СИЛА ТЯЖЕСТИ. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

§ 1. Сила тяжести на земной nоверхности

Всякая точка, расположенная на поверхности Земли, притягивается всей массой Земли по закону все:'v!ирного

тяготения. Кроме того, на нее действует центробежная сила,

пропорциональная удаленности точки от оси вращения

Зе:'v!ли и квадрату угловой скорости (рис. 8):

Р =РеШ2m= ш Х (ro Х Ре)· т,

ничную массу, по;-.tещенную в данную точку.

Если каждой точке земной поверхности и внешнего про­

странсша соответствует единственное значение силы тяже­

сти, то такое пространство называется полем силы тяжести,

а вектор силы, действующей в каждой точке на единичную массу,- напряЖенностью поля силы тяжести. Таким обра­

зом, напряженность rю.1я силы тяжести в данной точке чисденно равна ускорению силы тяжести в тoii же точке.

32

менее 0,00!) g. Отношение максимального значения центро­ бежного ускорения к минимальному значению ускорения

вращения Земли (в знаменателе стоит число средних се­ кунд в звездных сутках); ае=6 378137 м- большая полу­ ось Земли; ge=978,030 Галзначение силы тяжести на

экваторе.

Центробежная сила изменяется от нуля у полюсов до некоторого значения ro 2ae=3,4 Гал у экватора. Эта сила

уменьшает силу тяжести по сравнению с гравитационным

притяжением на величину ro2a~ cos ер, где ерширота места.

Изменение центробежной силы в основном и определяет

изменение силы тяжести на земной поверхности. К этому

эффекту добавляется еще влияние сжатия Земли, также

увеличивающее значение силы тяжести у полюсов.

Кроме этих двух постоянно действующих составляющих,

на силу тяжести влияет притяжение Луны, Солнца и пла­

нет Солнечной системы. Однако это влияние мало и носит

периодический характер. Его удобнее рассматривать как периодические возмущения силы тяжести. Максимальное

значение этих возмущений составляет О,165 мГал от Луны и 0,076 мГал от Солнца. При точности современных измере­

ний эти величины следует учитывать и вводить соответст­

вующие поправки.

Общая характеристика величин изменения поля силы

тяжести приведена в табл. 3.

Таблипа 3

Величина вариаций g

34

§ 2. Поннциал силы тяжести. Геоид

Потенциал силы тяжести W складывается из потенциала

притяжения V и потенциала центробежной силы Vc, кото­ рый согласно определению потенциала будет:

(()2 2

Vc =2Рс·

В самом деле, р~ =х2+у2, и производные Vc по осям декар­

·rовых координат будут равны проекциям силы на эти оси:

дz - •

Вторые производные потенциала центробежной силы бу­

м

нли, имея в виду (1.41) и переходя от полярного расстояния

с полюсом в произвольной точке к дополнению широты е,

W=G SL ,~1 P"(cosO)dm+~2 (x2 -j-y2 ) . (2.6)

м

Производвые потенциала W равны

дW

дХ =gcos (g, х),

дW

дy=gcos (g, у),

дW

дz = g cos (g, z).

35

Уравнение W =С определяет семейство уравенных поверх­

ностей потенциала силы тяжести. Если бы Земля была иде­ ально жидкой, то среди этих поверхностей можно было бы

соответствующим подбором С выбрать такую эквипотен­

циальную поверхность

которая целиком совпадает с поверхностью этой идеаль-

/ной Земли. Для реальной Земли можно выбрать такую по­ верхность W=C, которая близка к физической поверхности Земли. Такая поверхность выбирается совпадающей со

средним уровнем воды в океанах; она проходит под конти­

нентами и островами так, как будто эти континенты и ост­

рова проницаемы для воды, но в то же время сохраняют

свои массы. Иными словами, эта поверхность всюду пер­

пендикулярна к силовым линиям. Она получила название

геоид. Понятие геоида в применении к фигуре Земли было введено в 1876 г. немецким геодезистом И. Листингом. С

тех пор геоид начали рассматривать как поверхность, пред­

ставляющую фигуру Земли.

Можно показать, что для идеальной Земли, находящейся

всостоянии гидростатического равновесия, геоид имеет

форму, совпадающую с точностью до квадрата сжатия с эллипсоидом вращения. Такая фигура называется сферои­

дом.

Выразим потенциал центробежной силы в сферических

Представим w2 через величину q - отношение центробеж­

ной силы к силе тяжести на экваторе:

ае

Внося эту величину в формулу для потенциала центробеж­

ной силы, получим

36

Сложив (2.9) с потенциалом притяжения (1.49), приходим

кследующему выражению для потенциала силы тяжести:

константе, мы получим уравнение семейства уравенных по­

верхностей W =С. Подберем такую поверхность, чтобы она близко совпадала с поверхностью Земли. Для этого поло­ жим r=ae- радиусу на экваторе, а qJ=O- широте на экваторе. Тогда С будет равно

и уравнение уравенной поверхности, ближе всего отвечаю­ щей фигуре Земли, будет

Легко показать, что представляемая этим уравнением

поверхность с точностью до квадрата сжатия является эл­

липсоидом вращения. Для этого уравнение (2.12) предста­

вим в виде

что легко показать, представив уравнение эллипсоида в

сферических координатах.

Заметим, что отнюдь не обязательно считать Землю гид­

ростатически уравновешенной. Можно постулировать, что

идеальной Землей является точный эллипсоид вращения,

З7

иисходя из этого, получить потенциал н ускорение силы

тяжести на поверхности эллипсоида и во внешнем прост­

ранстве. Такой подход осуществлен в работах Гельмерта, Пицетти, Молоденского. Далее для определенности всегда

будем говорить о земном эллипсоиде.

§ 3. Теорема Клеро

Теорема Клеро устанавливает связь между положение\1

точки на эллипсоиде и значением силы тяжести в этой точ­

ке. Иными словами, она устанавливает закон распределе­

ния силы тяжести на идеальной Земле.

Мы получим этот закон приближенно, с точностью до

сжатия, дифференцированием потенциала по радиусу r,

помня, что производная потенциала по направлению рав­

на проекции силы на это направление. Точнее было бы

дифференцировать по нормали к поверхности. Однако нор­

маль в наши уравнения в явном виде не входит, а откло­

нение радиуса от нормали составляет для Земли макси­ мально 11 ', т. е. угол малый, поэтому ошибка при такой замене (нормали на радиус) не будет превосходить величины отброшенных членов. Продифференцировав (2.12), имеем

Перемножая выражения в квадратных скобках и сохранян

38

Вводя обозначение

Производя деление дроби и сохраняя величины порядка

сжатия, имеем

Выведенное таким образом уравнение Клеро дает связь

силы тяжести с широтой места через параметр сжатия ~­

Оно позволяет определить этот параметр сжатия ~. а по

нему и само сжатие а;, если будет измерена сила тяжести в точке с известной широтой tp.

