная задача. Но если удалось найти функцию (х; у; z), то можно утверждать, что она является единственным решением задачи.

В большинстве реальных электронно-оптических систем, находящих широкое применение в современных электронных приборах, вследствие довольно сложной конфигурации электродов, формирующих электронные потоки, электрическое поле не поддается аналитическому расчёту. В таких случаях для получения необходимых данных, например, для построения траекторий электронов, движущихся в сложных полях, приходится прибегать к методам непосредственного измерения электростатических полей или к их моделированию.