физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
D 
0 E P ,
где P – поляризованность (вектор поляризации).
18.Связь электрического смещения (индукции) D с
напряженностью E в случае изотропных диэлектриков
D 
0 E .
19.Поверхностная плотность связанных поляризационных
зарядов ' на границах диэлектрика
|
|
|
' |
Pn, |
|
|
|
где Pn P cos |
- |
проекция |
вектора |
поляризации на нормаль к |
|||
поверхности диэлектрика; |
- угол между вектором P и нормалью n . |
||||||
20. Электроемкость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
q |
, |
C |
q |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
где 
- потенциал уединенного проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U=( 1- 2) - разность потенциалов между обкладками конденсатора.
21. Электроемкость плоского конденсатора
С |
0S |
, |
|
d |
|||
|
|
где S - площадь одной пластины конденсатора; d - расстояние между пластинами; 
- диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.
22. Электроемкость сферического конденсатора
C |
4 |
0R1R2 |
, |
|
(R2 |
R1) |
|||
|
|
где R1 и R2 – радиусы двух концентрических сфер; - диэлектрическая
проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами. 23. Электроемкость цилиндрического конденсатора
C |
2πε0εl |
|
, |
||
ln (R2 |
/R1 ) |
||||
|
|
||||
где R1 и R2 – радиус двух коаксиальных цилиндров; l - высота
цилиндров; 
- диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между цилиндрами.
24. Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов
N
С i 1Ci ;
электроемкость последовательно соединенных конденсаторов
1 N 1 ,
C i 1 Ci
где N - число конденсаторов в батарее. 25. Энергия заряженного конденсатора
|
qU |
|
|
|
CU |
2 |
|
|
|
q2 |
|
||||||
W |
|
|
, |
W |
|
|
|
; W |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2C |
|
||||||
26. Объемная плотность энергии электростатического поля |
|||||||||||||||||
|
|
0 E |
2 |
|
|
D |
2 |
|
ED |
|
|||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
. |
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
0 |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для однородного электростатического поля |
|
W |
, где V - объем. |
||||||||||||||
|
|
V |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Алгоритм решения задач по теме «Электростатика»
1.Выполнить чертеж, где изобразить согласно условию задачи: а) точечные заряды; б) все силы, действующие на заряды в электрическом поле.
2.Записать условия равновесия материальной точки или основное уравнение динамики, воспользовавшись формулами механики.
3.Для определения модулей сил воспользуйтесь законом Кулона;
для определения направления действия |
сил воспользуйтесь |
принципом суперпозиции. |
|
4. При перераспределении зарядов примените закон сохранения зарядов.
5. Решите полученную систему уравнений.
Примечание:
Положительные заряды, предоставленные сами себе, движутся от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом, а отрицательные заряды перемещаются в противоположном направлении.
Если по условию задачи заряд приобретает энергию при воздействии на него электрических сил поля, то нужно использовать закон сохранения энергии и формулу для расчета работы электрических сил.
Примеры решения задач по теме «Электростатика»
Задача 1. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м расположены равные одноименные заряды. Потенциал создаваемого ими поля в центре квадрата равен 500 В. Определить величины зарядов.
Дано: |
q |
q |
|
|
|
|
|
а |
0,1м; |
|
r |
|
q1 |
q2 q3 q4 q; |
|
С |
|
|
500В |
|
|
|
|
q ? |
|
|
|
|
q |
|
|
q |
|
|
a |
|
|
Рис.
Решение.
Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи известна величина потенциала в точке С, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т.е. находится в особых условиях по отношению к источникам поля. Потенциал определяется с помощью принципа суперпозиции:
1 |
2 |
3 |
4 . |
(1) |
Потенциал, создаваемый зарядом qi в рассматриваемой точке,
|
qi |
, |
(2) |
|
i |
4 0r |
|||
|
|
|||
|
|
|
где qi - величина заряда, расположенного в вершине квадрата;
0 |
8,85 10 12 |
Ф / м |
- электрическая постоянная; |
|
|
|
r расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки:
|
|
|
|
|
|
r |
a 2 |
. |
(3) |
||
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
Так как по условию задачи в вершинах квадрата расположены равные и одноименные заряда, их алгебраическая сумма
q 4qi . |
(4) |
С учетом (2), (3), (4) формула (1) примет вид:
|
|
|
|
|
|
4 q 2 |
|
2q |
|
; |
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
0 |
a 2 |
|
0a 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
q |
0 a 2 |
|
500В 3,14 |
8,85 10 |
12Ф / м 0,1м 2 |
9,82 10 |
10 |
В |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверка размерности расчетной формулы:
q |
В Ф м |
|
В Кл |
Кл . |
|
|
|
||
м |
|
В |
||
|
|
|
Ответ: величина заряда равна 9,82 10 10 Кл.