Так как отдельная точка может быть аномальной, т. е.

значение ускорения силы тяжести g и направление силовой

линии в ней могут не соответствовать идеальным, опреде­

ляемым уравнением (2.21), то такое определение сжатия, I<анечно, будет ошибочным. Для того чтобы получить пра­ вильное значение сжатия, нужно произвести наблюдения в большом числе точек, равномерно распределенных по земной поверхности, и найти значение а;, решая систему уравнений (2.21) по методу наименьших квадратов.

В уравнение (2.21) входит еще неизвестная величина ge. Это так называемая экваториальная постоянная. Физичес­ кий смысл gе- ускорение силы тяжести на экваторе. В са­

мом деле, если (2.21) написать для экватора, то tp=O и g,нв=gе; физический смысл ~ легко установить, если урав­

нение (2.21) написать для полюса, где tp=90°. Тогда

(2.22)

39

т. е. ~ есть отношение избытка силы тяжести на полюсе

к силе тяжести на экваторе.

Таким образом, измеряя силу тяжести на Земле,

можно вычислить два основных параметра фигуры Земли:

СХ И ge.

§ 4. Формулы нормального значения силы тяжести

В процессе вывода уравнения Клеро мы приняли, что Земля является телом вращения; тогда моменты инерции относительно осей х и у -А и В- равны. Однако если этого

не делать, то мы получим в формуле член, зависящий от

долготы и характеризующий трехосную Землю. Можно

также удержать большее количество широтных членов, что

дает в уравнении (2.21) еще один поправочный член.

В этом случае формулы (2.20) и (2.21) будут иметь сле­

дующий вид:

для трехосной Земли

g=g, [l +~ sin 2 ер -В' sin1 2ep+B" cos' ер cos 2 (Л- 1.0)], (2.23)

причем Л0 - долгота наибольшего радиуса экваториального

сечения;

Эти формулы характеризуют поле силы тяжести некото рой осредненной Земли, представленной в виде трехосного

или двухосного эллипсоида.

Подбором параметров ge, ~. ~·. ~"можно добиться наи­

лучшего приближения модели гравитационного поля, пред­

ставляемого этими формулами, к реальному полю Земли вблизи ее поверхности. Формулы (2.23), (2.24) с численны­

ми коэффициентами, представляющими эту модель, назы­

ваются формулами нормальной силы тяжести.

Введение модели нормального гравитационного поля очень удобно. Оказывается возможным заменить поле силы тяжести Земли более простым разностным полем аномалий

силы тяжести, образованных как разность истинного и

нормального полей. Аномалии на\1ного \1еньше нормальной

составляющей силы тяжести, и всяческие операции с ними

значительно проще.

40

эллипса на 230 м длиннее малой и имеет направление 17°

к западу от Гринвича.

Идея трехосиости Земли заинтересовала многих геоде­ зистов, и со времени первого указания Гельмерта многие

авторы рассчитывали величину и направление главных осей

экватора. Была даже сделана попытка физически обосно­

вать трехосность, опираясь на работы Якоби и более позд­

ние исследования Пуанкаре и Ляпунова, доказавших су­

ществование фигур вращения в виде трехосных эллип­

соидов и даже выделивших класс таких устойчивых фигур.

Однако эта попытка основана на недоразумении. Трехосные

вращающиеся эллипсоиды Якоби, как показал Ляпунов,

устойчивы только при выполнении условия, что угловая

скорость превосходит некоторый предел ro > V2:nGa Vo, 14 .

= 0,73. I0- 4 с- 1 на порядок меньше указанного предела, ко­

торый для средней плотности Земли cr=5,52 г/см3 составляет приблизительно б·IО-4 с-1 • Кроме того, Земля и планеты неоднородны, а существование фигур Якоби и их устойчи­

вость рассмотрены для вращающейся идеальной однородной

жидкости.

Обнаруженная геодезистами трехосиость - скорее про­

явление отклонения Земли от правильной сфероидальной

формы вследствие ее неоднородности. Это подтверждается

них исследований гравитаци­

онного:поля Земли с помощью искусственных спутников,

открывших новую страницу в•.геодезии, фигура Земли изу­

чена весьма подробно. Уже известны не только такие круп­

ные асимметрии, как те, которые возбудиJш идею трехос-

42

ности, но и более мелкие детали фигуры геоида. Но об этом речь впереди, в главах 6 и 7. Что же касается идеи об

эллиптичностн экватора, то заметим, что по современным

данным действительно отмечается некоторая вытянутость

его в области юга-восточной Азии, однако эту вытянутость вряд ли можно трактовать как эллиптичность. Отклонения

экватора от окружности неправильные и не превосходят

100 м. В сильно преувеличенном масштабе они показавы на

рис. 9.

§ 5. Задача Стокеа

Теория Клера связывает фигуру однородной вращаю­

щейся Земли с гравитационным полем, развиваемым ее мас­ сами, и позволяет найти сжатие Земли, ее экваториальную

гравитационную постоянную ge и некоторые другие пара­

метры по измерениям силы тяжести на поверхности и коор­

динатам точек, в которых эта сила тяжести измерена. Но в

этой теории и~tеется одно существенное ограничение: одно­

родность масс или хотя бы однородность масс по концент­

рическим слоям. Это следует из того, что Клера вывел свою

теорию в предположении гидростатического равновесия

Земли. При этом условии был получен потенциал силы тя­ жести и его градиент g. В середине прошлого столетия Стоксу удалось снять ограничения, наложенные Клера на

распределение масс при получении потенциала силы тяже­

сти. В 1849 г. он опубликовал свои результаты. Стоке сфор­

мулировал и решил проблему построения внешнего грави­

тационного поля Земли при заданной общей массе и из­

вестной уравенной поверхности в форме эллипсоида вра­

щения. Построенный по теории Стокеа потенциал для

векоторой идеализированной Земли, по возможности близ­

кий к потенциалу реальной Земли и имеющий достаточно простой вид, называется нормальным потенциалом. Он вво­

дится для удобства решения различных задач, связанных

с изучением фигуры Земли 11 ее внешнего гравитационного поля. Использование нормального потенциала позволяет за­

менить изучение реального внешнего гравитационного поля

Земли..,изучением-его малых•отступлений от нормального.

