физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
V |
58 |
2,9 |
рад |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|||
R |
20 |
|
с |
|
||
Мгновенное угловое ускорение
d |
|
dt . |
(4) |
С целью нахождения углового ускорения определим зависимость угловой скорости от времени c учетом формул (2) и (3):
|
3t 2 |
|
|
8t |
7 |
; |
|||
|
R |
|
|
R |
|
R |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
3t 2 |
|
|
8t |
|
7 |
. |
|||
20 |
|
20 |
20 |
||||||
|
|
||||||||
Имеем:
6t |
8 |
; |
|||||
20 |
|
|
20 |
||||
|
|
|
|||||
|
3t |
|
|
2 |
. |
||
10 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|||||
Производим вычисления:
3 3 |
2 |
1,3 |
рад |
. |
|
|
|
|
|
||
10 |
|
5 |
|
с2 |
|
Ответ: путь, пройденный материальной точкой через три секунды после начала движения, составляет 71 м, угловая скорость равна 2,9 рад / с , угловое
ускорение равно 1,3 рад/ с2 .
Динамика материальной точки и абсолютно твердого тела
Алгоритм решения задач к разделу «Динамика»
1.Указать материальную точку.
2.Выбрать систему отсчета.
3.Выполнить чертеж, на котором указать:
а) некоторые состояния материальной точки и связанных с ней тел; б) назвать тела, действующие на материальную точку и показать
силы, возникающие в результате этих действий; в) указать направление вектора ускорения;
г) указать направление осей координат, сонаправив одну из них с направлением вектора ускорения.
4. Указать закон движения и записать векторное динамическое
уравнение движения материальной точки. |
|
|
||
В случае, если материальная точка движется с |
||||
a |
const . |
|||
|
|
|
|
|
Fi |
ma . |
|
|
|
5. Записать уравнение движения материальной точки в проекциях на оси координат.
6.Решить полученную систему уравнений.
7.Проанализировать ответ.
Примечание:
1) если в задаче рассматривается движение системы материальных точек, то все рассуждения надо провести для каждой из них отдельно и для каждой выбрать свою систему координат;
2) если в задаче учитывается трение, то воспользуйтесь формулой
Fтр 
N ,
где 
- коэффициент трения; N - величина силы реакции опоры;
3)если в задаче используются некоторые кинематические величины, то воспользуйтесь алгоритмом решения задач по кинематике.
4)если задача решается в общем виде и трением можно пренебречь, то выбор направления вектора ускорения не влияет на решение задачи.
Примеры решения задач по теме «Динамика материальной точки»
Задача 1. Определить ускорение движения грузов в устройстве с подвижным блоком, изображенного на рисунке.
Масса тел m1 = 4 кг, m2 = 3 кг. Массой нитей и блоков пренебречь.
Дано: m1 4кг; m2 3кг.
__________
a ?
Рис.
Решение.
С учетом того, что двойной блок дает выигрыш в силе в два раза, а ускорение левого груза в два раза больше (проигрыш в расстоянии), система уравнений в векторной форме для каждого из грузов будет иметь вид:
или, в проекциях на координатную ось ОУ, направленную вверх:
Решая данную систему уравнений, получим выражение для ускорения:
a |
g 2m1 |
m2 |
; |
|
|
||
|
4m1 |
m2 |
|
Проверка размерности расчетной формулы:
a |
|
g |
m |
|
м с 2 кг |
|
|
|
м |
; |
||
|
m |
|
|
|
|
кг |
|
|
|
с2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведем вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
9,8 |
2 4 |
3 |
2,6 |
|
м |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 4 |
|
3 |
|
|
с2 |
|
|||||
Ответ: ускорение, с которым движутся грузы рано 2,6м / с2 .
Задача 2. Конус с углом раствора 2α вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. В конусе находится шарик массой m, прикрепленной к внутренней поверхности конуса с помощью нити. Радиус окружности, по которой вращается шарик, равен R. Найти силу натяжения нити и силу давления шарика на конус. Трение не учитывать.
Дано: 2
- угол раствора конуса;
- угловая скорость вращения конуса;
m – масса шарика;
R – радиус окружности,
описываемой шариком.
__________________________________
Т ? N ?
Рис.
Решение.
На шарик действуют сила тяжести, направленная вниз, сила реакции опоры, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Из-за вращения конуса шарик описывает окружность радиуса R, соответственно центростремительное ускорение направлено к центру данной окружности.
Выберем направление осей координат как указано на рисунке. Уравнение второго закона Ньютона для данного случая имеет вид:
.
Спроецируем это уравнение на координатные оси, показанные на рисунке:
.
Из первого уравнения найдем силу натяжения нити:
из второго – силу реакции опоры, которая по модулю равна силе давления шарика на конус:
.
Ответ: сила натяжения нити 
;
сила реакции опоры 
.
Задача 3. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R 50см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой
m 6,4кг .
Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a 2м / с 2 .
Определить:
1)момент инерции J вала;
2)массу вала.
T
Решение.
Линейное ускорение груза равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности и связано с угловым ускорением вала соотношением:
a |
r , |
(1) |
где r – радиус вала.
Из формулы (1) определим угловое ускорение вала:
аr ;
Произведем вычисления:
2м / с |
2 |
4 |
рад |
; |
|
|
|
||
0,5м |
|
с 2 |
||
|
|
|
Угловое ускорение вала может быть выражено основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела:
|
|
|
М |
, |
(2) |
|
|
|
|
||
|
|
|
J |
|
|
где М – вращающий момент, действующий на вал; J – момент инерции |
|||||
вала. |
|
|
|
|
|
Рассматриваем вал как однородный цилиндр; момент |
инерции J |
||||
относительно геометрической оси: |
|
|
|
|
|
J |
1 |
m r 2 . |
(3) |
||
|
|||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вращающий момент, действующий на вал, равен произведению силы |
|||||
натяжения нити Т на радиус вала: |
|
|
|
|
|
М |
|
Т r . |
(4) |
||
|
|
Определим силу натяжения нити. На груз действуют сила тяжести |
m2 g , |
направленная вниз, и сила натяжения нити T , направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири.
