Г .'1 А В .-\ 11

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ДВИЖУЩЕМСЯ ОСНОВАНИИ

иначе и невозможно. Выполнение измерений с погрешно­

стью I0- 7-I0- 8 от измеряемой величины кажется воз­

можным лишь на незыблемой основе. Однако 314 земного

шара покрыты водой и нельзя изучить гравитационное поле Земли без проведения наблюдений на океанах, а это, в свою очередь, требует умения производить наблю­ дения на кораблях, т. е. на движущемся и раскачиваю­

щемся основании. Конечно, можно наблюдать на дне, но

это еще труднее, ведь глубина океана повсеместно 3-

5 тысяч метров. Необходимость в морских гравиметриче­

ских работах диктовалась не только научным интересом

изучения гравитационного поля Земли в целом, но и пря­

мыми экономическими задачами: поиском нефти и газа на шельфе и в более глубоких областях океана. В связи с изучением труднодоступных районов, таких как Арктика

иАнтарктика, нужно было научиться измерять силу

тяжести на самолетах.

Так возникла задача измерения силы тяжести на под­

вижном основании. Принципиально эта задача была решена

для маятникового метода измерения силы тяжести го.rl·

ландским геофизиком Венинг-Мейнесом в 1923 г. Грави­

метры для измерений g на море впервые были применены Хальком и Норгардам в начале тридцатых годов, однако без особого успеха. Это были газовые гравиметры.

Существенные результаты в этой области были достиг­ нуты в пятидесятых годах, когда были впервые применены статические гравиметры с большим демпфированием. Слож­

Jюсть работ на море возникает из-за возмущающих уско­

рений и наклонов корабля, на котором производятся

работы. При этu~t в направлении, противоположно:-.~ воз-

284

c/ 2S

мущающему ускорению, возникает сила инepilllll т dt~ ,

которая, складываясь с силой тяжести mg, постоянно изменяет ее и по ве.1ичине и по направлению. Вектор силы

инерции может быть разложен на три составляющих, на­ правленных по осям координат х, у, z. При т ··\ эти со­ ставляющие будут

Направления х, у, z выбираются следующим образоч:

ось z направлена по нормали к земно:-.tу эллипсоиду, которая

с точностью до ук.'lонения отвеса совпадает с направлением

полного вектора силы тяжести; ось у проходит по каса­

тельной к меридиану; ось х - в плоскоспr первого верти­

кала. Тогда вектор

будет характеризовать в каждый момент времени полную силу, действующую на чувствительный элемент измери­ тельного прибора. Эта величина называется мгновенной силой тяжести, а направление вектора мгновенной силы

тяжести - мгновенной вертикалью в отличие от истинной вертикали, направленной по линии действия невозмущен­

ной силы тяжести.

Гравиметр или маятниковый прибор измеряет верти­

кальную составляющую силы тяжести, отягченную вep-

+d2z

тикальными возмущающими ускорениями, т. е. g dt 2 ,

причем зарегистрировать ее он может в векотором направ­

лении, строго фиксированном относительно рамы прибора.

Это направление называется осью чувствительности при­

бора. Показания гравиметра определяются проекцией вектора мгновенной силы тяжести на его ось чувствитель­

ности. Направление оси чувствительности при наблюдениях

на море непостоянно. Оно изменяется под влиянием воз­

~tущающих ускорений и наклона судна, что создает допо.'!­

нительные искажения отсчетов.

В силу принципа эквивалентности инертной 11 гра­ витирующей масс ускорение свободного падения 11 инер­ ционные ускорения неразличимы. Выделить гравитацион­

ную составляющую удается только потому, что во время

d~z

движения корабля g изменяется медленно, тогда как dt 2 -

285

вертикальные возмущающие ускорения от качки кораб­

ля - имеют высокую частоту.

Применяя тот или иной метод частотной фильтрации, удается выделить из общей картины колебаний низкоча­

стотную часть - собственно величину ускорения силы

тяжести.

§ 2. Определение силы тяжести на море

статическими гравиметрами

Если упругую систе:-.1у сш1ыю заде:-.шфировать, так

чтобы частота ее собственных колебаний стала гораздо

меньше основ1юй частоты качки на волне, т. е. возмущаю­

щих ускорений, то такая инерционная система окажется

мало чувствительной к 1\ачке, но будет «с.riедiПЬ» за :11ед­

ленно :-.1еняющимися вариацнюш силы тяжести, т. е. за

изменениями ее прн пере:11ещеннн судна. На этом и осно­ вано применевне статических гравиметров на море. Можно

упругую систему задечпфировать настолько, чтобы она

стала апериодической, т. е. будучи выведена нз состояния равновесия, возвращалась в него монотонно. I Iроцесс возвращения унругой системы от мгновенно измененного состояния (быстрая смена курса н т. п.) к положению

установившегася равновесия называется переходным про­

цессом. Чем сильнее де~шфирована система, те:11 длиннее

переходный нроцесс.

Если применить гравиметр с горизонтально расноложен­

НЫ:\1 маятником, да еще с нулевой системой отсчета, то на

такой гравиметр мало будут действовать непосредственно

горизонтальные составляющне возмущающего ускорения

(эффекты первого порядка), т. е. моменты сил горизон­ тальных воз:\Iущений для такой систе:11ы будут

d2x .

М_.= fl1 1112 [ SIJ1 а,

где т- масса :11аятника систбiЫ, l - расстояние от оси под­

веса до центра тяжести маятника, а- угол наклона маят­

ника к горизонту. При строго горнзонтальном положе­

нии маятника (а~ О) возмущающий l\Юмент равен нулю. Чтобы избежать значительных наклонов гравиметра

(когда начинают действовать сами наклоны и горизонталь­ ные возмущающие ускорения), его nомещают на гироста­

билизированную nлатформу, т. е. устанавливают по ис­

тинной вертикали (если не считать nогрешностей стабили­ зации). Главным источни ко~1 11оrрешностей из:-.1е.рений в

286

таких условиях являются верт11Кальные возмущающие

ус1<орення. а:-.н1.~итуда J<оторых при набJJюдениях в ус­ :ювиях большого волнения в десят1<11 и сотни тысяч раз

:.южет нревышать величину измеряе~юй вариации силы

тяжести. Выделение пос.1едней на фоне громадных инерв.и­

альных воз:v1ущени й происходит в ос1ювно"' за счет изби­

рательной чувствительности морс~<их затушенных грави­

метров, «настроенных» на низкочастотные вариации силы

тяжести. Остаточные воз~1ущения, неотфи.1ьтрованные дина­ \ШЧеской систе:-.юй гравиметра. сни:v1аются на стадни обра­

ботки результатов измерений. Простейшим алгоритмом

шюнным прибором, вся фильтрация производится на

стадии обработки.

На упругую систе:\!у, ociiOBHЫ'vll! элементами которой

пвляются горшонтальная упругая нить или пружина и

закрученный на mlx ыаятшн<, находящийся в равновесии в горизоmальном положении, действуют следующие ос­

новные обобщенные силы: :-.1омент силы тяжести mgl cos а, момент упр"угой силы крутильной нити т (0 0- 1 а). Здесь l -

длина маятника от оси подвеса до центра масс, а - угол

наклона маятника к горизонту, т -- коэффициент крутиль­ ной жесткости нити, 00 - угол закручивания нити, при

котором маятник занимает горизонтальное положение.

Уравнение движения чувствителыюго эле"-'!ента гра­

виметра на борту судна складывается из МО'.fента силы

частота колебаний, раnная до:-1111111рующеi! частоте вол­ нения).

Уравнение движения маятника псJ.1учается как сумма

287

где g= g0-'т- !J.g (t). В положении равновесия при условии az~ О обеспечивается горизонтальное положение ~аятника

(а=О) и

mg0 l= -8.,т.

Тогда уравнение движения вблизи положения рав­

новесия ~южно написать в виде

где

н

2E=-

m[2'

Это линейное дифференциальное уравнение второго

порядка, общее решение которого при !J.g(/)=0 расnадается на собственное аnериодическое движение системы и вынуж­ денные гармонические колебания на доминирующей ча­

стоте волнения ы:

где а1 характеризует собственное движение системы, а 2 -

вынужденные колебания под действием возмущающих ускорений; а1 , а2 - действительные отрицательные числа:

а1, 2 =-Е+ Vg2 - n~.