Стоксом была поставлена также обратная задача -

построить внешнюю уравенную поверхность по известному

потенциалу и общей массе. В общем виде эта задача так и

не была решена. Для нее Стоке дал частный случай реше­

ния, а именно, показал. как можно построить внешнюю

уравенную поверхность потенциала W, развиваемого мае·

4:i

сами М nри заданной уравенной nоверхности нормального

потенциала по известным значениям производных потен­

циала, т. е. силы тяжести на этой уравенной поверхности. Иными словами, была nоставлена и решена краевая задача

для возмущающего потенциала силы тяжести и дана фор­

мула для высот геоида, являющегося искомой уравенной

поверхностью (подробно об этом в главе 5).

В общем виде краевая задача теории nотенциала состтп

в отыскании решения уравнения Лапласа .1 V =0 во внеш­ ней (или внутренней) по отношению к поверхности области nри заданных на поверхности значениях функции или ее

производной.

В теории фигуры Земли задача Стокеа формулируется

следующим образом: требуется найти гармоническую функ­ цию, непрерывную и конечную и обладающую непрерывны­

ми и конечными первыми производными, регулярную на

бесконечности, удовлетворяющую уравнению Лапласа

.1 V =0 и принимающую на nоверхности некоторые задан- ные значения V11 = const- 2оо2 (х2 ...!... у2) .

Задача решается для эллипсоидальной уравенной nо­

верхности и приводит к значению nотенциала вида

х [(3 sh2 w- 1) arcctg sh w- 3 sh w], (2.27)

где и и w - ортогональные криволинейные координаты.

Потенциал силы тяжести W получается добавлением цент­

оо2а2

робежиого nотенциала - 2- sin2 u

(2.28)

Дифференцирование W no нормали приводит к формуле Пицетти - Сомильяна, которая является :более точным выражением теоремы Клеро,

Уей ros 2 В -i- урЬ sin2 В

где В - геодезическая широта места.

Эта формула в замкнутом виде устанавливает связь

силы тяжести с геодезической широтой места В и парамет­

рами зе:-.шого элтшсоида. Раскладывая в ряд знаменатель

44

и отбрасывая члены порядка квадрата сжатия и выше, по­ лучим формулу Клеро, выведенную нами в главе 3 иным

путем.

§ 6. Теорема Стокеа

Стоке доказал теорему единственности для потенциаль­ I!ЫХ функций, которая убеждает нас, что построенная функ­

ция, являясь единственным возможным решением, и есть

действительно искомый потенциал.

Теорема формулируется так: если векоторая поверх­ ность уровня S заключает внутри себя всю притягивающую

материю, то при всяком перераспределении этой материи,

при котором величина ее массы остается неизменной, а по­ верхность S остается поверхностью уровня, потенциальная

функция притягивающей массы во внешнем относительно поверхности S пространстве также остается без изменения.

Доказательство этой теоремы идет от противного: пред­ положим, что есть два решения V1 и V 2 , соответствующие различным распределениям масс, гармонические вне обла­ сти, охватываемой S, регулярные на бесконечности и принимающие в пределе на S значения V, =С,, V 2 =С2· Воспользуемся формулой из преобразований Грина для гар­

монических функций и и V, которые определены в"'прост­

ранстве т, ограниченном поверхностью S и сферой ~ боль­

шого радиуса:

.ПSrи~v+D(иV)]dт= .П и·~~ ds,

тS+~

где

D"(иV)= дИ ~+ дИ ~+ дИ ~

и применим ее к гармонической функции T=Vi-V2:

.\SSrт~T+D(TT)]dт= .\.\т·~: ds.

тS+~

По условию в области т 6.Т=О, поэтому получаем

SSSD(ТТ)dт= SSТ :~ ds - SSТ ~: ds. (2 .30)

т ~ s

Второй интеграл имеет знак минус, потому что внешняя

нормаль к поверхности S является внутренней к объему т.

45

Рассмотрим первый из интегралов правой части выра­

жения (2030) при неограниченно возрастающеvt радиусе R

Заменяя во втором интеграле nравой части (2.30) nодын­

тегральное выражение согласно (2.31) большими величина­

ми и увеличивая тем самым каждый элемент интеграла,

имеем

' 0,±, Т ~~ ds 1 < G;':2 s~sds = 4n G2:2 о

При R-+oo правая часть неравенства стремится к нулю. Тем более

Теперь

sss D (ТТ)dт=-ss Т~~ ds.

По условию на т Т=С1-С2 • Тогда

sssD (ТТ)dт= - (С1-С2) ss (а;; - а:п2 ) ds.

Согласно формуле Грина можем наnисать

SS ~~ ds= SSS t..Vdxdydz,

где объемный интеграл распространен на внутренний объем уравенной nоверхности S, для которого имеет место урав­ нение Пуассона

t..V = - 4nGa,

где а - плотность. Поэтому

SSда':1 ds=-4nG SSS adт=-4nGM.

5~ d; ds=-4nG J'(Jad-т;"-'-4nGM.

Таким образом,

555 D (ТТ)d-c =55 ~1 ds- 55 а:п2 ds =О

или

(2.32)

Вследствие того, что каждый член в подынтегральной функции (2.32) не меньше нуля, в каждой точке области т

имеем

во всем внешнем nространстве.

что означает: V1 -V2=const во всем внешнем nространстве.

При неограниченном возрастании R. потенциал Vг-+0 и

V2-+0; значит, v~-V~-+0, т. е. V1=V2. Таким образом,

во всем внешнем пространстве, в том числе на поверхности

S, V1=V~. ,.,. , _,_..,, .

Эта теорема распространяется также на потенциал силы тяжести W, который складывается из потенциала V при­ тяжения и потенциала U центробежной силы. Последний

является только функцией координат и не завиёит от масс.

Поэтому перераспределение масс на него не влияет. Фундаментальное решение Стокеа существенно расши­

рило границы применимости теории Клеро. Стоксу.а. уда­ лось освободиться от каких-либо гипотез относительно рас­

пределения масс внутри уровенной поверхности S. Для

теории Стокеа важны только следующие два условия: неиз­

менность массы и отсутствие массы_вне уровенной поверх­

ности. Эти два условия следует всегда намнить нри реше­

И\111 разлнчных гравиметрических задач.

