физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
где F – упругая сила; S – площадь сечения тела.
F mg ,
где m – масса кирпича.
Массу кирпича определим по формуле:
m 
V ,
где - плотность кирпича, V – занимаемый объем. Так как объем
V h 
S ,
где h – высота стены, S – площадь горизонтальной поверхности кирпича,
m 
h 
S .
Имеем:
h S g |
h g . |
(1) |
|
|
|||
S |
|||
|
|
Запас прочности
з |
|
, |
|
|
|||
k |
|||
|
|||
где k - коэффициент запаса прочности.
C учетом коэффициента запаса прочности формулу (1) перепишем в
виде:
|
|
|
|
|
h |
S |
g |
h |
g . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k |
|
S |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим высоту кирпичной |
стены |
|
с учетом заданного |
||||||||||
коэффициента запаса прочности кирпича: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
g |
|
|
|||
Проверка размерности расчетной формулы: |
|||||||||||||
|
|
|
Н |
м3 |
с2 |
|
кг |
м с2 |
|||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
м2 |
кг |
м |
|
с2 |
кг |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисление:
h |
|
6 10 |
4 |
0,6(м) . |
|
|
|
||
|
2 103 |
|
||
6 |
9,8 |
|
||
Ответ: при запасе прочности k 6 высота кирпичной стены должна быть равна 0,6 м.
|
Задача 2. Предел упругости отпущенной стали |
у |
5,72 108 Па . Будет |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
деформация упругой |
или |
остаточной, если стальная |
|
проволока длиной |
|||
L |
3м и сечением S |
1,2мм2 под действием растягивающей силы удлинится |
|||||
на |
l 8мм. Какой силой была вызвана эта деформация? Модуль Юнга для |
||||||
стали E 200ГПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
3м , |
|
|
|
|
|
|
S |
1,2мм2 |
1,2 10 4 м2 , |
|
|
||
|
l |
8мм |
8 10 2 м , |
|
|
||
|
E |
200 ГПа |
200 109 Па . |
|
|
||
______________________
Установить вид деформации (упругая или остаточная).
F ?
Решение
Определим напряжение материала по закону Гука для продольного растяжения:
|
|
E , |
|
|
где |
L |
- относительное продольное растяжение, |
L - изменение |
|
L |
||||
|
|
|
длины тела при растяжении, L - длина тела до деформации.
E 
LL .
Проверка размерности расчетной формулы:
Па 
мм Па .
Вычисление:
200 109 |
|
8 10 2 |
5,333 109 (Па) . |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Так как предел упругости |
отпущенной стали |
у |
5,72 108 |
Па , что |
||
|
|
|
|
|
|
|
меньше полученного значения напряжения, деформация будет остаточной. Рассчитаем силу, которой была вызвана деформация, для этого
воспользуемся формулой для напряжения упругой деформации
FS ,
Где F - растягивающая сила, S - площадь поперечного сечения.
F |
S 5,333 109 |
Н |
1,2 10 4 м2 |
6,4 105 Н . |
|
м2 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: деформация под действием растягивающей силы, равной 6,4 
105 Н , будет остаточной.
Задача 3. При океанологических исследованиях для взятия пробы грунта со дна океана на стальном тросе опускают особый прибор. Какова предельная глубина h погружения? Массой прибора пренебречь. Предел
прочности |
стали |
|
|
|
|
500МПа, плотность морской воды |
|
1030 |
кг |
, |
||||||||
п |
|
|
в |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
7800 |
|
кг |
|
|
|
|
|||||||||
плотность стали |
с |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
м |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
п |
500МПа; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1030 |
|
кг |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7800 |
|
кг |
|
|
|
|
FA |
|
|
|
|
|||||
|
с |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
м |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
_____________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
? |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
mg
Рис.
Решение
Предельная глубина погружения |
прибора будет равна максимальной |
|
|
длине троса. На трос в воде действуют две силы: сила тяжести mg троса |
|
(массой прибора пренебрегаем) и Архимедова сила |
|
FА |
в gV , |
где в - плотность воды, g – ускорение свободного падения, V - объем |
|
погруженной части троса |
|
V |
S l , |
где S – площадь сечения троса, l – длина троса. Массу троса определим по формуле
m 
c 
V 
c 
S 
l ,
следовательно, сила тяжести троса
mg 
c 
S 
l 
g .