А~плитуда и сдвиг фазы вынужденных колебаюtй опреде­

ляются соответственно выражениями

( 11.5)

Собственные колебания при установивше~ся процессе можно не расс~атривать. При (1) О вертикальную составллющую ~ожно считать постоянной величиной, тогда

( 11.6)

Это так называе~1ая статическая а~штпуJ.а отклонения

:-.1аятннка грави~етра. Отношение а2 'rхпати•• называется коэффициентом дина~нчности /.:

( 11. 7)

288

Коэффициент динамичности характеризует степень умень­

шения амплитуды вынужденных колебаний маятника гра­ виметра по сравнению с амплитудой, вызванной знако­

неременными гармоническими ускорениями. Величина, об-

ратная коэффициенту динамичности k =Т1, называется

коэффициентом подавления помех. В случае е= ;; вы­

ражение (11. 7) для Л совпадает с амплитудной частотной характеристикой фильтра Баттерварта второго порядка. Фильтры Баттерварта обладают тем замечательным свой­

ством, что среди всех прочих фильтров нижних частот

с одинаковым подавлением помехи на частотах ffi~n0

они меньше всех искажают полезный сигнал - в нашем случае вариацию силы тяжести. Так устраняется влияние

главной помехи - знакопеременных вертикальных возму­

щающих ускорений.

В сильно демпфированной системе в~п0, no>O, поэтому

приближенно

отклонение маятника от положения равновесия, вызван­

ное импульсным воздействием, уменьшается в е раз. Чем

больше постоянная вре:-.1ени Т, те:v1 медленнее переходный процесс. Сильно демпфированные системы позволяют из­ мерить силу тяжести на борту корабля с погрешностью до 1 мГал. Однако демпфирование приводит к запазды­ ванию показаний гравиметра по отношению к изменениям g по пути хода корабля. Чеч больше постоянная вре:v1ени,

тем больше такое запаздывание. Обычно величина Т равна

200-400 с. В этом с.1учае прн движении корабля со ско­

ростью 30 км/ч из:..fеренное в данный :-юмент значение силы тяжестн должно быть отнесено к точке, где корабль

стоятельство особенно важно иметь в виду при больших

горизонтальных градиентах силы тяжести.

Создание гравиметров с непрерывной регистрацией по­

казаннй позво.тшло 33\tенить наблюдения на отдельных

морских пунктах ненрерывными набтоденнями во время

хода судна, т. е .. как принято говорить, получать непре­

рывные гравиметрические профили. Появилась возможность

автоматизированной обработки данных, без которой нельзя было бы справиться с возникшим информационным взры­

вом. Непрерывность записи данных измерения f..g, а также

навигационных и гидрологических данных, в корне изме­

нила прежнюю методику гравиметрических измерений на

море и их последующую обработку. Автоматизированный

гравиметр ста.1 рассматриваться как сложная динамиче­

ская система, часто с глубокой обратной связью. С при­

влечением нетрадищюнного для гравиметрии математи­

ческого аппарата случайных функций и методов теории

автоматического регулирования была разработана и про­

должает совершенствоваться теория такого гравиметра.

Изучение статистических закономерностей гравитационных

полей различных регионов позволило решить некоторые

задачи оптимальной обработки экспериментальных данных морской гравиметрии. Подробности см. в книге: П а н т е­

л е е в В. Л. Основы морской гравиметрии.- М.: Недра,

1983.

§ 3. Влияние возмущающих ускорений и наклоtюв при установке гравиметра на гироплатформе

Для измерения силы тяжести в условиях действия воз­

мущающих ускорений и наклонов прежде всего надо их уменьшить. Это достигается тем, что гравиметр устанав­ ливается на гиростабилизированной платформе, а в не­ которых случаях (гравиметр Лакоста и Ромберга) в под­ весе Кардана.

Если прибор установлен на идеальной гироплатформе, то ось чувствительности совпадает с истинной вертикалью.

Практически это не так. Пусть угол а - погрешность ус­ тановки платформы в горизонтальной плоскости. В этом случае проекция силы Q' на ось чувствительности предста-

d2х

вится как сумма проекций горизонтального ускорения d/2 и ускорения силы тяж~сти на эту ось (рис. 92):

OD = ОЕ +OF= OF -\-FD,

OF =gcosa=g ( 1- ~~),

290

Аналогично можно написать формулу для вычисления по­

правки по направлению у.

Рассмотрим теперь совместное влияние горизонтальных и вертикальных возмущений. Пусть под действием возму­

щающих ускорений гироплатформа отклонилась от гори-

а

Рис. 93. К учету совместного

действия горизонтальных 11

вертикальных возмущающих

ускорениii (плоскость ~коле-

банвii маятника).

зонтальнаго положения на угол а в вертикальной пло­

скости, nроходящей через маятник, и на угол ~ в верти­ кальной nлоскости, nроходящей через ось вращения ма­ ятника. Сам маятник в то же время наклонится на угол ер относительно гироnлатформы (рис. 93). Тогда согласно

(11.10):

(11.13)

Первый член этой формулы дает nоправку за наклон nлат­ формы, второй -за совместное влияние наклона nлатформы

d2x

и горизонтальных ускорений. Если считать, что dtz и а есть функции одной и той же круговой частоты:

d2x

dt 2 =ах cos ((J)t -1- бJ, \

(11.14)

а= ааcos ((J)t +ба), J

то

(11.15)

Аналогично для у-комnоненты

Эти совместные влияния переменнога наклона nлатформы и горизонтальных ускорений могут быть уменьшены, если

292

уменьшить соответствующие косинусы углов, т. е. сделать

близкими к л/2 разности

6х-6а. И 6y-6(J•

ное влияние горизонтальных и вертика.'IЫILIХ ус1-:ореннй, получившее название кросс-каплинг-эффекта.

Физическую природу этого эффекта легко понять из

следующих рассуждений. На рис. 94 изображен маятник

Рис. 94. Схема движения

опоры гравиметра по круго­

вой траектории.

гравиметра, движущегося вместе с кораблем по круговой траектории в вертикальной плоскости по часовой стрелке.

Для простоты рассматриваем корабль как часть волны. Маятник гравиметра совершает колебания относительно

горизонтального положения под действием вертикальных возмущающих ускорений. Так как гравиметр сильно демп­ фирован, отклонение маятника будет отставать по фазе от

возмущающей силы на л/2, т. е. будет пропорционально

вертикальной ко~шоненте скорости, с которой движется корабль в рассматриваемой гармонической модели волне­ ния, и иметь противоположный знак.

В положении I и 1I1, где вертикальная J<ампонента ско­

рости равна нулю, маятник принимает горизонтальное

положение. Проекция горизонтальной воз~1ущающей силы

на ось чувствительности гравиметра при этом равна нулю,

да и са:-..ш эта сила равна нулю, так как в этих точках тра­

ектории обращается в нуль горизонтальная составляющая

ускорения качки. В положении 11 скорость направлена вниз и маятник находится над горизонтом. Проекция

горизонтальной возмущающей силы, направленной вправо,

на ось чувствительности гравиметра в этом положении

293

отлична от нуля; она закрутит маятник по часовой стрелке.

Очевидно, угол закручивания пропорционален возмуrцаю-

сРх

ной возмущающей силы, направленной влево, на ось чув­

ствительности гравиметра опять закрутит маятник по

часовой стрелке. Таким образом, и в первой половине цикла

от 1 до 111, и во второй от 1I1 до I эффект имеет один знак и в среднем за цикл отличен от нуля. В наблюдаемое зна-

сРх

чение силы тяжести должна быть внесена поправка - dt2 <р,

так как происходит кажущееся увеличение силы тяжести.

Если изменить направление движения гравиметра, то и эф­

фект, и поправка изменят знак.

Математически этот эффект можно описать следующим образом. Пусть горизонтальные и вертикальные ускорения

суть функции одной и той же частоты:

Отклонение маятника, вызванное вертикальным уско­ рением, можно представить формулой

где S -статическая чувствительность гравиметра, F ((J))- отношение статической чувствительности к динамической. Для гравиметра с большой постоянной времени Т прибли­

294

Интегрируя, находим

из (11.21), получаем каноническое уравнение эллипса:

(11.22)

Если опора гравиметра движется по эллиптической тра­ ектории по часовой стрелке, то соотношение фаз будет

(бх-<\) = - ~. Вследствие взаимодействия горизонталь­

ного и вертикального ускорений маятник гравиметра за­ кручивается также по часовой стрелке, увеличивая изме­ ренное значение силы тяжести. Если опора движется

против часовой стрелки, то разность фаз составит бх-бz= ;

и маятник будет закручиваться против часовой стрелки,

уменьшая измеренное значение g. Отсюда ясен путь ис­

ключения описанного эффекта: нужно иметь в комплекте

два идентичных гравиметра, повернутых на 180° относи­

тельно друг друга. Тогда один гравиметр будет показывать завышенное значение g, другой - на столько же зани­ женное. Суммарное показание обоих гравиметров будет свободно от этой погрешности.

Четвертый член формулы (11.13) определяет совместное

влияние наклонов гироплатформы и маятника гравиметра,

вызванное возмущающими ускорениями.