47

§ 7. Вторые производные потенциала си;.ы тяжести

Первые производные потенциала силы тяжести по осям

координат являются проекциями силы тяжести на коорди­

натные направления. Производнан по направлению норма­ ли к уравенной поверхности есть полная составляющая си­ лы тяжести. Рассмотрим теперь смысл вторых производных

потенциала силы тяжести по координатным осям, причем

за ось z выберем направление внутренней нормали к ура­

венной поверхности в точке наблюдения, за ось х- каса­

тельную к меридиану, за ось у - касательную к первому

вертикалу, тогда

Продифференцируем эти величины по направлениям осей

координат. Получим формулы вторых производных потен­

циала силы тяжести

Две первые формулы левого столбца дают изменение

силы тяжести при перемещении точки в горизонтальных

направлениях, т. е. горизонтальные градиенты силы тя­

жести. Третья формула дает вертикальный градиент силы

тяжести.

Вторые производные потенциала по х и у характеризуют

кривизну поверхности. В самом деле, если поверхность

48

где М и N - радиусы кривизны в плоскости меридиана

и первого вертикала соответственно. Отсюда разность W!!.

вторых производных по х и у характеризует изменение

кривизны в точке в зависимости от азимута:

будут главными сечениями поверхности. Разность W!!. опре­

деляет разность кривизн главных сечений, т. е. отклоне­

ние от сферичности. Величина смешанной производной Wху

определяет направление главных нормальных сечений от­

носительно выбранной системы координат х, у. Чтобы по­

казать последнее, найдем по (2.34) кривизны двух взаимно

перпендикулярных сечений, проходящих под углами а и

а0 + ; к оси х. Разность кривизн этих сечений будет

--- =_.!._ (W!!. cos 2a-2Wх." sin 2а). (2.38)

Ра р 11 g

а+2

Если в качестве сечений избрать главные сечения, то разность (2.38) достигает максимума и ее производные по а обращаются в нуль:

д(р~ Pl:-~)

откуда

2Wxy

tg 2а= ---w-. (2.39)

!!.

Таким образом, вторые производные потенциала харак­

теризуют величины горизонтальных и вертикальных

градиентов силы тяжести, т. е. изменение силы тяже­

сти на уравенной поверхности и кривизну этой по­

В системе СИ это такая единица, когда на длине в м ус-

49

корение силы тяжести изменится на 1 мiс2, т. е. на 100 Гал.

Это очень большая величина. В практике применяется еди­

ница в 1011 меньшая и равная 1·10- 11 с- 2• Такая единица

называется этвеш.

§ 8. Нормальные значения вторых nроизводных nотенциала nритяжения

Пользуясь формулой (2.21), дающей закон нормального

расnределения силы тяжести на эллиnсоиде вращения, лег­

ко nостроить формулы нормальных значений вторых про­

изводных потенциала для того же эллипсоида, т. е. нор­

мальные значения градиентов силы тяжести и кривизн.

Выберем горизонтальные rюдвижные прямоугольные коор­

динаты с началом в рассматриваемой точке. Пусть ось х

направлена по касательной в меридиональной плоскости, у - по касательной в плоскости первого вертикала и z -

по внешней нормали к поверхности.

Нормальные значения смешанной производной WZ~ лег­

место нормальное распределение силы тяжести, выражаемое

формулой (2.21), в которой g=y- нормальное значение

силы тяжести, лолучаем по формулам (2.35) и (2.36) нор­

мальные значения вторых nроизводных

Отсюда по формуле (2.37)

I оризонтальные градиенты силы тяжести в направлениях х и у получим как производные нормальной силы тяжести

по х и у из (2.21):

А _ду_

W211 - -- 0 .

ду

Наконец, нормальные значения вертикальной производ­ ной Wzz легко получить, если вспомнить выражени~

лалласиана для силы тяжести t2.3)

W~=2ffi2-Wx~-W1111=2ffi·~ 11'( ~1 ++) ·

50

Задаваясь значениями у, <•), М и N, легко вычислить нор­

~Jальные значения вторых производных потенциала. Та­

ковые даны для средних широт в табл. 4.

Таблица 4

Нормальные значения вторых nроизводных nотенциала

силы тяжести

ГЛАВ АЗ

О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ИЗУЧЕНИЯ

ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ЗЕМЛИ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ае, а

ИЗ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 1. Взаимосвязь гравиметрии с геодезией

Геодезиянаука об измерении Земли. Она столь же

древнего происхождеrшя, как астрономия, математика и

физика, и в эпоху своего зарождения была неотделима

от них. Возникнув из практических потребностей людей,

она и до сих пор несет службv обеспечения этих потребно­ стей в картах, определении расстояний и координат точек на земной поверхности, обеспечения мореплавания, воз­

духоплавания и определения положений искусственных

небесных тел, строительства и многих других отраслей

практической деятельности человека.

Геодезию можно определить как науку об измерении

Земли и ее внешнего гравитационного поля. Из геодезии

выделилась высшая геодезия, задачей которой является определение положения сети опорных точек в единой

системе пространствеиных координат и, в конечном счете,

определение формы и размеров Земли в основном геомет­ рическим методом, и теория фигуры Земли, или физиче­

ская геодезия, изучающая фигуру и внешнее гравитацион­

ное поле Земли по величинам напряженности поля силы

тяжести,

Поскольку свойства гравитаuионного поля Земли не­

отделимы от ее геометрических характеристик, последнее

время начали выделять теоретическую геодезию как науку

о фигуре и внешнем гравитационном поле Земли и их

изменениях во времени, объединяя таким образом теоре­

тическую часть высшей геодезии и теорию фигуры Земли. Разделы высшей геодезии, теории фигуры Земли и небесной

механики, в которых описываются движение и методы на­

блюдений искусственных небесных тел для решения гео­

дезических задач, выделились в спутниковую, или косми­

ческую геодезию .

.,Другие составные части геодезии - это топография (из­ мерение небольших участков Земли, когда их можно при-

52

пять за плоскость), картография, геодезическая астроно­ мия, аэрофотосъемка и фотограмметрия.

Из сказанного видно, как тесно переплетаются грави­

метрия и геометрические методы в геодезии, гравиметрия

и спутниковая геодезия. Недаром основная научная задача высшей геодезии формулируется сейчас как определение

фигуры и внешнего гравитационного поля Земли. Именно

поэтому, рассматривая в нашем курсе основные положения

современной гравиметрии, мы не можем обойтись без

объяснения некоторых геодезических понятий.

§ 2. Земной эллипсоид. Система координат

Земля имеет сложную и неправильную поверхность с

впадинами и возвышенностями, горами и долинами. Эта поверхность не может быть представлена простыми мате..

матическими формулами, для нее сложно устанавливать

какие-либо соотношения, например. между координатами соседних пунктов и расстояниями между ними. В качестве

поверхности, представляющей Землю, принимается обычно

эллипсоид вращения, подобранный и ориентированный в

теле Земли таким образом, чтобы он ближе всего соответ­ ствовал поверхности геоида. Такой эллипсоид называется

общим земным эллипсоидом и характеризуется минимумом суммы квадратов отклонений от геоида:

~~1 =min.

Это условие однозначно оnределяет размеры эллипсоида и его ориентирование в теле Земли. Однако для построения такого эллиnсоида нужно, чтобы вся Земля была подробно измерена геодезически. Для практической работы подби­ рается некоторый nромежуточный эллиnсоид, nостроенный

и ориентированный по ограниченной области, например,

для одной или ряда стран. Такой рабочий эллипсоид назы­

вается референц-эллипсоидом, или эллиnсоидом относи­

мости. Он является той поверхностью, на которую должны быть спроектированы все длины и направления, измерен­ ные:-на физической поверхности Земли. В разных странах применяются-различные референц-эллиnсоиды. Поэтому

игеодезические системы разных стран не представляют

единой общеземной геодезической системы.

В Советском Союзе в качестве референu-эллиnсоида принят эллипсоид Ф. Н. Красовского. Этот эллипсоид

выведен по геодезическим измерениям на территориях

Советского Союза, Западной Европы и Северной Америки.

53

Его параметры:

ае = 6 378 245 м- большая полуосi,,

Cl = ] :298,3- СЖаТИ('.

Он ориентирован по Пулкову, в котором заданы начальные

координаты и азимуты - так называемые исходные геоде­

зические даты, которые получили название «Система

1942».

В высшей геодезии применяютсн две основные системы

координат:[декартова геоцентрическая Х, У, Z (рис. 10)

совпадающей с полярной осью Земли,

и ортогональная криволинейная си-

ными координатами: широтой В и дол­

готой L. Широта В определяется как угол, образуемый

нормалью к эллипсоиду в рассматриваемой точке и пло­

скостью экватора, и отсчитывается от плоскости экватора

до 90° к северу и к югу. Долгота L есть угол между пло­

скостями нулевого меридиана и меридиана, проходящего

через данную точку. Долгота отсчитывается от нулевого меридиана, обычно гринвичского, от О до 180° к западу и к востоку. Эти координаты обычно называются геодезиче­ скими. Следует отличать их от координат астрономиче­

ских - широты (р и долготы Л. Отличие связано с тем, что

геодезические координаты, заданные на эллипсоиде вра­

щения, определяются положением нормали к эллипсоиду,

тогда как астрономические определяются"'с"'"помощью ин­

струмента, установленного по отвесу, т.,.е. по нормали к

уровеннойJповерхности, проходящей через точку наблю­

дения. Для[определения точек на физическойJповерхности

и астрономических координат, часто употребляются такие, в которых долгота совпадает с долготой геодезической.

а широта определяется углом Ф радиуса-вектора с пло-

54

скостыо экватора. Часто также используется приведеиная

широта и, образуемая углом между плоскостью экватора

11 радиусом ае сферы, построенной на экваториальном

сечении эллипсоида. Этот радиус должен проходить через

точку М' пересечения этой сферы ординатой точки М на

х

Рис. 11. Приведеиная ши­

рота и и геоцентрическая

широта Ф.

Для эллипсоида вращения, в силу /J.Олготнойiсиммет­

рии, формулы преобразования координат для плоского случая легко распространяются на случай пространствен­

ный. Поэтому широко применяется система плоских пря­

моугольных координат х, у, причем положение плоскости

задается долготой L.

§3. nреобразования координат

1.Выражение прямоугольных коор­

динат меридианного эллипса через ши­

роту и долготу.

у

р

Рис. 12. Пояснение к формулам прсобраэовання геодезических коор­

динат.

Точка М эллипса (рис. 12) с координатами х, у или р, В

удовлетворяет уравнению эллипса

55

где а и Ь - большая и малая полуоси соответственно. Диф­

ференцируя это уравнение по х как неявную функцию,

Из уравнений (3.1) и (3.4) найдем выражение для х и у

Геометрически очевидно (рис. 11), что tgФ= ~. Ис­

пользуя (3.5), получаем

или tg B-tg Ф=e2tg В.

56

Пользуясь формулой для разности тангенсов, получим

Разность (В-Ф) достигает максимума nри В=45° и равна

тогда 11 ',8.

3. В ы р а ж е н и е п р и в е д е н н о й ш и р о т ы и

ч е р е з г е о д е з и ч е с к у ю В. Геометрически очевидно (рис. 11), что

х=а cos и

и

RM'=a sin и.

Полученные в этом параграфе соотношения позволяют

найти выражения для таких важных в геодезии величин,

как радиусы сечений в плоскостях меридиана и первого

~икала, а также длины дуг ~·еридиана и параллели.

§ 4. Нормальные сечения, главные радиусы кривизны

Сечения поверхности плоскостями, проходящими через

нормаль к ней в какой-либо точке, называются нормаль­ ными сечениями в данной точке. Кривая, образованная

пересечением плоскости-нормального сечения с поверх­

ностью, тоже называется нормальным сечением. Из бес-

57

численного множества таких нормальных сечений можно выделить экстремальные (с максимальным и минимальным

радиусами кривизны) -они называются главными нор­ мальными сечениями. В дифференциальной геометрии вы­ водится формула Эйлера, связывающая кривизну произ­

вольного нормального сечения с кривизнами главных

сечений, плоскости которых взаимно перпендикулярны:

Здесь М- радиус кривизны меридианного сечения, N-

радиус кривизны сечения первого вертикала, А - азимут сечения, отсчитываемый от направления на север.

Радиус кривизны R меридианного сечения найдем по формуле дифференциальной геометрии для плоской кривой

Значение ~~ найдем из (3.5):

Тогда

(3.14)

Радиус кривизны сечения плоскостью первого вертикала

получим из условия, что радиус кривизны наклонного

сечения равняется радиусу кривизны нормального сечения,

умноженному на косинус угла между этими сечениями (так называемая теорема Менье). В качестве наклонного се­ чения выберем сечение параллелью. Радиус кривизны такого сечения будет

r =X=N cosB.

58

Зная радиусы ~1еридиана и первог() вертикала, легк()

вычислить соответствующие длины дуг (см. следующий параграф).

§ 5. Длина дуги меридиана и nараллели

Длина дуги меридиана sм, заключенная между точками

с широтами в] и в2. может быть nолучена в результате интегрирования выражения для элементарной дуги ме­

ридиана ds=M dB в пределах от В1 до В 2:

н.

s", =~М dB.

г,

Вводя сюда М нз (3.14), развертывая знаменатель в ряд

нинтегрируя почленно, получим удобное выражение для

вычисления длины дуги меридиана:

FJ,

s =S. a(l-e~) dB=

м(1- е~ sin2 /3)•f•

JJ,

JJ,

=а(1-е2)S[1 + ~ е2 sin2 В+ 158 е4 sin4 В+

li,

+ lo5 u-· вв + ...jdв.

48 е SIП

Выразим sin 2 В и sin 4 В через косинусы кратных двойных

углов:

тогда получим простую формулу в виде интеграла ряда, который легко написать для любого числа членов:

в.

Sм=а(1-е2) ~ (A 1 -A 2 cos2B+A3 cos4B·1 ...)dB,

59

Численные значения А1 , А 2 , А 8 даны для эллиnсоида Кра­

совского. Интегрируя почленно, получаем:

s.. =а (1-е2) lА1(В8-В1)-; А1 (sin2B1 - sin 2В1)+

+ ~s (sin4B2 -sin4B1) - ••• ] . (3.16)

Длина дуги параллели получается сразу в конечном виде:

Формула (3.16) для дуги меридиана представляется в виде

ряда с быстро убывающими коэффициентами. Удержание

четырех членов обеспечивает вычисление дуг длиной до

400 км.

§ б. Уклонение отвесной линии

Понятие уклонения отвеса является одним из важней•

ших в высшей геодезии и теории фигуры Земли. Именно

оно определяет переход от координат астрономических к

геодезическим. Направление отвеса совпадает с касательной

к силовой линии и всегда перпендикулярно уравенной

поверхности в данной точке. По отвесу устанавливается

инструмент при определении астрономических координат

<р и 'А. Уклонение отвеса определим как угол {}между от­ весной линией n и нормалью N к референц-эллипсоиду (рис. 13). Обычно рассматриваются составляющие укло­

нения отвеса•. s, '11 в плоско­

стях меридиана и первого

вертикала.

Пусть для некоторого

пункта М физической поверх-

ности Земли (рис. 14) известны астрономические коорди­ наты <р, 'А и геодезические В, L. Опишем вокруг М вспо­

могательную сферу произвольнога радиуса. Отвесная ли-

IЮ

ния в точке Л1 пересечет сферу в точке астрономического зенита ZA. llроходящая через Л1 нормаль к референц­

эллипсоиду пересечет сферу в точке геодезического зенита

Zг. Направление на полюс мира, параллельное оси вра­

щения Земли, пересечет сферу в точке полюса Р. Дуги

большого круга, соединяющие точки Р, Zг, Zд, образуют сферический треугольник, в котором дуга РZA есть аст­

рономическое полярное расстояние точки Z,\, равное 90°- - ер, дуга РZгполярное расстояние точки Zг, равное

90°-В, дуга ZAZгполное уклонение отвеса \.t в точке Л1. При этом референц-эллипсоид ориентирован так, чтобы в

рассматриваемых геодезической и астрономической систе­ мах координат было одно и то же направление на полюс

мира. Условимея также счет долгот в обеих системах

координат вести от одного и того же начального меридиана.

а дуга ZдК-ч- составляющей уклонения отвеса в первом

вертикале. Дуга КР равна разности дуг Z1 P и Z1 K, т. е. 90°-В-§. Из сферического треугольника ZлКР получим

cos (1.- L) = tg ер ctg (В+ 6), siн ч = siн ().-L) cos ер.

Раскладывая тригонометрические функции в ряды и от­

брасывая квадраты малых величин ~. 'У), 'A-L, получим

tg ер::::: tg (В+ 6), ч::::: (Л-L)cosep.

С той же степенью точности cos cp=cos В. Окончательные

формулы для астрономо-геодезического уклонения отвеса будут

~:::::ер-В }

(3.18)

ч::::: (Л-L)cosB.

Такие уклонения отвесной линии называются астрономо­

геодезическими, поскольку они получены чисто геомет­ рическим методом.

§ 7. Градусные измерения

Формулы для длин дуг меридиана 11 параллели (3.16), (3.17) и для составляющих уклонения отвеса (3.1~). полу­

ченные в предыдущих нараграфах, служат основой rpaдyr.:-

61

ных измерений. Градусные измереш1н в классическом

понимании представлнют couoii совокупность геодезических и астрономических работ, предназначенных для определе­

ния параметров земного эллннсоида н элементов его ори­

ентировки в теле Земли. Сейчас это Iюшпие трактуется

более широко, а именно, как совокуниость геодезических,

астрономических и гравиметрических работ, предназначен­

ных для оnределения элементов фигуры Земли и координат сети опорных точек на ее nоверхности. I !од фигурой Земли nонимается фигура физической новерхности Земли, оnре­

деляемая элементами земного эллипсоида, множествами

высот геоида (превышеннй геонда над эллипсоидом) и

высот физической поверхности Земли.

Название «градусные измерения» - историческое: на заре развития геодезии измерялась длина дуги в 1о. Фор­

мулы (3.16) и (3.17) содержат величины аебольшую

nолуось и е- эксцентриситет и разности широт и долгот.

Измерив координаты в конечных пунктах дуги и длину

дуги s, мы получаем уравнение с неизвестными ае и е -

параметрами земного эллипсоида. Для определенин их

надо иметь по крайней мере два уравнения, а значит, нужно знать по крайней мере две дуги, причем эти дуги

должны расnолагаться на различных широтах. Однако

современные определения не ограничиваются двумн дугами.

При градусных измерениях координаты конечных пунк­ тов дуги измеряются астрономическим способом, а это

значит, что они отличаются от геодезических уклонением

отвесных линий. Соответствующая ошибка войдет и в результат. Поскольку уклонения отвеса должны быть распределены по всей Земле случайным образом, постольку

выгодно для решения задачи овределения земного эллип­

соида взять большое число дуг, расналоженных по всей

Земле тоже случайным образом. I lрактнчески создаетсн

сплошная сеть взаимно связанных градусных дуг, так

называемая геодезическая сеть.