Результирующая сила, действующая на трос, равна:
F mg FA ;
F |
c S l g в g S l gSl c |
в . |
Предельное напряжение, которое выдержит трос
|
F |
|
gSl( c |
в ) |
gl c |
в . |
(1) |
п |
S |
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (1) определяем длину троса, равную предельной глубине погружения прибора:
l |
|
|
|
п |
|
. |
|
|
g |
|
|
|
|||
|
|
c |
|
в |
|||
|
|
|
|
||||
h |
|
|
п |
|
|
. |
|
g |
|
|
|
||||
|
|
c |
|
в |
|||
|
|
|
|
||||
Проверим размерность расчетной формулы:
|
Па |
|
Н с 2 кг |
м2 с 2 |
|||
h |
|
|
|
|
|
|
м |
(м / с 2 ) (кг / м3 ) |
|
м2 кг с 2 |
|
||||
|
|
м кг |
|||||
.
Вычисления:
h |
|
500 106 Па |
7,2 103 |
м . |
||
9,8м / с2 |
7800кг / м3 |
1030кг / м3 |
||||
|
|
|
||||
Ответ: предельная глубина погружения равна 7,2
103 м.
Решение задач по теме «Элементы специальной теории относительности»
Задача 1. Протон имеет импульс 988 МэВ/с. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону для того, чтобы его импульс увеличился вдвое?
Дано:
E |
0 |
938МэВ |
938 106 эВ; |
|
|
|
|
P |
|
988МэВ / с |
988 106 эВ / с; |
1 |
|
|
|
P2 2P1 .
__________ __________ ______
T ?
Решение.
Сравнивая импульс протона с его комптоновским импульсом
P0 m0 c |
938МэВ/ с , |
|
|
можно заметить, что p>p0 , т.е. для решения задачи необходимо |
|||
пользоваться формулами релятивистской механики. |
|
||
Связь между полной энергией и импульсом частицы имеет вид: |
|
||
|
|
|
|
E |
E02 pc 2 , |
(1) |
|
где Е – полная энергия, |
|
|
|
E E0 T ;
Е0 - энергия покоя;
Е0 = m0c2 ;
Т - кинетическая энергия частицы; с - скорость света в вакууме. Определим кинетическую энергию Т из выражения (1)
2
Т 
E02 pc Е0 . (2)
По условию задачи импульс частицы возрастает вдвое, т.е. p2 = 2p1. Следовательно, протону необходимо сообщить дополнительную
кинетическую энергию
|
T T2 |
T1 , |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т 1 |
|
E02 |
p1 c 2 |
Е0 ; |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т 2 |
|
E02 |
p2 c 2 |
Е0 . |
|
|
Поскольку значения величин p1 |
и E0 заданы во внесистемных единицах, |
|||||
то их необходимо перевести в международную систему единиц СИ. Учитывая, что 1 МэВ = 1,6 ·10-13 Дж, получим:
P |
c |
988 106 1,6 10 13 1,58 10 10 Дж; |
1 |
|
|
P |
c |
2 1,58 10 10 3,16 10 10 Дж; |
2 |
|
|
E0 |
|
m0 c 2 938 106 1,6 10 19 1,5 10 10 Дж. |
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим:
T T 2 |
T 1 |
1,52 10 20 |
3,162 10 20 |
1,52 10 20 1,582 10 20 |
(3,5 |
2,18) 10 10 (Дж) |
1,3 10 10 Дж |
810 МэВ. |
|
Ответ: для того, чтобы импульс протона увеличился вдвое, ему необходимо сообщить кинетическую энергию, равную 810 МэВ.
Задача 2. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.
Дано: T |
1,02МэВ |
1,02 106 эВ ; |
||||
m |
|
9,11 10 |
31 кг; |
m |
|
0,00055а.е.м.; |
e |
|
|
e |
|
|
|
E |
0 |
8,16 10 14 Дж; |
E |
0 |
0,511МэВ. |
|
|
|
|
|
|
||
__________________________________ |
||||||
V |
? ; P |
? |
|
|
|
|
Решение.
По условию задачи кинетическая энергия электрона ( T 1,02МэВ ) больше энергии покоя электрона ( E0 0,511МэВ), следовательно,
рассматриваемый случай является релятивистским и для вычисления скорости электрона следует использовать релятивистскую формулу кинетической энергии
|
|
T |
E0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
V |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где E |
0 |
m C 2 - энергия покоя; |
C 3 108 |
м / с |
- скорость света; V - |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искомая скорость частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 V 2 |
, |
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
||||||
формула (1) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T |
E0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 . |
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выполним математические преобразования:
(2E0 T ) 
T .