Последний член формулы (11.13) g:2 возникает вслед­

ствие наклона маятника относительно гироплатформы и

равняется

Очевидно, эта поправка уменьшается с увеличением по­

стоянной времени Т.

При амплитудах возмущающих ускорений ax=ay=az=

=50 Гал, la.lmax=l~lmax=2,9·10-s рад=10', lfJ'Imax=

=5·10-э рад (S/F(ro)=10- 7 рад/мГал) получим следую­

щие оценки максимальных поправок в измеренное зна-

295

чение силы тяжести:

Внастоящее время морские гравиметрические изме­

Дальнейшее повышение точности требует и дальнейшего совершенствования вспомогательной аппаратуры: акселе­

рографов, наклономеров и др.

§ 4. Влияние горизонтальных возмущающих ускорений

инаклонов при установке гравиметра

вnодвесе Кардана

Подвес Кардана представляет собой маятниковую си­ стему, свободно качающуюся в двух взаимно перпендику­

лярных плоскостях и стремящуюся установиться по на­

правлению мгновенной вертикали. Рассмотрим движение

в плоскости zx. В этом случае возмущающие ускорения

действуют в направлении оси х (рис. 92). Здесь ОА - ис­

тинная вертикаль, ОС - мгновенная вертикаль, OD -

ось чувствительности, а -угол между истинной верти­

калью и осью чувствительности, ~а- угол между мгно­

венной вертикалью и осью чувствительности. Геометри­

чески ясно, что

(11.24)

Здесь сохранены малые не выше второго порядка. Фор­

мула (11.24) дает значение проекции действующих сил на ось чувствительности прибора, т. е. измеряемое значение

силы тяжести, искаженное горизонтальными ускорениями

и наклонами. При этом горизонтальные ускорения завы­ шают, а наклоны занижают силу тяжести. Чтобы получить

истинную величину g, нужно из измеренной величины Q'

296

вычесть поправку за горизонтальное возмущающее уско­

рение

~gx=~ (~~~у

и добавить поправку за наклоны

~а2

~ga=gт.

Полная поправка по оси х будет

Очевидно, в другой плоскости zy поправка за возму­ щающие горизонтальные ускорения и наклоны будет

~gув= -2~ (~:;У+fg~B2•

В выражения для nоправок входят квадраты величин

d2x d2 y

([j2, IJi2, ~а. ~В. т. е. поправки всегда сохраняют знак,

несмотря на знакопеременность самих возмущений.

Полная поправка за горизонтальные возмущающие ус­

корения и наклоны получится как сумма составляющих

по осям координат:

~g= -2~ [( ~:~)2 + (~:;)2 ] +{ g (~а2+~В2). (11.25)

Поправки за горизонтальные возмущающие ускорения называются поправками Брауна, по имени ученого, впер­

вые указавшего на необходимость их введения.

Значения горизонтальных и вертикальных ускорений измеряются акселерометрами. Наклоны измеряются спе­ циальным прибором, регистрирующим отклонения от на­

правления на горизонт.

§ 5. Способ Венинг-Мейнеса измерения силы тяжести маятниковым nрибором

Этот остроумный способ был предложен Венинг-Мейне­ со~t для наблюдений на неустойчивой nочве Голландии, когда возмущающие ускорения невелики. В дальнейшем он применял его при работе на подводной лодке и даже на надводном судне. Поскольку вертикальные и горизонталь­

ные ускорения действуют на маятник по-разному, различны

и методы уменьшения их влияния и учета.

297

d2z

Вертикальные возмущающие ускорения dt 2 совпада-

ют по направлению с силой тяжести и, будучи знакопе­ ременными, так как корабль то поднимается, то опуска­ ется на волнах, на большом отрезке времени взаимно

уничтожаются. Для осредненного значения вертикальных

возмущающих ускорений можно написать:

Рис. 95. Ход лучей в раз­ ностной схеме измерения g маятниковым nрибором

(фиктивный маятник).

ким, чтобы эта разность была близка к нулю. Кроме того,

чески за 20 минут наступает нужное осреднение. Чтобы

исключить влияние горизонтальных возмущений, исполь­

зуют два маятника, установленных на одной и той же опоре и качающихся в одной плоскости (рис. 95). Если рассматривать отраженный от зеркала маятника луч, то легко убедиться, что он будет совершать колебания такие же, как и сам маятник, только с двойной амплитудой.

Если, далее, этот луч, отраженный от первого маятника, направить на второй, то после отражения от двух качаю­

щихся маятников он будет тоже совершать колебания с амплитудой, равной разности амплитуд обоих маятников. Если маятники качаются в противофазе, то амплитуда луча

света станет равной сумме амплитуд обоих маятников. Если

же маятники качаются в одинаковой фазе, то луч света будет оставаться в покое. Так как оба маятника находятся

на одном основании, колебания его одинаково влияют на

298

оба маятника и исключаются из разности их отклонений.

Таким образом, если IШ!ятники качать в противофазе, то запись их движения дру1· относительно друга будет иметь

вид правильной синусонду,у независимо от того, качается

штатив или нет. Покажем это математически. Неваэмущенное движение маятника приближенно опи­

сывается однородным линейным дифференциальным урав­

нением второго порядка:

колебаний маятника. Если на маятник действует гориэон-

d2х

тальное ускорение dt2 , вызванное смещением подвеса,

к уравнению добавится правая часть, зависящая от возму­

щающего ускорения.

Для первого маятника уравнение движения примет вид

(11.28)

Для второго маятника, качающегося на одном и том же

подвесе с первым, это уравнение будет следующим:

d:lx

В обоих уравнениях dt2 одинаковы, так как это го-

ризонтальные ускорения одного и того же штатива. Ма­ ятники всегда можно подобрать так, чтобы периоды их были одинаковыми, т. е. n1 =n 2=n. При этих предположе­

ниях вычтем одно уравнение из другого:

Это уравнение имеет тот же вид, что и (11.27), т. е. опи­

сывает движение векоторого неваэмущенного маятника,

колеблющегося так, что угол отклонения маятника в каж­ дый момент равен разности отклонения исходных маят­ ников. Такой разностный маятник, полученный из двух,

был назван Венинг-Мейнесом фиктивным маятником.

299

Влияние горизонтальных ускорений исключается только

при условии совпадения собственных периодов обоих ма­

ятников, входящих в пару. Это совпадение должно быть

выдержано с погрешностью, не большей, чем (1-2) ·I0- 7 с.

В противном случае приходится вводить так называемую

амплитуды индивидуальных маятников, Т- измеренное значение периода фиктивного маятника, а - измеренная

амплитуда фиктивного маятника. Все эти величины могут

быть получены по записи морского маятникового прибора.

При наблюдениях период колебаний фиктивного маятника

приводят к периоду первого маятника. Этот период после введения поправки за неизохронность будет

Т1 = Т +(Т1 -Т).

Вслучае полного совпадения периодов колебания пары

маятников поправка за неизохронность обращается в нуль. Кроме поправки за неизохронность приходится учи­

тывать зависимость периода колебания маятника от ам­ плитуды. Следующая формула позволяет привести период колебаний Т к бесконечно малой амплитуде:

(11.31)

Кроме горизонтальных и вертикальных возмущающих

ускорений на маятник действуют наклоны прибора. Наклон

в плоскости, перпендикулярной качанию, уменьшает дей­

качания на период не влияет.

Таким образом, используя метод регистрации фиктив­ ного маятника и вводя некоторые поправки, мы освобож­

даемся в первом приближении от влияния горизонтальных возмущающих ускорений и сводим влияние вертикальных

возмущений к '>fалой величине. Однако при этом остаются

возVIущения второго порядка, которые устраняются введе­

нием поправки Брауна.

300

§6. Поправки за возмущающие ускорения

инаклоны при наблюдениях маятникового прибора,

установJ\енноrо в подвесе Кардана

В идеально:\-! водвесе Кардана маятник качается всегда

около мгновенной вертикали; тогда fla=fl~=O и на при­

бор действуют только возмущающие ускорения. В гори­

зонтальной плоскости они равны

мущения ускорения добавляются к ускорению силы тяже­

сти, так как они действуют вдоль той же оси. Поэтому формулу для обратной величины периода колебания маят­

ника, испытывающего вертикальные возмущения, можно

в ряд с точностью до малых второго порядка относительно

возмущающих ускорений:

где Топериод невозмущенного колебания маятника.

При определении периода из большого числа колеба-

301

или

Отношение периодов связано с сн.'lой тяжести выраже-

нием

или

gп-g=~~(T-T..). ( 11.37)

Внося отношения периодов ш (11.36) в (11.37), полу-

чаем

(11.38)

Эrо поправка Броуна за вертикальные ускорения. Пол­ ная поправка Броуна за возмущающие ускорения д.1я маят­ никового прибора будет

частота колебаний подвеса Кардана, ffio - собственная

частота колебания маятника.

