2.2 Электрическое моделирование.

Известно, что распределение потенциала электростатического поля в вакууме описывается уравнением Лапласа:

(1)

Эта математическая модель предполагает наличие зарядов только на поверхностях, определяющих конфигурацию системы электродов, создающих поле и отсутствие зарядов вне этих поверхностей.

Известно также, что в слое однородного проводящего вещества (электролита) распределение потенциала описывается также уравнением Лапласа. Это дает основание утверждать, что при подобных граничных условиях решение этого уравнения для вакуума и электролита также будут подобны. Каковы же критерии требуемого подобия? Для объема, не содержащего свободных зарядов в непроводящей среде справедливо соотношение

DivD = 0 (2)

Для объема проводника (электролита), не содержащего источников тока, справедливо похожее соотношение:

Div J = 0 (3)

Известно также, что D=E, j=E, a E=-grad.

С учетом этих соотношений выражений (2) и (3) можно переписать в виде:

div(-grad=0 (2’)

div(-grad=0 (3’)

Для однородных сред =Const и =Const, поэтому

- div grad = 0 (2’’)

-div grad = 0 (3’’)

Внеся константы под знаки дифференцирования и обозначив потенциал в непроводящей среде _н, а в проводящей _п получим:

Div grad (_n) = 0 (4)

Div grad (_n) = 0 (5)

Из сопоставления математических моделей (4) и (5) сразу вытекает первый критерий подобия:

_n = _n(6)

Полученное равенство приводит к выводу, что одна и та же система электродов в непроводящей среде образует диэлектрическую ёмкость С, а в проводящей — проводимость G, связанных отношением

(7)

Другие критерии подобия рассмотрим на примере плоской (двумерной) задачи. Известно, что

Рассмотрим случай, когда

 = k

x = Ml

y = Mn

 (8)

Если k=_max, то  безразмерно, и его можно считать относительным потенциалом.

Из (8) видно, что для систем, геометрически подобных ( x и y изменим в M раз) распределение относительного потенциала неизменно. Поэтому вторым критерием подобия является геометрический масштаб, а третьим — масштаб изменения потенциалов на электродах. Изложенное служит теоретическим основанием для реализации принципа электролитической аналогии при физическом моделировании задач, описываемых уравнением Лапласа. К таким задачам относятся: метод электроаналогий для расчёта электрической ёмкости; построение траектории заряженной частицы, влетающей в область электростатического поля; анализ опасных зон при проектировании изоляторов в электротехнических установках; моделирование процессов фильтрации через грунты разной проницаемости, моделирование стационарных тепловых полей в деталях тепловых машин. Рассмотрим некоторые примеры.

2.3 Примеры использования электролитической ванны для решения прикладных задач.

2.3.1 Метод электроаналогий для расчета электрической ёмкости.

Выражение (7) можно использовать для аналитического исследования поведения ёмкости конденсатора, например, при деформации образующих его электродов. Рассмотрим данный метод снова на примере цилиндрического конденсатора.

“Вырежем” из слоя электролита сектор с углом dx. Отметим, что проводимость всей модели равна сумме проводимостей секторов dG:

(17)