Задача 2. Два точечных заряда 2 нКл и -1 нКл находятся в воздухе на расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 6 см и от второго заряда на 4 см.
Дано:
q |
|
2нКл |
|
2 10 9 Кл; |
1 |
|
|
|
|
q |
2 |
1нКл |
10 9 Кл; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
d |
|
5см |
5 10 2 м; |
|
r |
|
6см |
6 10 2 м; |
|
1 |
|
|
|
|
r |
|
4см |
4 10 2 м. |
|
2 |
|
|
|
|
__________ _________
E ? 
?
Рис.
Решение.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд
создает |
поле независимо от |
присутствия |
в |
|
пространстве других зарядов. |
||||||||||||||||||||||
Напряженность результирующего |
поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Напряженности полей, |
||||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
E1 |
|
|
E2 |
|||||||||||||||||
создаваемых в воздухе ( = 1) зарядами q1 |
и q2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
q1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
q2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направления векторов |
E1 |
и |
E2 |
указаны на рис. |
Модуль вектора |
E |
|||||||||||||||||||||
найдем по теореме косинусов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(E 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
E |
|
|
2E E |
2 |
cos |
) 2 , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
- угол между векторами |
E1 |
и |
E2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из рисунка видно, что |
= |
- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E 2 |
E 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
E |
|
|
2E E |
2 |
|
cos |
) 2 . |
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из треугольника со сторонами r1, r2 |
и d по теореме косинусов находим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
(r 2 |
|
|
r 2 |
|
|
d 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2r1r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведя вычисления по формулам (1), (2), (4), получим:
E1 |
9 10 |
9 |
|
2 |
10 |
9 |
5 10 |
3 |
В / м , |
|
|
6 |
10 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
E2 |
9 109 |
|
10 9 |
|
|
5,62 103 (В / м). |
||||
4 10 2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos |
|
|
62 |
42 |
|
52 |
0,565 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
вычислении |
Е2 знак |
|
заряда |
q2 |
|
опущен, |
так |
как знак минус |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяет направление вектора |
|
E2 , а направление |
E2 |
было учтено при его |
|||||||||||||||
графическом изображении (рис.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Напряженность результирующего поля будет равна |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
5 10 |
3 2 |
5,62 10 |
3 |
2 |
2 5 10 |
3 |
5,62 10 |
3 |
0,565 |
. |
3 |
(В/м). |
||||||
|
|
|
|
|
4,97 10 |
|
|||||||||||||
По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов 1 и
2, т.е.
= 1 + 2 ,
1 q1 |
|
1 q2 |
1 |
|
q1 |
|
q2 |
. |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 0 r1 |
|
4 0 r2 |
4 0 |
|
r1 |
|
r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Произведем вычисления:
9 10 |
9 |
2 |
10 9 |
|
10 |
9 |
75(В). |
|
6 |
10 2 |
4 10 2 |
||||
|
|
|
|||||
Ответ: напряженность электростатического поля в указанной точке равна 497 
103 Вм , потенциал равен 75 В.
Задача 3. |
Сплошной шар из диэлектрика радиусом R 5см |
заряжен |
равномерно с |
объемной плотностью 10нКл/ м3 . Определить |
энергию |
электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.
Дано: R 5см 5 102 м; |
|
10нКл/ м3 10 |
10 9 Кл / м3 . |
_______________________________
W ?
Решение.
Объемная плотность энергии электрического поля
|
|
|
|
1 |
|
E 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
- диэлектрическая проницаемость среды, для вакуума =1; |
|||||||
|
8,85 10 |
12 Ф |
- электрическая постоянная; E - напряженность |
|||||
0 |
|
м |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электростатического поля.