Запишем второй закон Ньютона:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
m2 g |
|
T |
|
m2 a |
|
|
|
|
||||||||
Выберем положительное направление оси |
Y вертикально вниз, |
как |
|||||||||||||||||
показано на рисунке. Второй закон динамики в скалярной форме: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m2 g |
|
T |
|
m2 a ; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Т |
m2 |
g |
|
a . |
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
Подставляем выражение (5) в формулу (4); вращающий момент |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
M |
m2 g |
a r . |
|
|
(6) |
|||||||||||
Подставляем в (2) выражения вращающего момента (6) и момента |
|||||||||||||||||||
инерции вала (3), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М m2 g a r 2m2 |
g a |
. |
(7) |
||||||||||||||
|
|
J |
|
|
1 |
m1r |
2 |
|
|
|
|
|
|
m1r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражаем из (7) массу вала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1 |
|
|
2m2 |
|
g a |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m1 |
2 6,4кг 9,8м / с 2 |
|
2м / с 2 |
49,92кг . |
|
||||||||||||||
|
4 рад / с 2 |
0,5м |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
m |
кг |
м / с2 |
|
кг . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
с |
2 м |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: момент инерции вала составляет 6,24кг 
м ; масса вала равна
49,92 кг.
Примеры решения задач по теме «Силы в природе»
Задача 1. Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной 3 м и площадью сечения 1 мм2 для ее удлинения на 1,5 мм.
Дано: l 3м;
S |
1мм2 |
10 6 м2 ; |
l |
1,5мм |
1,5 10 3 м. |
__________ __________
F ?
Решение.
Запишем закон Гука, устанавливающий связь силы с деформацией растяжения:
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
k |
|
|
l |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Коэффициент |
|
k |
можно |
|
|
найти, зная размеры проволоки и значение |
|||||||||||||||
модуля Юнга для латуни (по таблице Е = 1011 Па). |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
ES |
|
|
l |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Па м2 |
м |
|
|
Н м2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
1011 |
10 6 |
|
1,5 10 3 |
50(Н ) . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: для удлинения проволоки надо приложить силу, равную 50 Н. |
|||||||||||||||||||||
|
Задача 2. Предел упругости отпущенной стали |
у |
5,72 108 Па . Будет |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деформация упругой или остаточной, |
если |
стальная |
|
проволока длиной |
||||||||||||||||||
L |
3м и сечением S |
1,2мм2 |
под действием растягивающей силы удлинится |
|||||||||||||||||||
на |
l 8мм. Какой силой была вызвана эта деформация? Модуль Юнга для |
|||||||||||||||||||||
стали E 200ГПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дано: |
у |
5,72 108 Па , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 3м ,
S |
1,2мм2 |
1,2 10 4 м2 , |
l |
8мм |
8 10 2 м , |
E |
200 ГПа 200 109 Па . |
|
______________________
Вид деформации (упругая или остаточная)?; F ?
Решение:
Определим напряжение материала по закону Гука для продольного растяжения:
|
|
E , |
|
|
где |
L |
- относительное продольное растяжение, |
L - изменение |
|
L |
||||
|
|
|
длины тела при растяжении, L - длина тела до деформации.
E 
LL .
Проверка размерности расчетной формулы:
|
Па |
м |
Па . |
|
|
|
|
м |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
200 109 |
8 10 2 |
|
5,3 109 (Па) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как предел упругости отпущенной стали |
у |
5,72 108 |
Па , что |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
меньше полученного значения напряжения, деформация будет остаточной. Рассчитаем силу, которой была вызвана деформация, для этого
воспользуемся формулой для напряжения упругой деформации:
FS ,
где F - растягивающая сила, S - площадь поперечного сечения.
F |
S 5,3 109 |
Н |
1,2 10 4 м2 |
6,4 105 Н . |
|
м2 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: деформация под действием растягивающей силы, равной 6,4 
105 Н , будет остаточной.
Задача 3. Возле кольца из тонкой медной проволоки, радиусом r=1 мм, на его оси, на расстоянии l=5 см от центра кольца расположен шарик
массой m=2 г. |
Радиус кольца R=20 см. Найти силу, с которой кольцо |
притягивает шарик. |
|
Дано: |
|
r 1мм |
10 3 м; |
|
8,9 |
10 |
3 |
|
кг |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
м3 |
|
l |
5см |
5 10 |
2 м; |
|||
m |
2г |
2 |
|
10 3 кг; |
||
R |
20см |
|
20 |
10 2 м. |
||
__________ _________
F ?
a
Fi
F1 l
Рис.
Решение:
R
о
Закон всемирного тяготения сформулирован для материальных точек. В данной задаче за материальную точку можно принять шарик, тогда как кольцо необходимо разбить на отдельные элементы dli с массами mi. Возьмем точку, находящуюся, например, на вершине кольца. Шарик притягивается этой точкой с силой:
|
|
m |
r |
2 |
dl |
|
F |
G |
|
|
|
i |
. |
|
|
|
|
|||
i |
|
R2 |
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Направление вектора силы |
|
указано |
|
на рисунке. Если разложить |
||
Fi |
|
|||||
элементарные силы Fi на составляющие, одна из которых параллельна оси кольца, а вторая перпендикулярна, то перпендикулярные составляющие для