физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
Ответ: радиус кривизны траектории R = 9,14 м.
Задача 3. Материальная точка движется равноускоренно с начальной скоростью 0 . Определить ускорение точки, если за время t 2 с она прошла
путь S 26 м и ее скорость |
3 0 . |
Дано: |
|
0 ;
t 2 с;
S 26 м ;
3 0 .
а ?
Рис.
Решение.
В случае равноускоренного движения вектор ускорения а |
сонаправлен |
||||||
с вектором начальной скорости |
0 . |
|
|
|
|
|
|
Направим ось Х по направлению скорости |
0 . |
|
|||||
Тогда в проекции на ось Х уравнения движения тела имеют вид: |
|||||||
S |
|
x |
xC |
0 t |
at2 |
. |
(1) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
at |
3 0 . |
|
|
(2) |
|
Из формулы (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
. |
|
|
|
(3) |
0 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
||||
Воспользуемся соотношением (1) и (3):
S at 2 ;
a |
S |
|||
|
|
|
||
t |
2 . |
|||
|
||||
|
|
|
||
Проверка размерности расчетной формулы:
a |
м |
|
с 2 . |
||
|
|
|
Произведем вычисления:
|
a |
26 |
6,5 |
м / с 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
22 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
ускорение точки равно |
6,5 м / с2 . |
|
|
|
|
|
||
Задача 4. Зависимость пройденного телом пути от времени задается |
|||||||||
уравнением |
s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 |
(A = 5м; B = -3 м/с; С = 2 м/с 2 ; D = 1 |
|||||||
м/с 3 ). Определить для тела в интервале |
времени от t |
1 |
= 1c |
до t |
2 |
= 2c: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
среднюю скорость <v>; среднее ускорение < a >.
Дано:
S A Bt Ct 2 Dt 3 ;
A = 5м;
B = -3 м/с;
С = 2 м/с 2 ;
D = 1 м/с 3 ; t1 = 1c;
t 2 = 2c.
______________________
<v>-? <a> - ?
Решение.
Зависимость пройденного телом пути от времени:
S |
A |
Bt |
Ct 2 |
Dt 3 |
(1) |
|
Найдем путь, пройденный |
телом |
за |
время t 2 = |
2c, подставив в |
||
уравнение (1) заданное значение времени: |
|
|
||||
S2 |
5 |
3 2 |
2 |
4 |
1 8 15( м) . |
|
Найдем путь, пройденный телом за время t1 = 1c, подставив в уравнение
(1) заданное значение времени:
S1 5 3 
1 2 
1 1
1 5( м)
В интервале времени от |
t1 |
1c |
до t2 |
|
2c |
средняя скорость движения |
|||
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
s2 |
s1 |
; |
V |
15 |
5 |
10(м / с) . |
||
t2 |
t1 |
|
2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
||||||
Скорость – есть первая производная от пути по времени:
|
|
V |
dS |
3 |
4t |
3t 2 . |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t1 |
1c |
|
V1 |
3 |
4 |
3 |
4( м / с) . |
||||
При t2 |
2c |
|
V2 |
3 |
8 |
12 |
17( м / с) . |
||||
Найдем среднее ускорение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
V2 |
V1 |
; |
a |
17 |
|
4 |
|
13(м / с 2 ) |
||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||
|
t2 |
t1 |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: средняя скорость равна 10м / с ; среднее ускорение равно 13м / с 2 .
Задача 5. Точка движется по окружности радиусом r = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 15 см/с. Определить нормальное ускорение точки через t = 16с после начала движения.
Дано: |
|
|
r 15см 15 10 2 |
м; |
Решение: |
|
at |
const; |
|
|
|
|
|
|
V1 |
15см / с 0,15м / с; |
|
|
|
|
an |
at |
|
|
|
|
r |
|
||
t |
16c . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
||
___________________ |
|
|
|
|
|||
|
, |
|
О |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
an ?
Рис.
Так как движение точки по окружности является равноускоренным, то пройденный точкой путь определяется по формуле:
S V0t |
a t |
2 |
|
t |
. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Так как тангенциальное ускорение |
at и время t неизвестны, |
||
необходимо использовать формулу:
|
V 2 |
V 2 |
|
|||
S |
|
0 |
. |
(1) |
||
|
|
|
||||
|
2at |
|
||||
По условию задачи начальная скорость точки V0 = 0, |
формула (1) |
|||||
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
V 2 |
|
(2) |
|
|
|
2at |
||||
|
|
|
|
|||
Так как точка движется по окружности, то пройденный путь |
|
|||||
S 2 |
|
r , |
|
|||
т.е длине окружности, следовательно:
|
V 2 |
|
8 r |
|
. |
2at |
||
Выразим из последней формулы тангенциальное ускорение:
|
|
|
|
at |
|
V |
2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 8 |
|
r |
|||||
Проверка размерности расчетной формулы: |
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
м2 |
|
|
м |
. |
||
|
|
|
|
с2 м |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
0,152 |
|
|
|
0,003 м / с2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
2 |
8 |
3,14 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем скорость точки через 16 секунд после начала движения:
V2 V0 at t ,
так как V0 =0, то V2 at t . Нормальное ускорение:
|
(at t)2 |
|
|
an |
|
. |
(3) |
|
|||
|
r |
|
|
Проверка размерности:
|
|
м2 |
с2 |
|
a |
n |
|
|
м / с2 . |
с4 |
|
|||
|
м |
|||
|
|
|||
Произведем вычисление:
a |
|
(0,0029 |
16) |
2 |
0,015(м / с2 ) . |
n |
|
|
|
||
0,15 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ответ: нормальное ускорение точки через 16 секунд после начала движения составило 0,015м/с2.
Задача 6. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м по закону an A Bt Ct 2 . Определите тангенциальное
ускорение точки; путь S, пройденный точкой за время t1 = 6 с и полное
ускорение в момент времени t2 = 0,67с, если А = 1 м/с2, В = 3 м/с3, С = 2,25
м/с4.
Дано:
R 4м;
an |
A Bt Ct |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
n |
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t1 |
6c; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
t2 |
0,67с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
1м / с |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B 3м / с3 ;
С2,25м / с 4 .
__________ _____
at ? S ? a ?
Рис.
Решение
В данной задаче рассматривается движение точки по окружности (частный случай криволинейного движения), при котором:
– полное ускорение
a |
an2 a2 |
; |
(1) |
|||||||||
– нормальная составляющая ускорения |
|
|
||||||||||
an |
|
|
|
|
R |
2 |
; |
(2) |
||||
– тангенциальная составляющая ускорения |
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
R ; |
|
(3) |
|||
– мгновенная угловая скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
; |
|
(4) |
||
– путь, пройденный точкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
R |
; |
|
(5) |
|||||||
– угол поворота точки по окружности |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t 2 |
. |
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для определения тангенциальной составляющей ускорения из (4) |
||||||||||||
выразим величину углового ускорения |
|
|
|
|
|
, получим: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
t |
|
|
||||||||
Подставим выражение (7) в формулу |
(3), получим |
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
R . |
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||
Выразим из формулы (2) величину мгновенной угловой |
скорости, |
|||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(9) |
|||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||
Подставим (9) в (8), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
R an |
|
|
. |
(10) |
|||
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверим размерность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
м м / с2 |
|
|
|
|
м |
|
||||
|
|
|
с |
|
|
|
с 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем путь, пройденный точкой S, для этого подставим (6) в (5), |
||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
R |
|
t 2 |
. |
|
|
(11) |
|||||
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим (9) в (7) и полученное выражение для углового ускорения подставим в (11), получим:
|
t |
|
|
|
|
|
S |
|
R an . |
(12) |
|||
|
|
|||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Проверим размерность:
S 
c 
м 
м / с 2 м .
Найдем полное ускорение, для этого подставим (10) в (1), получим:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R an |
|
|
|
|
|
|
|||
a |
a2 |
|
a |
|
R a |
n |
. |
(13) |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
t 2 |
|
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверим размерность:
a |
м 2 |
м м / с 2 |
|
м2 |
|
м2 |
|
м / с 2 |
|
с 2 |
|
с 2 |
|
с 4 |
|
с 4 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим (10) и (11) для t1= 6 c, получим:
a |
4 |
1 |
3 |
6 |
2,25 |
62 |
3,3(м / с2 ). |
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
S |
4 1 3 6 2,25 6 |
2 |
60( м). |
|||
|
||||||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Вычислим (13) для t2= 0,67 c: |
|
|
||||
a |
1 |
3 0,67 |
2,25 |
0,672 |
2 |
4 |
1 |
3 |
0,67 |
2,25 |
0,672 |
|
7,2 (м / с2 ). |
|
|
|
|
0,672 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
в |
момент |
времени |
|
t1 |
6c |
тангенциальное |
ускорение |
|||||
точки равно |
3,3м / с2 ; |
путь, пройденный точкой, |
равен 60м; |
в момент |
|||||||||
времени t2 |
0,67c полное ускорение равно 7,2м / с2 . |
|
|
|
|
||||||||
Задача 7. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время,
равное двум минутам, колесо изменило частоту вращения от 240 мин-1 до 60
мин-1.
Определить:
1)угловое ускорение колеса;
2)число полных оборотов, сделанных колесом за это время.
Дано:
t |
2мин 120с; |
|
n |
240 мин 1 |
4с 1 ; |
1 |
|
|
n2 |
60мин 1 |
1с 1. |
__________________
? N ?
Решение.
Угловое перемещение, пройденное колесом за промежуток времени |
t |
||||
|
t |
t 2 |
; |
(1) |
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Учитывая, что |
2 |
1 |
t |
(по условию задачи колесо вращается |
|
|
|
равнозамедленно), определяем угловое ускорение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
- |
изменение угловой скорости за интервал t . |
|||||||||||||||||||||||||
1 2 |
n1 ; |
2 |
2 |
n21 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
2 |
n11 |
|
2 |
|
n2 |
|
|
n1 |
|
2 3,14 рад 5с 1 |
рад |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
120с |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как по условию задачи вращение колеса равнозамедленным, направление углового ускорения направлению вектора угловой скорости .
Величина углового перемещения
2 N ,
автомашины является
противоположно
где N – искомое число оборотов колеса.
N |
|
; |
(3) |
|
2 |
||||
|
|
|
Подставляем в (3) выражение углового перемещения из формулы (1), имеем:
|
|
|
t |
|
t 2 |
|
|
2 n t |
|
t 2 |
|
t |
2 n1 |
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120c 2 3,14 рад 4с 1 |
0,26 рад / с 2 |
120с |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
182 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3,14 рад |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: угловое ускорение колеса равно 0,26 |
рад |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
с 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
число полных оборотов, сделанных колесом, равно 182.
Задача 8. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой от времени, выражается
уравнением S |
t 3 |
4t 2 |
t 8. Определить пройденный путь, угловую скорость и |
|
угловое ускорение через 3 с от начала движения. |
||||
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
R |
20 м; |
|
|
|
S |
t3 4t 2 |
t |
8; |
|
t |
3с. |
|
|
|
__________ __________ ________ |
||||
S |
?; |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
?; |
|
|
V |
|
?. |
|
|
Рис. |
Решение.
Определим путь, пройденный материальной точкой через три секунды после начала движения:
S |
t 3 |
4t 2 |
t |
8 . |
S |
27 |
4 9 |
8 |
71(м) |
Известно, что линейная скорость автомобиля есть первая производная от пути по времени:
V |
dS |
. |
(1) |
|
|||
|
dt |
|
|
Взяв производную по времени от заданного уравнения пути S, получим:
V |
3t 2 |
8t |
1 |
8 ; |
V |
3t 2 |
8t |
7 . |
(2) |
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
V 3 9 |
8 3 |
7 |
58(м / с) . |
|
Известно, что линейная и угловая скорости материальной точки связаны соотношением
V 
R .
Следовательно,