§ 7. Поправка Этвеша

Гравиметрические наблюдения на движущейся подстав­ ке помимо возмущающих ускорений и наклонов всегда искажаются дополнительным центробежным ускорением,

возникающим в результате движения корабля. Если судно

идет вдоль меридиана на север или юг, этого дополнитель­

ного влияния не будет. Однако при движении судна с за­

пада на восток или с востока на запад происходит в пер­

вом случае увеличение центробежной силы, во втором­

уменьшение, поскольку скорость судна в первом случае

добавляется к скорости вращения Земли, во втором -

вычитается.

302

Эта величина должна быть трансформирована к любой широте В, где центробежная сила меньше в cos В раз. Поэтому формула (11.42) в общем случае должна иметь вид

f1gэ=2; VвCOSB.

Если судно идет не в восточном направлении, в выра­ жении добавочной силы появится множитель sin А, где А -азимут, который отсчитывается от направления на

север по часовой стрелке:

где vc - скорость судна в узлах. Вводя числовое значение

до 20 узлов. В этом случае максимальная nоправка Этвеша будет иметь значение 150 мГал. Отброшенный квадратичный член в nоправке Этвеша становится замет­

ным при больших скоростях и должен учитываться при

аэрогравиметрических измерениях.

Г Л Л IЗ Л 12

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПOJJE ЛУНЫ

И ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Досnутниковые nредставления о Луне

и ее гравитационном nоле

Изучение гравитационного воля Луны представляет большой интерес, поско.1ьку, как и ДJIЯ Земли, с его по­

мощью можно получить некоторые сведения о физических

условиях на ее поверхности, внутреннем ее строении,

фигуре и динамических свойствах.

Сила тяжести определяет наличие и состав атмосферы

планет, именно она препятствует рассеиванию газовых

молекул. Если параболическая скорость, т. е. скорость, при которой тела покидают поле тяготения планеты, зна­

чительно превосходит скорости движения газовых моле­

кул, атмосфера сохраняется. Для Луны параболическая скорость очень мала - она составляет всего 2,38 км/с. Это обстоятельство обусловило полную потерю Луной

атмосферы.

Малая сила nритяжения благоприятствует сохранению форм рельефа. Этому же способствует отсутствие атмосферы и воды. Гравитационное поле играет важную роль в про­ цессе образования кратеров в результате метеоритных уда­ ров. Поэтому изучение гравитационного поля Луны имеет большое значение для познания ее происхождения и

эволюции.

Космические аnпараты предоставляют неограниченные

возможности для изучения лунного гравитационного поля.

Однако интерес к особенностям и структуре этого поля

возник уже задолго до появления космических аппаратов.

Понятно, что в докосмическую эпоху сведения о гравита­

ционном поле Луны можно было nолучать лишь косвен­

ными методами.

Так, среднее значение ускорения лунного nритяжения

на ее поверхности можно вычислить, если знать радиус

Луны R, отношение массы Луны к массе Земли ~t и геоцент-

304

рическую гравитационную постоянную GM8 Земли:

Радиус Луны можно найти, измерив параллакс Луны и

ее угловой диаметр. В систе:v~е фундаментальных астроно­ мических постоянных он принят равным R([ = 1738,0 км.

м<r

Отношение масс fl =М определяется по неравенствам

EtJ

в долготе Солнца или l\'Iалых планет, а также по постоянным нутации и прецессии. В той же системе постоянных принято ~l- 1 =81,31. Величина GMfi-, находится из геоде­

зических и гравиметрических измерений по известным зна­

чениям ge и а" или по наблюдениям движения Луны, или, наконец, по наблюдению.! ИСЗ и далеких космических ап­

паратов. Примем значение GMe:1=39860,05·109 м3 ·с- 2 •

При указанных значениях постоянных среднее значе­ ние ускорения притяжения Луны составляет

Это значение в шесть раз меньше ускорения силы тяжести на Земле.

Величина силы тяжести на Луне не постоянна и для

разных точек лунной поверхности, и во времени. Она из­

меняется вследствие отклонений фигуры Луны от пра­ вильной сферической фор:v~ы. Если за фигуру Луны при­

нять эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид, что довольно хорошо соответствует действительности, то можно

выделить нормальную составляющую гравитационного поля

11 остаточные ано:v~а.rши, характеризующие отклонения

гравитационного поля Луны от принятого за нормальное. По этиУI аномалиям можно судить о фигуре и внутреннем строении Луны.

Сила тяжести изменяется с высотой над лунной поверх­ ностью. Это из:v~енение, характеризуемое нормальным вер­

тикальным градиентом силы тяжести, равно

Наконец, сила тяжести периодически изменяется во вре­

:v~ени в зависимости от прилнвных влияний Земли и Солнца.

Притшное влияние близi<ой Земли создает постоянно

действующую силу вследствие синхронности собственного

вращения Луны и обращения ее вокруг Земли. Это и оп-

305

ределяет трехосиость Луны 11 пере'.1енную составляющую, возникающую из-за либрацнй !lуны.

Если за нормальную часть гр;:шнтащюшюго полfl Jlуны

11рннять поле трехосного ЭJIЛШJсоида, то выражение )(.IIH такого нормального значення снлы тяжестн с точностыо

до сжатия имеет вид

у(<р, Л)='l'at'l'ь ( 1 +~sin2 <p+ ~а' cos 2 <pcos2J.), (12.4)

где i'a и i'ь -значения силы тяжести на концах экватори-

сжатие, <р и Л- селенацентрические широта и долгота, Т=2 360 591,5 с- сидерический период обращения Луны.

Принимая разности полуосей по определениям Ш. Т. Хабибулина и ШруткиРехтенштамма

а-Ь=0,280 км, а-с=0,677 км,

что соответствует сжатиям а=--=0,00039 и а' =0,00016, полу­

чаем формулу нормального значения силы тяжести с чис­

ловыми коэффициентами:

у (<р, Л)='l'at'l'ь (1-0,00037 sin2 <р:+ 0,00008 cos2 <р cos 2Л).

( 12 .5)

Эта формула была выведена Н. П. Грушинеким и М. У. Са­ гитовым в 1962 г. Из нее следовало весьма интересное за­ ключение, многим казавшееся в то время абсурдным, но

полностью подтвержденное позже исследованием Луны

с помощью космических аппаратов, а именно, что сила тя­

жести на Луне увеличивается от полюса к экватору при­

близительно на 0,00037 ее полной величины. Объяснение этого явления состоит в том, что эффект

центробежной силы для Луны составляет 1,7 ·10-б от ве­ личины силы тяжести, а эффект из;-,tенения притяжения

вследствие сжатия составляет 38·10-б.

Максш.tальное нз:-.1ененне силы тяжестн от полюса к эк­

ватору составляет +60 мГал, а изменение вдоль экватора

26:-.1Гал.

Вобразовании аномального гравитационного поля Луны еще большую роль, чем для Земли, играет рельеф. Поэтому было естественно попытаться найти зависимость

306

аномалии силы тяжести на Луне от рельефа, который для видимой стороны Луны изучается астрономическими ме­

тодами. Такую работу проделал в 1965 г. К. Гудас, кото­

рый разложил рельеф Луны по известной системе высот­ ных отметок в ряд сферических функций. Радиус-вектор r (q:>, Л) точек физической поверхности Луны был представ­

лен формулой

r (q:>, Л)=

= Rпr1 + п~~~~~о(аптcos тЛ+ЬптsiпmЛ)Рпт(siпq:>)J

(12.6)

Полагая, что выступающие за сферу радиуса Ro массы,

или их отсутствие во впадинах, вызывают аномалии, опре­

деляемые только этими массами, можно рассчитать грави­

тационный эффект от них и перейти от коэффициентов раз­

ложения anm• Ьпт к коэффициентам разложения гравита­ ционного поля Cnm• Snm· Гудас нашел коэффициенты раз­

ложения рельефа до восьмого порядка и вычислил по ним

аномалии силы тяжести. Впоследствии оказалось, что эти аномалии существенно больше истинных. Это происходит из-за того, что не учитывается внутреннее строение Луны.

Аналогично тому, как это сделано для гравитационного поля Земли, гравитационное поле Луны может быть описа­

но силовой функцией, производвые которой суть проекции

силы тяжести на координатные оси. Проекция силы тя­

жести на нормаль к уравенной поверхности есть полная

сила тяжести на Луне.