Использование в геодезии гравиметрических данных позволяет вычислить уклонения отвесных линий неза­ висимо от геодезических измерений: по аноыалиям силы тяжести. Внося гравиметрические поправки в астрономи­

ческие координаты, получают более точную геодезическую

сеть.

Сейчас при обработке больших геодезических сетей уже

имеются как исходные данные параметры земного эллип­

соида. Задача состоит не в их определении, а в их улуч­

шении, т. е. в нахождении не самих ае и е2, а поправок к

62

Эксцентриситет и сжатие связаны соотношением

точным до квадрата сжатия.

Для каждого k-го пvнкта геодезической сети можно

написать формулу перехода от старых координат в системе

эллипсоида (В/:. Ц, At;) к новым, улучшенным (В", L", А"),

где rx,. -астрономический азимут. Для исходного пункта:

Изменения координат при переходе к новому эллипсоиду

зависят от изменения координат исходного пункта LlBi и !J.L1 и изменения параметров эллипсоида Lla и !J.rx. Трак­

туя полученные приращения координат как дифферен­

циалы, можно написать для них уравнения

(3.'22)

Введем сюда значения dB1 и dA, из (3.21) в виде конечных

разностей, после чего полученные значения приращений

63

подставим в уравнение (3.20). В результате находим:

Это широтные и долготные уравнения градусных изме­ рений, по которым находятся поправки к размерам и ори­

ентировке исходного эллипсоида:

.1а, .1а, ~1, 'YJ 1 Sec<p1, 'Y)1 tg<p1 ;

последняя поправка 'Y)1tg <р1 астрономического азимута

получается из азимутального уравнения, аналогичного

второму уравнению (3.23).

Уклонения отвеса ~k• 'llk находятся гравиметрическим

методом, и задача решается при условии

~ (~:+'11~ sec' <pk) = miп.

k

Таким образом решается задача определения или уточ­

нения размера и сжатия земного эллипсоида и его ориенти­

ровки в теле Земли.

§ 8. Редукционная задача геодезии

Все геодезические измерения производятся на физиче­ ской поверхности Земли. Эта поверхность имеет непра­

вильную форму, и для нее неприменимы аналитические формулы. Поэтому возникает необходимость переноса всех

величин, измеренных на физической поверхности Земли, на референц-эллипсоид. Теория такого переноса называ­ ется редукционной задачей геодезии. При строгом решении

этой задачи, когда перенос осуществляется по силовой

линии, возникают две главные редукции: одна учитывает

уклонение отвеса, т. е. переход от направления нормали к

уравенной поверхности, по которой устанавливается из­

мерительный астрономический инструмент, к направлению нормали к референц-эллипсоиду; другая - высоту точек

64

делил таким образом радиус Земли. Метод сохранил свою

значимость и поныне, хотя сильно усложнился.

Появилось также и альтернативное решение - опре­

деление расстояний с помощью дальномеров, так называ­ емая высокоточная полигоно:-.н~трия. Однако еще и до сих

пор триангуляция является основным методом построения

выходная сторона

Рис. 15. Схема рядов триа11rу:Iяции.

геодезических сетей. На территориях больших стран, где покрытие всей страны сплошной сетью треугольников

оказывается делом, слишком дорогостоющим, строятся

триангуляционные ряды различных классов.

Ряды триангуляции 1 класса составляют сеть замкнутых

полигонов, которые, в свою очередь, заполняются триан­

гуляцией 11 класса. Триангуляционные сети 1 и 11 классов

являются основой для построения более густой сети пунк­

тов триангуляции 111 класса, служащей уже непосред­

ственно для решения практических инженерных работ (кар­ тографических, строительства дорог и предприятий, ме­ лиоративных и т. п.), для которых требуется знание коор­ динат на местности. В табл. 5 приведены основные техни­ ческие требования к точности измерений в триангуляциях

различных классов.

По действующим инструкциям, на территории СССР

геодезические сети строятся в виде рядов триангуляции

I класса, образующих замкнутые по.1игоны со сторонами порядка 200 км. Каждая такая сторона называется звеном

триангуляции и состоит из ряда треугольников (рис. 15)

числом не более 10. Ряды размещаются вдоль параллелей

и меридианов. В углах полигона, образуемых пересечением

этих рядов, из~tеряются базисы, астрономические коор­ динаты и азимут направления выходной стороны. Выходной

называется сторона первого треугольника в звене, изме-

66

ренная непосредственно или полученная решением тре­

угольников, связывающихэту выходную сторону с непо­

средственно измеренным базисом. Кроме того, астроно-.ш­

ческие координаты и ази:о.tуты измеряются в середине

звена. Это обеспечивает контроль и делает триангуляцион­ ную сеть более жесткой.

Внутренние части полигонов 1 класса сплошь запол­ няются треугольниками 11 класса. Внутренние части по­

лигонов, образованных триангуляцией 11 класса, запол­

няются треугольниками Ill класса и т. д. Сеть сгущается так, чтобы обеспечить практические нужды народного хозяйства. Окончательным результато:-.1 триангуляпионных

работ является создание единой государственной геодези­

ческой сети.

Таблица 5

Доnустимые величины и nогрешности nри триангуляционных работах

различных классов

§ 10. Нивелирование

Геодезические сети обеспечивают определение геоде­

зических плановых координат точек - широты В и дол­ готы L или в прямоугольной системе- х и у. Однако для установления однозначного положения точки требуется определить еще и третью координату. Таковой является

высота. Началом отсчета высот служит некоторая услов­

ная отметка, близкая к среднему уровню океана. Ана:ю­ гично единой государственной геодезической сети строится единая государственная сеть нивелировок. Она состоит из замкнутых полигонов с периметром до 800 км, по которым

осуществляется нивелирование. Такие полигоны образуют

нивелирную сеть 1 класса. Полигоны нивелировок 1 класса

пересекаются нивелирными ходами 11 и 111 классов. Таким

образом выдерживается одинаковая с основной геодезиче­

ской сетью схема построения. Однако нивелирные ходы не совпадают с рядами триангуляции. Обычно они ведутся

вдоль железных и шоссейных дорог, по берегам рек и

другим удобным для работы путям. Высотные отметки передаются также и на геодезические пункты. По возмож­

ности нивелирные реперы (постоянные знаки с указанием

точной высоты) стараются совмещать с геодезическими

пунктами.

В табл. 6 приводятся основные допуски для нивелировок

различных классов.

инструментов - нивелиров. Применяются два метода ни­

велирования. Им соответствуют два типа инструментов.

