физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
где |
- удельное |
сопротивление проводника, |
|
1 |
|
- удельная |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
электропроводность; |
l |
- длина проводника, |
S - площадь поперечного |
|||||
сечения проводника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ЭДС |
0 и |
внутреннее сопротивление |
Rб батареи n |
|
|
одинаковых |
||
элементов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) при последовательном соединении одинаковых элементов |
|
|||||||
б |
n |
0 ; |
Rб |
nR0 . |
||
б) при параллельном соединении одинаковых элементов |
||||||
|
|
; |
R |
R0 |
, |
|
|
б 0 |
|
|
|||
|
|
б |
n |
|
||
|
|
|
|
|
||
где 0 - ЭДС отдельного |
элемента; R0 - |
внутреннее сопротивление |
||||
отдельного элемента. |
|
|
|
|
|
|
4. Работа и мощность тока |
|
|
|
|
|
|
A |
IUt; |
P |
IU . |
|
|
|
6. Закон Джоуля – Ленца |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
I 2 Rt , |
|
|
|
|
где Q - количество теплоты, выделяющейся на участке цепи сопротивлением R за время t, когда по проводнику течет ток силой I.
7. Закон Ома в дифференциальной форме
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
I |
j |
|
|
|
E |
E , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
j |
- плотность тока в |
проводнике, |
- напряженность |
|||||||
|
E |
||||||||||
S |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
электрического поля в проводнике. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 , |
|
|
|
где |
удельная тепловая |
мощность тока |
(количество теплоты, |
||||||||
выделяющейся в единице объема проводника за единицу времени)
Q .
V t
Алгоритм решения задач по теме «Расчет силы тока и напряжения на участках цепи»
1. Начертить электрическую схему и указать на ней все элементы
цепи.
Установить характер соединения элементов; для сложных цепей, в которых характер соединений представлен не явно, вычертить эквивалентные, более простые схемы.
2.Пользуясь формулами связи напряжения, ЭДС, тока, сопротивления, рассчитать требуемые величины.
3.Если в цепь постоянного тока включен конденсатор, то ток по этому участку не идет, но напряжение на обкладках конденсатора присутствует.
4.Если в задаче рассматривается шунт или добавочное сопротивление к гальванометру, то речь идет об обычном расчете
сопротивлений, сил токов и напряжений при последовательном и параллельном соединении проводников, где один из резисторов – обмотка гальванометра.
Примеры решения задач
Задача 1. ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, 5 А. Определить максимальную мощность, которая может выделиться во внешней цепи.
Дано:
12B;
I max 5A.
_________
Pmax ?
Решение.
По закону Ома для полной цепи
I |
|
|
, |
(1) |
R0 |
R |
|
||
|
|
|||
где R0 - внутреннее сопротивление аккумулятора, R - сопротивление внешней цепи (сопротивление нагрузки).
Максимальная сила тока будет при коротком замыкании (R=0).
Imax= |
|
|
(2) |
|
R0 . |
||||
|
|
|||
Из формулы (2) находим внутреннее сопротивление
R0 |
|
. |
(3) |
I max |
|
||
|
|
||
Мощность, которая выделяется во внешней цепи (полезная мощность),
P I 2 R |
(4) |
C учетом закона Ома (1) получим
|
2 R |
|
(5) |
|
P |
( R R )2 . |
|||
|
||||
|
0 |
|
|
|
Исследуя функцию (5) на максимум, найдем сопротивление нагрузки, при котором мощность максимальна:
|
dP |
|
|
|
2 ( R |
R ) |
|
0. |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dR |
|
( R R |
0 |
)3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства (6) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
R0 |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||
Подставив (7) в формулу (5), найдем выражение для максимальной |
|||||||||||||||
мощности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||
|
Pmax |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
4R0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C учетом формулы (3), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Pmax |
|
I max |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Проверка размерности расчетной формулы: |
|
|
|||||||||||||
|
P |
|
|
B A |
|
Вт . |
|
|
|||||||
Произведя вычисления, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Pmax |
|
|
12В 5A |
15Вт . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: максимальная мощность, которая может выделиться во внешней цепи, равна 15 Вт.
Задача 2. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно нарастает от 0 до 4А в течение 2с. Определить количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.
Дано:
R 20Ом;
I1 0;
I 2 4 А;
t1 0; t2 2c; t3 1,5c;
__________ _____
Q ?
Решение.
Согласно закону Джоуля - Ленца, тепловая мощность, выделяющаяся на сопротивлении R, равна
|
P |
I 2 |
R . |
|
Количество тепла dQ , выделяющегося за время dt на сопротивлении |
||||
R, равно |
|
|
|
|
dQ |
P dt |
I 2 R dt |
(1) |
|
По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т.е. является |
||||
линейной функцией времени |
|
|
|
|
I |
at |
b . |
(2) |
|
В начальный момент t1 = 0 ток I1 |
равен нулю, поэтому в уравнении (2) |
|||
имеем b = 0. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
I |
at . |
(3) |
Коэффициент пропорциональности найдем из условия, что I2 = 4 А при |
||||
t2 = 2 с . |
|
|
|
|
|
I 2 |
at2 . |
|
|
Получаем:
a |
I |
2 |
|
4 |
2(A / c) . |
|
t2 |
2 |
|||||
|
|
|||||
Подставляя в формулу (1) выражение (3) и интегрируя по времени от 0 до t3, найдем количество выделившейся теплоты:
Q |
t3 I 2 Rdt |
a2 Rt3t 2dt |
a2 R |
t 3 |
t 3 . |
(4) |
|
||||||
|
|
|
3 |
3 |
1 |
|
|
t1 |
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка размерности расчетной формулы:
|
A2 |
ОМ с |
3 |
Q |
|
|
B A c Дж . |
|
c2 |
||
|
|
|
Подставляя в формулу (4) значения входящих в нее параметров, получим
Q |
22 20 |
1,53 |
0 90 (Дж). |
|
3 |
||||
|
|
|
Ответ: количество теплоты, выделившейся в проводнике, равно 90 Дж.
Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока
с одним источником электрической энергии
Задача 3. Для электрической цепи, изображенной на рисунке, определить: токи в ветвях; Мощность, развиваемую источником энергии, мощность потребителей. Проверить выполнение баланса мощностей.
Значения сопротивлений резисторов и ЭДС источника приведены в таблице
Таблица 1.
|
Параметры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E, |
В |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R1 , Ом |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||
|
R2 , Ом |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|||||||
|
R3 , Ом |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R4 , Ом |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||
|
R5 , Ом |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R6 , Ом |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
А |
|
|
|
С |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R3 |
|
I3 |
|
|
R4 |
|
I4 R5 |
|
|
||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
D |
|
||||||
|
|
|
I |
I |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
100 B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R1 |
12ОМ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R2 |
18Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R3 |
8Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R4 |
6ОМ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R5 |
14ОМ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R6 |
19ОМ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
__________ ___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I , I2 , I3 , I4 , I5 , I6 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение
Будем производить расчет электрической цепи методом преобразований. Метод преобразований основан на последовательном упрощении структуры цепи путем сокращения числа ее узлов и контуров. Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений R4 и R5 найдем по формуле:
R45 |
|
R4 R5 |
|
614 |
4,2(Ом) . |
|
|
R4 |
R5 |
6 14 |
|||
|
|
|
||||
Сопротивление R45 соединено последовательно с сопротивлениями R2 и |
||||||
R6 . Их общее сопротивление |
|
|
|
|
|
|
R/ R |
R |
R |
18 10 4,2 32,2(Ом) . |
|||
2 |
6 |
|
45 |
|
|
|
Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений R3 и R / найдем по формуле:
|
|
R |
|
|
R3 R |
|
|
8 32,2 |
|
|
6,41(Ом) . |
|
|
||||||||
|
|
|
R3 |
|
R |
8 |
32,2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сопротивление цепи состоит |
из сопротивления R1 и R , |
соединенных |
|||||||||||||||||||
последовательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R1 |
|
|
|
R |
12 |
6,41 |
18,41(Ом) . |
|
|
|||||||||
По закону Ома определим силу |
|
тока |
в неразветвленной |
части цепи |
|||||||||||||||||
(ветвь с сопротивлением R1 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I |
|
|
|
E |
|
|
|
|
100В |
5,43А. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
18,41Ом |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сопротивления |
R2 , |
R45 |
и |
|
R6 |
соединены последовательно, |
поэтому |
||||||||||||||
значения токов I 2 , |
I45 , |
I6 , |
проходящие через эти сопротивления, |
равны. |
|||||||||||||||||
Введем обозначение I |
I2 |
I45 |
I6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как сопротивления |
R |
|
и |
R3 |
соединены параллельно, |
справедливо |
|||||||||||||||
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
R3 |
|
|
8 |
|
|
|
0,25 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
R |
|
|
32,2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
0,25I3 |
|
|
|||||
По первому закону Кирхгофа для узла разветвления А рассматриваемой
цепи
I I3 I 
I3 0,25I3 1,25I3 .
Из последнего уравнения определяем силу тока, протекающего через сопротивление R3 :
|
|
|
I3 |
|
|
I |
5,43 |
4,34( A) . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1,25 |
|
1,25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Сила тока, протекающего через сопротивления R2 , R45 и R6 |
|||||||||||
|
I |
I |
I3 |
5,43 4,34 1,09(А) . |
|||||||
Так как сопротивления R4 |
и R5 |
соединены параллельно, справедливо |
|||||||||
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I4 |
|
R5 |
14 |
|
|
2,33 ; |
I4 2,33I5 . |
|||
|
I5 |
|
R4 |
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
По первому закону Кирхгофа для узла разветвления С рассматриваемой
цепи
I2 |
I4 |
I5 |
2,33I5 |
I5 3,33I5 ; |
|||
|
I5 |
I 2 |
|
1,09 |
|
0,33( А) ; |
|
|
3,33 |
|
|
3,33 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
I4 |
I2 |
I5 |
1,09 0,33 0,76(А) . |
||||
|
I 2 |
3,33 |
0,33 |
|
1,099( A) . |
||
Правильность решения задачи проверяется по балансу мощностей источника и приемника энергии: сумма мощностей, отдаваемых источниками энергии, должна равняться сумме мощностей, потребляемых приемниками:
ЕI |
I 2 R . |
(1) |
Определяем мощность, отдаваемую источником энергии:
E 
I 100 
5,43 543В .
Определяем мощность потребителя R1 :
P |
I 2 R 5,43 2 |
12 353,8В . |
1 |
1 |
|
Определяем мощность потребителя R2 :
P |
I 2 |
R 1,099 2 |
18 164,17В . |
2 |
2 |
2 |
|
Определяем мощность потребителя R3 :
P |
I 2 |
R 4,34 2 |
8 46,46В . |
3 |
3 |
3 |
|
Определяем мощность потребителя R4 :
P |
I 2 |
R 0,76 2 |
6 3,46В . |
4 |
4 |
4 |
|
Определяем мощность потребителя R5 :
P |
I 2 |
R 0,33 2 |
14 11,34В . |
5 |
5 |
5 |
|
Определяем мощность потребителя R6 :
P6 I6 2 
R61 
1,099 2 
10 91,20В .
Определяем сумму мощностей, потребляемых приемниками энергии:
I 2 R P |
P |
P |
P |
P |
P 353,8 164,17 46,46 3,46 11,34 91,20 543В |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
.
Проверка выполнения баланса мощностей свидетельствует о том, что задача решена верно.
Ответ: ток в ветви, содержащей сопротивление R1 , |
I |
5,43А; |
||
ток в ветви, содержащей сопротивления R2 , |
R45 и R6 , I 1,09 А. |
|||
ток в ветви, содержащей сопротивление R3 , |
I3 |
4,34А; |
||
ток в ветви, содержащей сопротивление R4 , |
I 4 |
0,76 А; |
||
ток в ветви, содержащей сопротивление R5 , |
I5 |
0,33А; |
||
мощность, развиваемая источником энергии, составляет 543В ; |
||||
мощности потребителей соответственно равны: |
|
|||
P1 |
353,8В ; P2 |
164,17В; P3 46,46В; |
|
|
P4 |
3,46В; P5 |
11,34В; P6 91,2В. |
|
|