На точку, расположенную на или вблизи поверхности

Луны, во внешнем пространстве действуют три основные силы: притяжение самой Луны - сила постоянная в каж­

дой данной точке, притяжение Землисила переменная, зависящая от положения Земли по отношению к рассмат­

риваемой точке, и центробежная сила, возникающая под

действием собственного вращения Луны. Векторная сумма

этих сил есть полная сила тяжести на поверхности Луны.

Соответственно можно написать для каждой из этих сил

свой потенциал, сумма которых и дает полный потенциал

на поверхности Луны.

307

Поскольку гравитационное поле Луны исследуется

в основном по наблюдениям возмущений орбит искусст­ венных спутников, функции, его описывающие, принято представлять в виде разложения по сферическим гармо­

никам.

Потенциал притяжения, как н длп Зe!\IЛII, И!\1еет внд

Выражение для потенциала (12.7) может быть развернуто

в ряд по сферическим функциям аналогично (5.52) с той разницей, что все входящие в формулу величины относятся

к Луне:

V(r, q>, Л)=

Вторая составляющая полного потенциала Луны возни­

кает в связи с различием приливнога влияния притяже­

ния Земли на центр масс Луны и другие точки в ее теле. Потенциал притяжения Землей центра масс Луны имеет

вид

где !-.-расстояние между центрами масс Земли и Луны, Mffi- масса Земли, принимаемая ввиду большого удале­

может быть представлено разложением по полиномам

308

Лежандра, и тогда

Здесь гармоника первого порядка исключается выбором

начала координат в центре масс, а разложение ограничено

Рис. 96. Схема образова­

вторым членом в силу быстрого убывания отношения ~

свозрастанием n.

Третьей составляющей является потенциал, обуслов­

ленный собственным вращением Луны:

Выражая угловую скорость ro 2 через геоцентрическую гра­

витационную nостоянную GMEIЭ:

(J)2 __GMEIЭ

-fl3. '

Q (А) nредставим как

cos2 Zffi= cos2 ф +2 cos <р (cos <р sinЛ sin lEIЭ +sin <р cos Л sin bffi),

где ~. bffi, luэселенацентрические координаты Земли,

cos "' = cos <р cos л,

309

получим

Р2 (cos ZE!J)..::::; ~ [ -2Р20 (sin q>) -1- Р22(sin q>) cos 2Л].

Вводя это выражение в (12.17), получим для приливо­

образующего потенциала окончательно

U(A)= 0~'2 [2-5P20(sinq>)+ ~ P22(siпq>)cos2Л]. (12.18)

Потенциал силы тяжести Луны складывается из потен­

циала притяжения масс Луны V (г, <р, Л) (12.9) и потенциала припивообразующих сил притяжения Земли и центробеж­

ной U(A) (12.18):

Это наиболее общее выражение для потенциала поля силы тяжести Луны позволяет найти саму силу с выделением составляющих от притяжения Луны и Земли.

§ 3. Сила тяжести на Луне

Чтобы получить полную величину силы тяжести на Луне, надо потенциал W (г, q>, Л) продифференцировать по направлениям координатных линий г, q>, Л и взять вектор­

В формуле для полного значения силы тяжести (12.20) доминирующее значение принадлежит первому члену. По-

310

этому имеет смысл при рассмотрении ускорения силы тя­

жести в выражении (12.20) выделить первый член 11 удер­

жать в разложении только члены порядка сжатия 11 асим­

выражения, являющиеся, так же как производная по р,

функцией коэффициентов Cnm• Sпт и полиномов Лежандра.

В результате для полного ускорения силы тяжести на

Луне получается следующая формула:

g(r, q>, Л)=g0 [ 1+f (; )n,~o(g"m cos mЛ+

+hnm sinmЛ)Pnm sin (sinq>)], (12.23)

g1o =h1o=hн =0,

g11 = 13~4 ( ~ ) 2с.оса1•

g2п= ЗС2о+ ~ fL- 1 ( ~)3+ ~ (~ )2(С~о-12Cbl,

g22 = зc.2--}fL-1 (~ / (; ) 2-f (~ )2с2ос22•

(12.24)

gзt = 4Сз1+ : CsoCзl ( ~ ) 2 , g~.. = 5C40-;~(qo+2Cbl,

ga = 5С42-~~С30С28, gн= 5Сн-:5 С~~.

12

gs1 = 6С.н -т CsoCai•

3\1

Коэффициенты h"m И:'vfеют такой же вид, только Си заме­

няется на Su. Подробный вывод фор~v1улы (12.23) 11 коэф­ фициентов (12.24) имеется в книге: С а г и т о в .М. У. Лунная гравиметрия.- М.: Наука, 1979.

§ 4. Селеноид

Подобно тому, как при изучении фигуры Земли в ка­

честве одного из приближений принимают геоид, так при изучении фигуры Луны можно говорить о селеноиде -

уровенной поверхности, близкой к физической поверхности

Луны и представляющей фигуру последней. Уравнение

селеноида получают, приравнивая константе потенциал

силы тяжести для Луны:

Однако на Земле реально существует физическая ура­

венная поверхность, которую естественно принять за

геоид -это поверхность воды в океанах. На Луне этому

аналога нет. Было бы естественно в качестве селеноида

выбрать такую уровенную поверхность, сумма квадратов отклонений которой от физической поверхности Луны

была бы минимальной. Однако эта задача не простая, и

для решения ее нужно хорошо знать рельеф Луны. Проще

принять за селенаид уравенную поверхность, проходящую

через некоторую фиксированную точку с расстоянием от

центра масс Rо:

Чтобы написать это уравнение в развернутом виде, следует

подставить сюда W из уравнения (12.19).

Для практического нахождения фигуры селеноида нуж­ но уравнение (12.27) разрешить относительно радиуса­

вектора r. Подробный вывод можно найти в книге М. У. Са­

гитова «Лунная гравиметрия», здесь же заметим, что в

312

"-

3

-с.>

с.>

окончательном варианте уравнение селеноида имеет вид

где Anm• Впт -функции коэффициентов Cnm• Snm раз;

ложения потенциала.

Таким образом, исходными данными для построения гравитационного поля и фигуры Луны являются те же коэффициенты разложения по сферическим функциям.

Заметим, что в разложении (12.28) неиулевое значение имеет коэффициент А 11, что свидетельствует о смещении центра объема относительно центра масс Луны. Однако

оценка, сделанпая М. У. Сагитовым, показывает, что это

смещение ничтожно мало.

Представить селенаид естественно отклонениями от какой-либо правильной фигуры. Для Луны удобно в ка­

честве такой поверхности отсчета nринять сферу. На

рис. 97 приведена карта высот селеноида над поверхностью

сферы радиуса 1738 км, построенная по определениям

А. Феррари коэффициентов разложения Спт и Snm до 16-го порядка. На этой карте видно, что высоты селеноида из­

меняются в пределах ±500 м. На карте селеноида хорошо

видно экваториальное вздутие стороны, обращенной к Зем­

ле. Именно здесь, в области долгот -140°-+ 130° наблю­

даются возвышения селеноида в 500-600 метров. Четко видно полярное сжатие - обе полярные области имеют

отрицательные высоты селеноида порядка -300 м. Вообще относительные ондуляции селеноида значи­

тельно больше ондуляций геоида и составляют 3·10-• ра­

диуса, тогда как для Земли -2·10- 5 •

§ 5. Нормальное гравитационное поле Луны

Так же, как и для Земли, гравитационное поле Луны

удобно разделить на две составляющие: нормальную и

аномальную. Первая, нормальная составляющая будет со­

ответствовать некоторой правильной, нормальной, фигуре Луны. В качестве такой фигуры можно принять сферу, двухили трехосный эллипсоид или, наконец, сфероид.

Все ~п1 «нормальные» фигуры 1\ЮЖIЮ получить из урав­

нения для потенциала Луны (12.19) выбором членов, вхо-

314

дящих в нормальный потенциал. Так, отбрасывание всех членов, кроме первого (С00), приведет нас к сферической

Луне:

Сохранение члена С2о даст фигуру сфероида, почти точно совпадающую с эллипсоидом вращения:

Более строго можно подойти к решению задачи, если при­

нять в качестве нормальной Луны эллипсоид вращения

с заданными большой (а) и малой (Ь) полуосями. Написав

для такого эллипсоида явное выражение радиуса-вектора,

получим уравнение нормалыюга эллипсоида.

Наконец, более сложную фигуру нормальной Луны по­

лучим, если в разложении (12.28) удержим несколько главных членов. Впрочем, выбор этих членов не прост, поскольку для фигуры Луны нет такого доминирующего

отклонения от сферической формы, как сжатие для Земли,

на порядок превосходящего все другие отклонения. Н аиболь­ шие отклонения гравитационного поля Луны от правиль­

ного сферического описываются гармониками Р20 (siп <р),

Р22 (siп <р), Рзt (sin <р). Удерживая эти гармоники в урав­

нении (12.19), получим уравнение нормального сфероида:

W (r, ер, Л)=

Здесь удержаны главные члены, описывающие асимметрию

распределения масс в самой Луне и зависящие от возму­

щающего действия Земли.