E0 T
Вычисления по этой формуле можно проводить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число:
|
|
(2 0,511 106 эВ |
1,02 106 эВ) 1,02 10 |
6 эВ |
0,943 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,511 106 эВ |
1,02 106 эВ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Из формулы (2) определяем скорость электрона: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
C |
|
|
|
|
|
3 108 м / с 0,943 |
2,8 108 м / с . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Релятивистский импульс частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
V |
|
|
, |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
m0C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
V 2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где m0 - масса покоя частицы; |
|
V - скорость частицы. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
C 3 108 м / с |
- скорость света; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
9,11 10 |
|
31 |
кг 3 10 |
8 |
м / с |
|
|
|
0,943 |
|
7,7 10 |
22 кг |
м |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
(0,943)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: электрон движется со скоростью 2,8 108 м / с ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
импульс электрона 7,7 |
|
кг |
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания к контрольной работе № 1
101. Материальная точка движется под действием силы согласно уравнению Х = А + Вt + Ct2 + Dt3 , где С = 1 м/с2; D = - 0,2 м/с3. Определить,
в какой момент времени сила равна нулю.
102. Движение материальной точки задано уравнением Х = At + Bt2, где A=4м/с2; B = - 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.
103. Прямолинейное движение материальной точки описывается уравнением X = At + Bt3, где A = 2,0 м/с ; B = 0,04 м/с3. Определить величину средней скорости и среднего ускорения за первые 4 с движения.
104. Зависимость скорости тела от времени при прямолинейном движении дана уравнением v = 0,3 t2. Найти величину ускорения тела в момент времени 2 с и путь, пройденный телом за интервал времени от 0 до 2 с.
105. Прямолинейное движение двух материальных точек описывается уравнениями X1=A1+B1t+C1t2 и X2=A2+B2t+C2t2, где A1 =20 м ; B1=-2 м/с;
C1=4м/с2; A2=2 м; B2=2 м/с; C2=0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения в этот момент времени?
106. Точка движется по окружности согласно уравнению:
=A+Bt+Ct3, где A=2 рад; B=3 рад/с; C=1 рад/с3. Определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение точки в момент времени 1 с.
107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным 0,136 м/с2. Найти радиус колеса.
108. Колесо радиусом 0,3 м вращается согласно уравнению =5-2t+0,2t2. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение точек на ободе колеса через 5 с после начала движения.
109. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигает угловой скорости 2
рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
110. По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с2, вектор полного ускорения составляет в этот момент угол 600 с вектором нормального ускорения. Определить мгновенную скорость и тангенциальное ускорение точки в этот момент.
111. Какую скорость приобретает ракета массой 0,6 кг, если продукты горения массой 1,5·10-2 кг вылетают из ее сопла со скоростью 800 м/с?
112. Мальчик стоит на абсолютно гладком льду и бросает мяч массой 0,5кг. С какой скоростью после броска начнет скользить мальчик, если горизонтальная составляющая скорости мяча равна 5 м/с, а масса мальчика равна 20 кг?
113. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны после сцепки?
114. Человек и тележка движутся навстречу друг другу. Масса тележки 32 кг, масса человека 64 кг. Скорость тележки 1,8 км/ч, скорость человека 5,4 км/ч. Человек прыгает на тележку. С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться тележка с человеком ?
115. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду и застревает в песке. Определить скорость, которую получит платформа.
116. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью 3 м/с, в сторону, противоположную ее движению прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки 210 кг, масса человека 70 кг.
117. От двухступенчатой ракеты массой 1 т при скорости 1710 м/с отделилась еѐ вторая ступень массой 0,4 т. Скорость второй ступени при этом увеличилась до 1860 м/с. Определить, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты.
118. При горизонтальном полете со скоростью 300 м/с снаряд массой 9 кг разорвался на две части. Большая часть массой 7 кг получила скорость 450 м/с в направлении полѐта снаряда. Определить величину и направление скорости меньшей части снаряда.
119. С судна массой 750 т произведѐн выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60о к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
120. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определить скорость истечения