Энергию электростатического поля вне шара найдем, интегрируя плотность энергии электрического поля по соответствующему объему:
|
|
|
W |
|
0 |
E(r)2 |
4 r 2 dr , |
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где напряженность электростатического поля вне шара. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(r) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 r2 |
|
|
|
|
||||||
Подставляя (2) в (1), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W |
0 |
|
q2 4 |
|
r 2 dr |
|
|
|
0q2 |
|
|
dr |
|
q2 |
|
|||
2 |
R 16 |
2 |
2 |
r |
4 |
|
|
2 4 |
2 |
|
r |
2 |
|
8 0 R |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 R |
|
|
||||||||||
где R - радиус шара; 
- объемная плотность заряда шара, g – заряд.
q 43 R3 
;
|
16 |
2 R 6 |
2 |
|
2 R5 2 |
||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
9 8 |
0 |
R |
9 |
0 |
|||||
|
|
||||||||
Проверка размерности расчетной формулы:
|
|
|
м5 |
Кл2 |
|
|
Кл2 |
|
|||
|
W |
|
|
|
|
м |
|
|
Кл В Дж |
|
|
|
|
м6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф |
|
|
Кл / В |
|
||||
|
2 3,14(5 10 2 )5 м5 |
(10 |
8 )2 Кл 2 / м6 |
|
|||||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
2,46 10 12 |
( Дж) . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
9 8,85 10 |
12 Ф / м |
|
|||||||
Ответ: энергия электростатического поля, заключенная в окружающем шар пространстве составляет 2,46 
10 12 Дж.
Задача 4. На металлической сфере радиусом 10 см находится заряд 1
нКл.
Определить напряженность электростатического поля в следующих точках:
a). на расстоянии 8 см от центра сферы; б). на поверхности сферы; в) на расстоянии 15 см от центра сферы.
Дано:
|
R |
10см |
0,1м ; |
|
|
|
|
|
q |
1нКл |
10 9 Кл; |
|
|
|
|
|
rA |
15см |
0,15м; |
|
rC |
|
rA |
|
rB |
10см 0,1м; |
R |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
O |
|
|||
rA |
rC |
8см |
0,08м. |
|
|
A |
|
|
B |
C |
|||||
______________________ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
E A |
? |
EB ? |
EC ? |
|
|
|
|
Рис.
Решение.
Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического поля заряженной сферы направлены радиально (рис.) и численное значение
электрического смещения D должно быть одинаковым во всех точках, лежащих на одном и том же расстоянии от центра О заряженной сферы. Проведем через исследуемую точку поля А, лежащую вне заряженной сферы r R , шаровую поверхность S с центром в точке О. Во всех точках этой
поверхности Dn D const, поэтому поток смещения сквозь замкнутую поверхность S равен:
|
S |
|
Ф D dS D dS D S 4 r 2 |
D. |
|
n |
A |
|
S |
0 |
|
По теореме Остроградского-Гаусса этот поток равен общему заряду сферы, следовательно,
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
q |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 r 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
E |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
4 |
0 |
|
r 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
10 9 Кл |
|
|
|
|
|
399,84 |
В |
; |
|||||||
|
|
|
|
12 Ф |
|
|
2 |
|
2 |
м |
||||||||
4 |
3,14 8,85 10 |
(0,15) |
м |
|
|
|||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверка размерности расчетной формулы:
Е |
|
Кл |
|
Кл В |
|
В |
. |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|||
|
|
м2 |
|
Кл м |
|
м |
||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электростатическое поле в незаряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду сферы и расположенного в ее центре.
Рассмотрим точку B, лежащую на поверхности сферы; поток смещения сквозь замкнутую поверхность S равен:
Ф4 rB2 D 4 R2 
D ;
|
|
|
D |
|
|
q |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 R 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
|
q |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
0 |
|
R2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
10 9 Кл |
|
|
|
|
|
899,64 |
В |
. |
||||
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
3,14 8,85 10 |
12 |
(0,1) |
2 |
м |
2 |
|
м |
||||||
|
м |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим произвольную точку C, лежащую внутри сферы ( r R ). Проведенная через нее сфера с центром в точке О не охватывает электрических зарядов, следовательно,
Ф 4 rC2 
D 0 ;
D E 0 .
График зависимости напряженности Е электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности от расстояния r точки поля до центра этой поверхности изображен на рисунке.
E
O |
|
r |
|
r R |
|
|
|
Рис. График зависимости напряженности Е электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности от расстояния r точки поля до центра этой поверхности.
Ответ: напряженность электростатического поля внутри сферы равна нулю; на расстоянии 0,1м от центра сферы (на поверхности сферы) равна
899,64 Вм ; на расстоянии 0,15 м напряженность электростатического поля равна 399,84 Вм .
Задача 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. Определить работу сил поля по перемещению точечного заряда 25 нКл из точки, находящейся на расстоянии 1 см, в точку, находящуюся на расстоянии 3 см от поверхности цилиндра в средней его части.
Дано: