физика_мет.указ. к.р. № 1-2
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
Fтр |
, |
(4 |
* |
) |
a |
|
|
|
|
|||
m |
|
m |
|
где Fтр - сила трения.
В проекции на ось Х (4*) примет вид:
aFтр .
m
Сила трения
Fтр |
N , |
(5) |
где 
- коэффициент трения; N - сила реакции опоры.
Силу реакции опоры определим, пользуясь третьим законом Ньютона (в проекции на ось Y) и подставим в (5):
N (m1 m2 )g
Получим
Fтр |
m1 m2 g . |
(6) |
Подставим формулу (6) в (4) и определим ускорение:
a |
m1 |
m2 |
g |
g . |
(7) |
(m1 |
m2 ) |
|
|||
|
|
|
|
Подставим формулу (7) в (3*), получим:
|
V 2 |
|
||
S |
|
1 |
. |
(8) |
|
|
|||
|
2 |
g |
|
|
Проверка размерности расчетной формулы:
|
м2 |
с2 |
|
S |
|
|
м . |
с2 |
|
||
|
м |
||
Вычисления:
S |
|
1089 |
280(м) . |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
2 |
0,2 |
9,8 |
|
|
Ответ: скорость платформы после попадания снаряда равна 33 м/с; расстояние, пройденное платформой до остановки равно 280 м.
Задача 2. Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент полезного действия (КПД) удара.
Дано: |
|
m1 = 5 кг, |
m2 = 95 кг, |
v1 = 4 м/с, |
v2 = 0. |
____________________
- ?
Решение.
Систему, состоящую из молота, изделия и наковальни, считаем замкнутой во время удара, когда силы ударного взаимодействия значительно превышают равнодействующую сил тяжести и силы реакции опоры. К такой системе можно применить закон сохранения импульса. Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия Едеф, затраченная на деформацию, равна разности значений механической энергии системы до и после удара:
|
2 |
|
2 |
|
|
Едеф |
m1 v1 |
m1 m2 u |
|
, |
(1) |
2 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
где u - общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса
m1 v1 |
m1 m2 u , |
(2) |
|||
откуда |
|
|
|
||
u |
|
m1 |
v1 . |
(3) |
|
m1 |
m2 |
||||
|
|
|
|||
Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Едеф
|
2 |
m2 |
|
|
|
Едеф |
m1 v1 |
. |
(4) |
||
2 |
m1 m2 |
||||
|
|
|
Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД равен:
|
2 |
m2 |
|
|
|
|
||
|
|
m1 v1 |
|
|
|
|
|
|
Едеф |
2 |
|
m1 m2 |
|
m2 |
. |
(5) |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
m1 m2 |
|
|
m1 v1 |
|
|
m1 v1 |
|
|
|
||
2 2
Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:
95 |
100% 95% . |
95 5 |
Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.
Ответ: коэффициент полезного действия равен 95%.
Задача 3. В тело массой M 990г , лежащее на горизонтальной
поверхности, попадает пуля массой m 10г |
и застревает в нем. Скорость пули |
|
направлена горизонтально и |
равна V |
700м / с . Какой путь S пройдет |
тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью
0,05?
Дано: M |
990г |
990 10 3 кг , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m M )U |
|||||
mV |
||||||||
m |
10г |
10 10 3 кг , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
V 700м / с , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
0,05 . |
|
Рис. |
|
|
|||
____________________
S - ?
Решение.
Считая рассматриваемую систему замкнутой, применим к ней закон сохранения импульса (1) и закон сохранения энергии (2):
|
|
(1) |
mV |
(m M )U |
|
2 |
|
2 |
22 Fтр S . (2)
Впроекции на ось Х уравнение (1) имеет вид (предполагаем, чтоmV m M U
направление движения пули и тела после |
взаимодействия совпадает с |
|||
первоначальным направлением движения пули): |
||||
m V |
(m |
M ) U . |
||
|
|
mV |
||
U |
|
|
|
. |
|
m |
M |
||
Подставим полученное выражение в уравнение (2), получим:
|
mV 2 |
m |
M m2 V 2 |
|
S ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр |
||
2 |
|
|
|
|
2 |
m |
M 2 |
|
||||||||
|
|
mV 2 |
|
|
|
|
m2 |
V 2 |
|
Fтр |
S ; |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
m |
M |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
mV 2 |
|
|
|
|
m2 |
V 2 |
|
Fтр |
|
S ; |
||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
m |
M |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
mV |
2 |
1 |
|
|
|
m |
|
|
mgS |
, |
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
m |
M |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где mg Fтр , так как опора горизонтальна и неподвижна. Из (3) имеем:
|
|
|
|
mV 2 |
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
m M |
|
|
V 2 |
|
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
2 g |
m M |
|||||||||||
Проверка размерности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
м . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
7002 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
10 2 |
|
|
|
4,95 10 |
5 |
(м) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
990 10 3 |
|
|
|
|||||||||
2 |
0,05 |
9,8 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: тело пройдет до остановки путь 4,95 
105 м .
Задача 4. На рельсах стоит платформа массой 10 т. На платформе укреплено орудие массой 6 т, из которого производятся выстрелы вдоль рельсов. Масса снаряда 0,1 кг, его начальная скорость относительно орудия 500 м/с. Коэффициент трения платформы о рельсы 0,002. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если платформа стояла неподвижно?
Дано: M |
10 103 кг 104 кг ; |
m |
5 103 кг ; |
1 |
|
m2 |
0,2кг ; |
V1 |
500 м / с ; |
0,002 ;
______________________________________
S - ?
Решение.
По условию задачи первоначально платформа находилась в состоянии покоя. Платформа приобретает скорость V2 в результате выстрела из орудия.
Закон изменения силы взаимодействия в процессе выстрела и само время взаимодействия неизвестны. Если рассмотреть систему тел платформа, орудие и снаряд, то эта сила взаимодействия будет силой внутренней и не изменит импульса системы. Рассматриваемая система тел является замкнутой (замкнутая система – система тел, на которые не действуют внешние силы, либо векторная сумма внешних сил равна нулю), следовательно, к решению задачи можно применить закон сохранения импульса:
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
P1 |
P2 |
|
|
|
где |
|
- импульс системы тел до выстрела; |
|
- импульс системы тел |
||
P1 |
P2 |
|||||
после выстрела из орудия.
Так как первоначально платформа с орудием находились в состоянии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
покоя, |
P1 |
0 , |
следовательно, импульс системы тел после выстрела |
P2 |
0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m2 V2 , |
|
|
||||||
|
|
|
P2 |
(M m1 ) V1 |
|
|
|||||
|
|
- скорость, которую в процессе выстрела приобрела платформа со |
|||||||||
где V |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
снарядом; |
V2 |
- скорость снаряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
(M |
m1 ) V1 m2 V2 |
0 . |
|
|
|
|||
Выберем положительное направление оси Х (рис.) и спроецируем в (1) на ось X, получим:
(M m1 ) V1 m2 V2 0 ; |
(2) |
Из уравнения (2) определим скорость, которую приобрела платформа с орудием после выстрела:
V |
m2 |
V2 |
. |
(3) |
|
|
|||
1 |
M |
m1 |
|
|
|
|
|||
По условию задачи на движущуюся тележку с орудием действует сила трения, являющаяся неконсервативной силой. Эта сила совершает работу, которая может быть определена по формуле:
|
|
A Fтр |
S cos , |
(4) |
где |
Fтр |
- сила трения, действующая на |
тележку с орудием при ее |
|
движении; |
S |
- величина перемещения тележки, |
- угол между векторами |
|
силы и перемещения ( 180 ; cos180 |
1) . |
|
||
В неконсервативных системах изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних неконсервативных сил:
A 
E .
Так как потенциальная энергия системы не изменялась, то изменение механической энергии равно изменению энергии кинетической:
|
M |
m |
V 2 |
|
|
A |
|
1 |
1 |
. |
(5) |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Подставим в (5) выражение (3), получим:
A |
M |
m |
m2 |
V 2 |
m2 |
V 2 |
(6) |
|
2 |
M |
m |
2 |
2 M |
m1 . |
|||
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Сравнивая выражения (4) и (5), имеем:
m2 |
V 2 |
Fтр S . |
(7) |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|||
2 M |
m1 |
|
|
Сила трения
Fтр 
N ,
где 
- коэффициент трения, N – сила нормальной реакции опоры. Так
как опора горизонтальна, величина силы нормального давления равна силе тяжести платформы с грузом
N (M m1 g) ,
следовательно, величина силы трения
Fтр |
M m1 g . |
Подставляя выражение для силы трения в уравнение (7), получим:
m2 |
V 2 |
M m1 g S . |
(8) |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|||
2 M |
m1 |
|
|
Из уравнения (8) находим величину перемещения платформы с орудием до остановки:
S |
m2 |
V 2 |
|
. |
(9) |
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
2 M |
m |
2 |
g |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Проверка размерности расчетной формулы (9):
S |
кг2 |
м2 / с2 |
м . |
|
кг2 |
м / с2 |
|||
|
|
Произведем вычисления:
S |
|
|
0,2 2 |
5002 |
|
|
1,1 10 3 (м) |
|
|
104 |
5 103 |
2 |
|
||
2 |
0,002 |
9,8 |
|
||||
Ответ: при выстреле платформа откатится на расстояние 1,1
10 3 (м) .
Задача 5. Два шара одинакового размера, изготовленные из алюминия и меди, вращаются независимо друг от друга вокруг общей неподвижной оси, проходящей через их центры, с угловыми скоростями ω1 = 5,0 рад/с и ω2 = 10 рад/с. С какой угловой скоростью вращались бы оба шара, если бы их жестко
соединили? Плотность алюминия ρ1 = 2,6∙103 кг/м3, плотность меди ρ2 = 8,6∙103 кг/м3.
Дано:
ω1 = 5 рад/с; ω2 = 10 рад/с;
ρ1 = 2,6∙103 кг/м3 ρ2 = 8,6∙103 кг/м3
R1 = R2 = R.
____________________
ω3 – ?
Решение.
В рассматриваемой системе как для случая независимо вращающихся шаров, так и для случая вращения жестко соединенных шаров, моменты вращающих сил не менялись.
Следовательно, закон сохранения момента импульса можно записать в
виде:
J1 1 J2 2 J1 J2 |
3 |
(1) |
где J1 и J2 – моменты инерции шаров; |
ω1 и |
ω2 – угловые скорости |
вращения шаров до соединения; ω3 – угловая скорость вращения жестко соединенных шаров.
Выразим из (1) угловую скорость вращения жестко соединенных шаров:
|
J1 1 |
J 2 2 |
(2) |
|
3 |
J1 |
J |
|
|
|
2 |
|
||
Моменты инерции шаров определяются по формулам:
J |
1 |
0,4 |
m |
|
R2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
(3) |
||
J |
|
0,4 |
m |
|
R |
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|||
Массы шаров можно найти по формуле
m 
V ,
так как объемы шаров определяются по формуле
V |
4 |
R3 |
, |
|
|
||||
3 |
||||
|
|
|
а радиусы шаров по условию равны R1=R2=R, то получим:
m1 1 |
4 |
R3 |
, m2 2 |
4 |
R3 |
(4) |
|
|
|
||||||
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Подставим (4) в (3), получим:
J1 0,4 1 |
4 |
R5 |
, J 2 |
0,4 |
|
4 |
R5 |
(5) |
|
|
2 |
|
|||||||
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (5) в (2), получим:
1 |
1 |
2 |
2 |
(6) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Проверка размерности расчетной формулы:
|
|
|
кг |
рад |
кг |
рад |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рад |
|
|
|
|
с |
м3 |
с |
м3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
кг |
|
кг |
|
|
|
|
с |
||
|
|
|
|
|
м3 |
м3 |
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,6 103 |
5 |
8,6 103 |
|
10 |
|
|
8,84 рад / с . |
||||||
3 |
2,6 103 |
8,6 103 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: если шары соединить жестко, то они будут вращаться с угловой скоростью, равной 8,84 рад/с.
Задача 6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m2 60кг . На
какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе?
Масса платформы m1 240кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
Дано: m2 |
60кг , |
|
Y |
|
m1 |
240кг. |
|||
L1 |
|
|||
___________________ |
|
1 |
||
|
|
|
||
|
? |
|
|
|
|
|
o |
|
|
L2 2
Рис.
Решение.
Пусть относительно Земли человек вращается с угловой скоростью 2 , а платформа с угловой скоростью 1 . Запишем закон сохранения
момента импульса (первоначально система находилась в состоянии покоя):
|
|
L1 |
L2 0 . |
Впроекции на ось Y имеем (угловые скорости вращения платформы
ичеловека противоположно направлены):
J1 
1 J 2 
2 0 ,
где J |
1 |
0,5m R2 |
- момент инерции платформы, R – радиус платформы. |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
2 |
m |
R2 - момент инерции человека. |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5m R2 |
1 |
m R2 |
2 |
0 ; |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
1 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2m2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угловая скорость человека относительно платформы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
1 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
1 |
|
2m2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угловая скорость численно равна углу поворота в единицу времени:
t ,
следовательно,
21 |
|
21 |
|
2 |
1 |
m1 |
, |
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2m2 |
|
|
где - угол поворота.
|
|
2 |
2 |
3,14 |
|
2,094 |
; |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m1 |
|
|
|
240 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 60 |
|
|
|
||||
|
|
2m2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 120 .
Ответ: платформа повернется на угол 1 120 .
Задача 7. Человек стоит на скамье Жуковского и держит стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня, скамья
неподвижна, колесо вращается с частотой |
1 |
10c 1 . Радиус колеса равен |
||
|
|
|
|
|
R 20cм , его масса m 3кг . Определить частоту вращения |
2 скамьи, если |
|||
человек повернет стержень на угол |
180 . |
Суммарный |
момент инерции |
|