Чтобы получить поверхность такой нормальной Луны,

нужно уравнение (12.31) разрешить относительно радиуса­

вектора r. Решение осуществляется последовательными

315

или в развернутом виде:

Г (rp, Л)= R0 A00 [ 1+ D2o +D22 COS 2 (Л- i-.0 ) Р22 +Dзо + +D31 cos (Л- Лu) Р31 +D4 o+D41 cos (Л-Л0) +

+D42 cos 2 (1,- Ло) Р42 +D44 cos 4 (f.- 1-. 0 ) Р44 +

+D51 cos(/,-/,.,)P51 ], (12.33)

D2t = Dз2 ~ Daa = D4з = D,,,, '""-" D52 о D5з ~= D"_, = D55 о-~ О.

Коэффициенты Dnm суть функции коэффициентов разложе­

ния Cnm· Для сохранения в разложении радиуса членов того же порядка малости, что и в уравнении (12.31), здесь

приходится удерживать большее число членов. Соответственно выбору нормальной фигуры можно найти

и нормальное распределение силы тяжести. Для этого

воспользуемся выражением, которое получится из (12.23),

если удержать в нем только гармоники Р2о. Р22. Р31:

v(г, rp,Л)=go[1+(;)2 g2oP2o-l-

+ (;) 2 (g22 cos 2Л+h22 sin 2Л) Р22+

поверхности Луны, имеющей радиус-вектор г. Чтобы от­ нести эти значения к поверхности нормальной Луны,

нужно взять уравнение радиуса-вектора для нормальной

Луны, например (12.33), и внести в выражение (12.34). Поскольку уже говорилось, что для Луны отклонения

высот селеноида мало меняются от выбора поверхности от­ носимости, будь то сфера, эллипсоид вращения или сфе­ роид, представляемый уравнением (12.33),- выберем за поверхность относимости сферу. Тогда г=Rо и, заменяя

в (12.34) г на Ro. получим нормальное распределение силы

тяжести на сферической Луне:

у= Д,.[!-';- g20 P 20 (g22 cos 2/. -;-h22 siп2i.) Р22 --1

+(g31 cos/,-: II31 Siпi.)P,11], (12.35)

где

316

Значения h имеют тот же вид, только C,.m заменяются

на Sпm·

ёсли принять за нормальную Луну фигуру вращения:

для нормального распределения силы тяжести получится

несколько более сложное выражение, которое часто при

практических вычислениях принимается за нормальное

гравитационное поле Луны. Для такого нормального поля

с удержанием гармоник порядка 2,0 и 2,2 М. У. Сагитов

получил следующие формулы:

у= 162306 (1-0,000283 sin2 <p +0,000077 cos2 <p cos 2Л) мГал; (12.37)

б} при использовании коэффициентов Спт и Snm Фер­

рари

у= 162306 (1-0,000288 sin2 <р + 0,000061 cos2 <p cos 2Л) мГал. (12.38)

При вычислении принято:

Ro= 1738 КМ,

11. = 348 400 км,

GM 1[ = 4902,7 ·109 м3jс2,

~t- 1 =81,30.

Отметим хорошее согласие между собой формул (12.37) и (12.38), а также старой формулы (12.5).

§ 6. Исследование Луны космическими аппаратами

Реальное изучение гравитационного поля Луны мето­

дами космической геодезии началось со времени запуска

космических аппаратов. Уже в 1966 г. Э. Л. Аким опубли­

ковал значения коэффициентов разложения гравитацион­

ного поля Луны в ряд но сферическим функциям, получен­

ные по результатю1 наблюдения искусственного спутника

Луны (ИCJI) «Луна-10». В последующем результаты были

317

уточнены по набл1одениям ИСЛ сЛуна-12, -14, -19 и -22»,

а также по результатам наблюдений американских ИСЛ.

Были вычислены гармоники разложения Спт до порядка n=7, m=4 и Snm до порядка n=4 и m=4. В результате были получены первые обобщенные карты гравитацион­

ного поля Луны.

Большой наблюдательный !'.Iатернал д.Тiя выводов пара­

метров гравитационного поля Jlуны был поJiучен по наблю­

дениям американских аппаратов ИCJI «Лунар орбитер-1, -2, ·3, -4, -5», «Эксплорер-35 11 -49» и .'lунных космических аппаратов «Аполлон-11, -12, -14--17» во время облета ими Луны, а также ИCJI, запущенных с космических ап­

паратов «Аnоллон-15, -16».

Некоторые особенности динамики орбит лунных сnут­

ников и техники слежения за ними определенным образом влияют как на выбор промежуточной орбиты спутника, так и на методику наблюдений и обработки результатов.

Основными силами, которые должны быть учтены при

построении модели лунного гравитационного nоля, яв­

ляются притяжение Луны, Земли, Солнца и давление сол­

нечной радиации. При этом влияние сжатия Луны характе­ ризуется величиной порядка I0- 4 по отношению к притя­

жению сферической Луны, притяжение Земли начинает

преобладать над влиянием лунного сжатия нри высотах

спутника, больших 2000 км, притяжение Солнца состав­

ляет 0,5·10- 2 от притяжения Земли, эффект солнечной ра­ диации является величиной того же порядка, что и эффект

сжатия. Кроме того, первые же результаты обработки на­ блюдений лунных спутников показали, что аномальное

гравитационное поле Луны (т. е. остаточное noJie после

вычитания притяжения сферической однородной Луны)

является весьма неоднородным, и в модели помимо гармо­

ник сжатия С20 и С22 необходимо учитывать и ряд других

гармоник, во всяком случае, гармонику С31, отражающую

асимметрию видимого и обратного полушарий Луны.

Из-за большого расстояния .Тiунных сnутников от стан­ ций наблюдения угловые измерения нх положения стано­

вятся неэффективными и заменяются измерениями рас­

стояний и скоростей. Так, угловая ошибка в 0°,1 соответ­

ствует ошибке в положении спутника свыше 600 кы, изме­ рения же расстояниИ возможны с точностью 5 ы, скорос­

тей - с точностью 1 мм/с.

Удаленность лунных сnутников дает возможность на­

блюдать их с одной стющин от восхода до захода Луны,

поэтому две достаточно дале1ю расположенные станции

318

могут получить ппчти полные данные для определения орби­

ты лунного спутника. Однако спутники, находящиеся над невидимьш с Зе:v~ли нолушарнем Луны, наблюдаться с на­ земных станций не ~югут, поэтому на результатах вычис­

ления сказывается в основном влияние гравитационных

эффектов от обращенного к Земле полушария Луны. Таким

образом, только результаты, полученные по вековым и

дошопериодическим изменениям элементов орбиты, можно

распространить и на обратную сторону Луны. Результаты же, полученные путем прямой подгонки системы гармоник, справедливы лишь для зоны, покрытой наблюдениями, и не отражают характера гравитационной неоднородности всей Луны в целом.

Изучение гравитационного поля Луны методом наблю­

дения возмущений орбит ИСЛ имеет ряд преимуществ по

сравнению с применением этого метода для Земли. ИСП не

встречают сопротивления атмосферы, отсутствующей на Луне, и могут двигаться практически на любых высотах, в частности, очень низко над поверхностью Луны, а это

очень повышает чувствительность метода.

Медленная скорость вращения Луны дает возможность

длительное время наблюдать спутник, находящийся в почти

стабильном гравитационном поле Луны. Так, за время одного оборота спутника Луна повернется всего лишь на ,...,2о. Это обстоятельство делает возможным определение

системы средних орбитальных параметров, например, по

двум последовательным оборотам спутника. При этом ве­

ковые и долгопериодические изменения элементов позво­

ляют найти не только зональные гармоники потенциала

Луны, но и тессеральные.

Сравнение коэффициентов разложения лунного грави­

тационного по.r1я с земным показывает сильную гравита­

ционную неоднородность и асимметрию Луны, а также то,

что эффект сжатия сравним с другими отклонениями от

сферичности. Приводим таблицу нормированных коэф­

фициентов первых членов разложения потенциала Луны и

Земли (для Луны по А. Феррари, 1977).

ГJJавные гармонические коэффициенты дJIЯ Луны н ЗемJJи

Последующие коэффициенты для Луны имеют порядок

Спт Jo-•-Jo-•, а для Земли J0- 6-l0- 7 •

319

Член С2о характеризует сжатие.

Наблюдения ИСЛ позволили уточнить некоторые фун­

даментальные постоянные. Так, для Луны

GM([=4902,71 +0,01 КМ~·С, ME?IM([ =81,302 + 0,001,

м([ =7,3458· 1025 г, а([= 3,3433 + 0,0004 г-с-3•

Однако чрезвычайно высокая стоимость ИСЛ даже по

сравнению с высокой стоимостью ИСЗ не позволяет ши­ роко пользоваться этим методо:\1. Тем не менее только для

аппаратов «Аполлон-15 и -16» имеется более полу:-.шллиона наблюдений. Недостатком этого метода изучения гравита­

ционного поля является и невозможность наблюдать про­

лет ИСЛ над обратной стороной Луны. Конечно, впослед­ ствии будет организована ретрансляция, однако пока кар­

тину гравитационного поля для обратной стороны прихо­

дится строить экстраполяционным методом -- методом на­

блюдений на длинных участках орбиты, так называемым

методом длинных дуг.

В настоящее время наиболее полное разложение гра­

витационного поля Луны по сферическим гармоникам по­

лучил А. Феррари, который по данным наблюдений «Лу­ нар орбитер-5» и ИСЛ, запущенных со станций «Апо.rrлон-15 и -16», осуществил разложение до шестнадцатого порядка. Он вычислил эти коэффициенты по долгопериодическим из­ менениям средних кеплеровских элементов орбит ИСЛ:

М?,, бrо, бi и бе. Выбор спутников определялся разницей

наклонений их орбит, что имеет существенное значение для

точности вывода. «Лунар орбитер-5» имел почти полярную

орбиту, тогда как плоскости орбит ИСЛ «Аполлон-15 и -16»

были близки к экваториальным. На рис. 98 и 99 приведены

карты аномалий силы тяжести для видимой и обратной сторон Луны на высоте 100 км, построенные А. Феррари. На этих картах изоаномалы проведены через 40 мГал. Заметим, что аномалии силы тяжести на Луне на высоте 100 км над средним уровнем и при большом осреднении

имеют тот же порядок, что и неосредненные аномалии на

Земле на уровне океана, которые изменяются в интервале --(-180-7-+220) мГал. Отношение таких значений ано­

малий к полной величине напряженности гравитацион­

ного поля Луны на порядок больше, чем для Земли, так

что лунное гравитащюнное поле бо.1ее аномально, че~1

земное.

320

с:.:

""

(,.)

""

""

Jo"

§ 7. Изучение гравитационного nоля Луны

по вариациям лучевой скорости

искусственных сnутников Луны (ИСЛ)

Наблюдения 11СЛ дают еще одну возможность измере­

ния аномального гравитационного поля Луны. Это способ определения лучевых ускорений. Лучевое ускорение­

составляющая ускорения по лучу зрения, т. е. по направ­

лению Земля - искусственный спутник Луны. Над цент­

ром лимба Луны эт11 ускорения совпадают с радиальными

ускорениями, вызванными аномалин:vtи гравитационного

поля, т. е. с f'l.g. Лучевые ускорения не измернются непо­

средственно, а получаются как производвые от лучевых

скоростей. Измерение скорости но лучу зрения широко применяется в астрономии н некоторых областях техники. Этот метод (получивший название доплеравекого 110 откры­

тому Доплеро:v~ эффекту смещения спектральных линий

ккрасному конну спектра при удаленив излучающего

предмета 11 к фнолетовому - при прнблнжении) позволяет

непосредственно измерить скорость движущегосн вдоль

луча зренин предмета. Первоначально, в астрономии, ме­

тод Доплера был применен в оптическом диапазоне. Сей­

час он широко используется в диапазоне радиочастот. Точ­ ность метода очень высока. Измерение лучевых скоростей

ИСЛ производится путем сравнения частоты радиопередат­

чика, установленного на спутнике, со стандартной частотой

(2300 МГц). Изменение скорости по лучу зрения на 65 мм/с

соответствует изменению частоты на 1 Гц. Точность изме­ рения частоты составляет ±0,02 Гц, чему соответствует

точность измерения скорости + 1,3 мм/с. Измеряя смеще­

ние частот по отношению к стандарту на векотором отрезке

времени, мы получаем изменение скорости за это время,

т. е. ускорение. Когда спутник проходит над центральной частью видимого полушария Луны, определенное таким

методом ускорение равно аномалии ускорения силы тя­

жести. Нормальное гравитационное поле при этом опреде­

ляет невозмущенную орбиту, для которой на прямой

Земля - спутник -Луна лучевая скорость равна нулю. По мере удаления от центра Луны наблюдаемое ускорение

вдоль луча зрения Гл будет уменьшаться тангенциальной

компонентой (рис. 100).

Из сказанного очевидно, что, измерня лучевые скорости

движения спутника, мы получаем аномалии ускорения

притяжения Луны в чистом в1ще только для центральной

области. По мере отклоневин от нее значение ,\g.: будет

уменьшаться и дополнительно искажаться ускорениями

движения по орбите. Кроме того, следует иметь в виду, что

лучевые ускорения опреде.r1яются не на поверхности не­

бесного тела, а на высоте орбиты его спутника. Поэтому поле лучевых ускорений небесного тела, построенное по

наблюденным лучевым скоростям, не есть гравитационное

поле, и только в центральном поясе этого тела можно счн­

тать нх ндентичнымн па уровне высоты орбиты.

Рис. 100.•'1y•Jcouc 11 IIO.'JIIuc ускорс1111с пpiiПIЖCIIШJ.

Использование метода изучения гравитационного поля Луны по лучевым скоростям ИСЛ «Лунар орбитер-5» при­ вело к открытию П. Мюллером и У. Сьегреном в 1968 г. больших неоднородностей масс в теле Луны, получивших

название маеконов (mass concentration). Оказалось, что в районах некоторых Морей -Дождей, Ясности, Кризи­

сов, Нектара, Влажности - существуют значительные по­

ложительные аномалии силы тяжести, достигающие на

высоте наблюдения (100 км) величины +250 мГал. По-ви­

димому, в этих местах имеются значительные избыточные плотности. Первая карта лучевых ускорений, по которой

Мюллер и Сьегрен обнаружили масконы, приведена на

рис. 101.

Этим методом по доплеровским наблюдениям команд­

ного и служебного модулей «Аполлон-14, -15, -16, -17» и ИСЛ, запущенных с космических аппаратов «Аполлон-15

и -16», были построены довольно детальные гравиметриче­ ские карты для отдельных областей видимой стороны Луны

в широком поясе порядка + 70° по долготе. Высоты, для

которых получены гравитационные аномалии, из:-.1еняются

от 10-15 до 70-100 км.

Для того чтобы получить картину аномального гравита­ ционного поля Луны по ваблюденным лучевым ускорениям, требуется провести трансформацию лучевых ускорений в

нецентральных областях, направленных под углом к ра­ диусу Луны, в радиальные. Эту задачу можно решать по-

324

разному. Один нз способов состоит в разложении лучевых

n=lm=O

Х (a,.,n cos ml. + bmn sin mЛ) Рnm (sin <р).

Приравняв коэффициенты й11т, Ьпт соответствующим коэф-

дW

фициента~ разложения производной потенциала дг- ,

можно найти коэффициенты разложения потенциала Сппн

5 111 ,1 • Эту же задачу можно решить как краевую с помощью

N

s

Рис. 101. Карта лучевых ускорений по П. :\\юл.1еру н 8. Сьегрену, сечение 2·10-:' мjс2.

интеграла Пуассона, который позволяет определить не­

прерывную функцию и ее производные во всем внешнем

пространстве, если лучевые ускорения Г (х, у, z) заданы

на некоторой зюtкнутой поверхности.

325

Используя оба метода IIЗ)'ЧС'НШI гравнтащюшюго поля

Луны и планетанализ долгоперноднческих воз~ущений орбит искусственных спутннков и доплеровскиl! ;-,1етод оп­

ределения лучевых скоростей, ыожно получить наилучшие

результаты. Доплеравекий :-.1етод очень точен, но он не­

применим к изучению обратной стороны Луны. Долгопе­

риодические возмущения орбит дают :-.1енС'е точные резуль­

таты, но по ним можно исследовать всю лунную поверх­

Jюсть. Так, в результате анализа трех работ была пост­ роена модель гравитационного поля Луны. Эти работы

следующие: модель гравитационного поля видимой сто­

роны Луны с высоким разрешением, построенная по луче­ вым скоростям (Л. Вонг и др., 1971), по данным кос:-.lиче­

ских аппаратов «Аполлон-8 и -12», и спутников Луны от

первого до пятого, разложение потенциала до 16-го по­ рядка по наблюдаемым долгопериодическим орбитам спут­

точности для низких гармоник, основанная на доплероБ­

ских и лазерных наблюдениях ИСЛ (А. Феррари, 1979).

Здесь мы приводим карты: аномалий в свободном воздухе

(рис. 102) и аномалий Буге (рис. 103). На первой из них изолинии проведены через 50 мГал. Сплошная жирная ли­

ния означает нулевую изоаномалу; положительные ано­

малии -сплошные линии, отрицательные -штриховые.

Все поле дано для высоты 100 км над поверхностью Луны

и отнесено к сфере радиуса 1738 км. На карте аномалий

Буге изоаномалы проведены через 100 мГал. Остальные

параметры те же.

В отличие от более ранних выводов оказалось, что види­ мая и обратная стороны Луны имеют сложный характер аномалий. Для Луны характерна только слабая коррелн­

ция между рельефом н аномалнямн Буге. Авторы карт

делают вывод о том, что лунная кора в основном изоста­

тически компенсирована.

§ 8. Непосредственные измерения ускорения силы тяжести на Луне

В отличие от хода развития гравиметрии на Земле для Луны она началась со спутниковых методов. Поэтому очень

быстро были получены обобщенные карты ано~ального

гравитационного поля всей Луны. Спутниковый же метод

непосредственного измерения ускореннй по лучу зрения

в днаназоне радночастот позво.'!нл иолучнть \Шогне детали

328

гравитационного поля. Непосредственных наблюдений ус­ коренiiЯ силы тяжестн на Луне с гравиметрами до настоя­

щего времени произведено очень мало. Такие наблюдения были выполнены во время посадок на Луну космических аппаратов «Аполлон-!!, -12, -14 и -17». Для измерения на аппаратах «Аполлон-!!, -12 и -14» использовались трех­

компонентные акселерометры, применявшиеся для изме­

рения ускорения силы тяжести в движении. На аппарате

«Аполлон-17» использовался специальный гравиметр, Trayers Gra\·imeter (T.G.), построенный в Массачусетском

технологическом институте специально для работы на

Луне. Точность наблюдений с этим прибором - несколько

миллигал. С ним произвели измерения в ряде точек вдоль

20-километрового нрофиля. Остальные наблюдения произ­ водились в местах посадки модуля. Ниже приводится таб­ лица первых четырех гравиметрических наблюдений на

Луне.

Таблица 19

Непосредственные rравиметрические измерения на Луне

§9. Гравитационное nоле Марса

Огравитационном поле планет пока мало что известно.

Конечно, зная размеры, угловую скорость вращения и постоянную GM, можно построить модель поля силы тя­

жести ДJ!Я каждой планеты. Однако фактических измере­

ний по наблюдениям космических аппаратов вблизи пла­ нет пока мало. Нанболее хорошо изучены сейчас планеты

Марс и Венера.

25 октября 1977 г. искусственный спутник Марса, за­

пущенный с космического аппарата «Викинг-2>>, прибли­ зился к Марсу настолько, что высота орбиты в nерицентре

оказа.Jiась б.rшзкой к 300 ю1. Представился уникальный

случай для из!'v!ерения гравитационного поля nочти на

всей поверхности планеты. Ранее сведения о поверхности

329

Марса 11 его гравитанионном поле принесли космические

аннараты «Л'\арс-2, -3, -5». «Марннер-9» 11 «Внкннг-1 », од­

нако условия наблюдений во всех эт11х случаях были за­

метно хуже и пнфор\1ация беднее.

Основным методоы изучения гравнтационного поля был метод измерения лучевых ускорений спутника. Период с 25 октября 1977 г. по март 1978 г., когда были получены

данные со спутника «Викинг-2>>, бы.п благоприятен для

наблюдений: Марс находился ближе к Зе\1ле, чем при

предыдущих экспер11ментах, и луч света проходил дальше

от Солнца. Высота орбиты в перицентре была между 270 и 300 км. НакJюнение орбиты равнялось 80°, что позволило

произвести измерения в широком поясе широт. Доплеров­ ский сигнал посылалея каждые 1О секунд, что давало по

крайней мере 6 доплеровских данных для 300-километро­

вого пути. Были получены орбитальные траектории через l{аждые 4-5° или 270 К\1. Таким образо:о.1 точки, для кото­

рых измерены лучевые ускорения, раз\1ещаются по по­

верхности планеты на расстояниях 300-500 К\1. Измере­

ния произведены на высотах порядка 300 км. Чтобы полу­

чить карту ускорений, в доплеравекие наблюдения вводи­ лись поправки за возмущения от Солнца 11 планет, за вра­

щение Земли и орбитальное движение самого спутника. Модель нормального гравитационного поля была пост­

роена, как модель поля сферических функций до 4-го по­

рядка.

Ранее по воз!V!ущения\1 элементов орбиты Е. Кристен­

сен и Ж. Бальмино построили модель гравитационного

поля Марса в виде разложения по сферическим функциям до 12-го порядка (рис. 104). После обработки наблюдений

лучевых скоростей и вычисления ускорений по лучу зре­

ния В. Сьегрен построил более детальную карту гравита­ ционных аномалий Марса. Он же построил карту высот

ареаида по отношению к эллипсоиду с параметрами

сх = 1: 191' 1902' R0 =3394 КМ,

GM 0 =42828,44·108 м3 ·с-2, (о)= 88 642,655 С= 24,623 Ч.

Карта ареаида приведена на рис. 105. При рассмотрении

упомянутых карт видны многие детали гравитационного

поля Марса и связь его с рельефом. Особенно л.етально изучена область Тарсис с гигантской горой Олн:-.ш. Для этой

330

180" 1во· 140" 120" 1оо· во• во· 4о" -2о· о· J4o· зzо· зоа· zeo· 250" 240" 220· 2оо"180"

Долгота

Рис. 104. Карта аномалий СИJIЫ тяжести на Марсе по разложению потенциала до 12 порядка (Ж. Бальмино и Е. Кри­

стенсен), сечение 100 мГал.

!

Рис. !05. Карта высот ареаида по Ж. Бальмино и Е. Кристенсену, сечение изолиний !00 \!Гал.

области высоты ареоида над эллипсоидом относимости

приведены на рис. 106.

Вулканическая область Тарсис с горой Олимп (18°N, 133°W) является на Марсе наиболее аномальной. Здесь

значения аномалии достигают 344 мГал на высоте движе­

ния спутника в 275 км. Наибольшая аномалия на Луне, над маеконом моря Ясности, имеет величину 246 мГал на высоте 27 км или 92 мГал на высоте 120 км. Аномалия над

220" 190" 160" 130" 100" 70" 40"

вулканом Олимп протягивается на северо-запад. Три вул­ канические горы в области Тарсис Аскреос, Павонис и Ар­

сия также характеризуются положительными аномалиями.

Траектория спутника не проходила непосредственно над

этими вулканами, и поэтому на карте нет самих гравита­ ционных максимумов, но траектории, проходящие между

горами, показывают нарастание поля к ним.

Гравитационная аномалия характерна также для воз­ вышенности Элизиум (25°N, 213°,5W), причем аномаль­ ная область распространяется значительно шире горной

ззз

области, что дает основание предполагать наличие значи­

тельных плотностных неоднородностей. Гравитационная

аномалия наблюдается над кратером Альба (40°,5N, 109° W),

не имеющим заметных форм рельефа. В то же время тра­ ектория, проходящая над вулканом Геката (Hecatus) (32°N, 2l0°W), не обнаруживает какой-либо ано~альности.

Все это свидетельствует о наличии значительных плотност­

ных неоднородностей во внутренних слоях Марса.

Депрессия Изнда (l2°N, 27l 0 W) имеет маскон, отме­

ченный положительной аномалией, тогда как вся окру­

жающая местность характеризуется отрицательными ано­

малиями порядка 600 мГал. Эта аномалия похожа на ано­ малии над лунными масконами. Однако пока на Марсе

обнаружена только одна такая структура. Обширные по­ ложительные аномалии отмечены над впадинами Аркадия

(49°N, l4°,5W) и Утопия (40°N, 225°W). Большие кратеры Кассинн (24°N, 328°W) и Антоннади (2l 0 N, 299°W) не свя­

заны с каки~и-либо заметными гравитационными анома­ лиями, что может быть следствием изостатической компен­

сации, однако эти кратеры находятся на границе видимо­

сти и для интерпретации требуются дополнительные

данные.

Была предпринята попытка интерпретации крупных

аномалий путем построения модели суммарного влияния массивных дисков, заложенных в аномальных областях.

В таблице 20 приведены размеры и массы рассчитанных та­

ким образом дисков.

Таблица 20

Подбор дисковых масс, моделирующих крупные аномапии

на Марсе

Карта гравитационных аномалий показывает, что боль­ шинство их связаны с видимым рельефом. Это вулкан

Олимп. горы Аскреос, Павонис, Арсия, возвышенное плате