2.4 Изучение электростатического поля методом электролитической ванны

2.4.1 Теоретические замечания

Моделирование электростатических полей при помощи электролитической ванны основано на подобии полей задан­ной системы электродов, находящейся в вакууме, и ее уве­личенной модели, погруженной в однородный электролит. В качестве электролита обычно используется водопроводная во­да или слабые растворы некоторых солей. Докажем это. В вакууме при отсутствии в изучаемом поле объемных зарядов распределение потенциала задается уравнением Лапласа

(1)

и граничными условиями. Граничные условия определяются формой электродов и приложенными к ним потенциалами. Оказывается, что поле электрического тока в электролите подчиняется также уравнению Лапласа. Действительно, используя основные уравнения, определяющие прохождение тока. через электролит, а именно дифференциальный закон Ома

,

где — плотность тока, — удельная проводимость электролита, уравнение непрерывности тока

div = 0

и принимая во внимание связь напряженности поля с потенциалом,

,

Найдём

,

Откуда при условии постоянства следует

.

Следовательно, если граничные условия в вакууме и электролите подобны, то будут подобны и поля. Обычно электроды реальных электронно-оптических систем имеют небольшие геометрические размеры и довольно высокие относительно друг друга рабочие потенциалы. Поэтому при изго­товлении и исследовании моделей этих систем широко пользуются принципом подобия электростатических полей, сущность которого заключается в том, что если линейные размеры или потенциалы всех электродов системы изменить в определенное число раз, то картина поля в новой системе будет подобна картине поля исходной системы. Это является следствием однородности уравнения Лапласа относительно потенциала и координат. Следовательно, размеры электродов модели всегда могут быть пропорционально увеличены, а по­тенциалы их уменьшены по сравнению с размерами и потенциалами электродов реальной электронной системы.

Наиболее просто на электролитической ванне исследовать двумерные электрические поля. В этом случае достаточно исследовать распределение потенциала в любой плоскости, перпендикулярной электродам. Для исследования таких полей можно применять неглубокую ванну и ограниченного размера модели электродов (рис.1: 1 - ванна, 2— электролит, 3— модели цилиндрических электродов, 4 — зонд). Наличие границ раздела двух сред по обеим сторонам электролита (сверху - воздух, снизу — дно ванны) не искажает распределение полей, так как в двумерном поле все силовые линии и линии тока лежат в плоскостях, перпендикулярных к электродам, а поверхность электролита и является одной из таких плоскостей. Например, в системе, показанной на рис. 1, достаточно перемещать измерительный зонд 4 по поверхности электролита 2, в котором находятся электроды 3.

рис. 1

В ряде частных случаев трудная задача по определению электрического поля проводников заменяется более простой задачей, если ввести в рассмотрение заряды, являющиеся «зеркальным» изображением реальных зарядов в проводящей среде. Этот метод получил название метода электрических изображений. В настоящей работе справедливость метода изображений проверяется на основе изучения полей двух моделей: двухпроводной линии и провода над проводящей плоскостью

Теоретический расчёт поля модели «провод над плоскостью» весьма труден. Однако если воспользоваться методом электростатического отражения и рассмотреть двухпроводную линию, то рассчитать поле такой системы окажется задачей простой. Такой расчёт становиться совсем лёгким, если при вычислении потенциала выбрать путь интегрирования в виде прямой линии, соединяющей оси проводов. Вид, рассматриваемой системы показан на рис.2

рис.2

Если расстояние l сравнимо с радиусом а провода, то распределение зарядов на поверхности проводов будет неравномерным, а вычисление поля сложным. Поэтом будем рассматривать случай l<<a. Напряжённость поля в какой-либо точке x на выбранной линии сложится из напряжённости

,

Создаваемой положительным проводом, и напряженности

Отрицательно заряженного провода; здесь - заряд на единицу длины провода. Таким образом

.

Разность потенциалов между левым проводом и точкой x:

.

Полная разность потенциалов между проводами

.

Относительный потенциал в точке

(2)