Для геометрического нивелирования или, иначе, нивелиро­

вания горизонтальным лучом

применяются инструменты,

установленные в горизонталь­

ной плоскости и не имеющие вертикального круга. Пре­

Рис. 16. Схема гсометрическогu вышение определяется как раз-

нивелирования t!.lt=b-a. ность отметок на рейках, ус-

тановленных впереди и сзади

инструмента, nри наведении его nоследовательно на перед­

нюю и заднюю рейки (рис. 16). Такая разность высот на­

зывается элементарным превышением. Сумма элементарных nревышений вдоль хода нивелирования дает превышение

пункта В над пунктом начала хода А (рис. 17). Если на­

чало бралось от уровня моря, то мы nолучаем высоту над

уровнем моря. Однако сказанное не совсем точно. Высота,

68

полученная как сумма элементарных превышений ~h;,

зависит от пути, по которому производилось нивелиро­

вание. О некоторых тонкостях этого вопроса рассказы­

вается в следующем параграфе.

Второй метод - так называемое тригонометрическое

нивелирование, или нивелирование наклонным лучом.

Фиэ.пов.Земли

Уровень ~оря

Рис. 17. К зависимости суммы элементарных nревышений от пути ниве­

лирования ~ !J.hi :1= ~ !J.hi.

АА'В АВ'В

В этом случае дальномером измеряется расстояние до рейки

итеодолитомугол над горизонтом при наведении ин­

струмента на рейку. Превышение определяется как

~h=d sin а.,

где d - расстояние до рейки, а.- угол наклона. Этот

метод нивелирования применяется на коротких расстояниях и тогда, когда не нужна высокая точность определения вы­ сот, например, при привязках гравиметрических пунктов

книвелирным реперам государственной нивелирной сети.

§ 11. Системы высот

Чтобы получить высоту данной точки, прокладывают

нивелирный ход от репера, высота которого над уровнем моря известна. При этом нивелир поворачивается в строго горизонтальной плоскости, так что разность отсчетов по

передней рейке а и задней рейке Ь является превышением точки i над точкой i-1 (рис. 16):

~h=b-a.

Сумма таких превышений на пути от исходной точки А до определяемой точки В дает приближенную высоту точ­ ки В (рис. 17):

69

При небольших расстояниях и малых высотах можно поль­ зоваться этим методом и этой формулой. Однако на больших

расстояниях появляются ошибки, возникающие из-за не­ параллельности уравенных поверхностей.

Если за элементарные превышения dh взять последова­ тельно превышения изображенных на рис. 17 поверхно­

стей, то легко видеть, что их сумма от А до В зависит от

избранного пути:

Значит, сделанное нами определение высот неточно. Чтобы освободиться от возникающей ошибки, высоты определяют через потенциал. Приращение потенциала, как известно, не зависит от пути, а является функцией точек. Измене­

ние потенциала от одной уравенной поверхности к соседней

По теореме о среднем

}:git\..hi= ~ git\..hi=gcp~t\..hi=gcpH•

АВ АВ'В В'В

Высоту определяют делением суммы элементарных прира­

щений потенциала на среднее значение g на отрезке ВВ'

н= -1 L. gj t\..hj,

gcp АН

или в интегральной форме

помимо превышений Ыlj, измерить ускорение силы тяжести gi вдоль профиля нивелирования и знать gcp - среднее

значение по самой высоте, т. е. по линии ВВ' (рис. 17).

Величину gcr• строго говоря, мы не знаем, поэтому вместо gcr обычно вводится '\'ер -среднее нормальное значение

силы тяжести по линии ВВ'. Высота, определенная через нормальный потенциал, называется нормальной высотой

70

и определяется формулой

или в интегральной форме

н1 sgdh.

=-

11 '\' ер АВ

Нормальные высоты легко вычислить, и именно ими обычно и пользуются при всех геодезических работах. Отличие

нормальных высот от ортаметрических не превосходит на

равнине нескольких сантиметров.

Рис. \8. Схема расположения rюверхностей геоида и квазигеоида.

Норортаметрическая высота, Н11 - нор~1альная высота, ~ - высота rеоида, ~ - аномалия высоты, равная высоте квазиrеоида.

Уравенная поверхность, совпадающая со средним уров­ нем океана и продолженная под континентами так, чтобы она всюду была перпендикулярна силовым линиям, как

уже говорилось, называется геоидом. Ортаметрическая

высота Нор=В'В, по определению, есть расстояние по

силовой линии от геоида до точки физической поверхности

Земли. Расстояние Ь'В'=~ (рис. 18) есть высота геоида. Если введенную нами нормальную высоту Нн=Ь'Ь отло­

жить от эллипсоида относимости по нормали, она не до-

стигнет физической поверхности Земли; отрезок ЬВ=~

называется аномалией высоты. Наоборот, если нормальные высоты отложить от физической поверхности Земли вниз по нормали к эллипсоиду относимости ВВ" =Н11, их концы

определят некоторую поверхность, близкую к геоиду, но не совпадающую с ним. Эта поверхность называется ква­

зигеоидом. Квазигеоид на океанах совпадает с геоидом,

71

ГЛАВА4

РЕДУКЦИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И ОБРАЗОВАНИЕ

АНОМАЛИЙ

§ 1. Понятие аномалий. Смысл введения редукций

При изучении гравитационного поля его удобно раз­

делить на правильную часть, так называемую нормальную,

и аномальную. Составляющая, зависящая от высоты, учи­

тывается по вертикальному градиенту. Отклонение наблю­

денного значения ускорения силы тяжести в данной точке

от вычисленного по формуле нормального значения силы

тяжести называется аномалией силы тяжести. Аномалия

определяется как разность

!:J.g=g-y. (4.1)

В отличие от сильно изменяющихся значений g аномалии изменяются на земной поверхности всего на несколько сотен миллигал. Если значения g и у в этой формуле за­

даны для одной и той же точки, аномалия называется

чистой. Однако обычно нормальное значенне ускорения

силы тяжести у задается нормальной формулой на поверх­

ности эллипсоида относимости, соответствующего нор­

мальному распределению силы тяжести, тогда как g опре­

деляется в точках физической поверхности Земли. Значит, для того чтобы вычислить аномалию ускорення силы тя­

жести, нужно или наблюденное значение g отнести к эл­

липсоиду, или нормальное значение перенести в точку

наблюдения. Такая операция называется редуцированием,

апоправки, вносимые при этом,- редукциями.

Для редуцирования необходимо знать высоту Н точки

наблюдения над эллипсоидом относимости (рис. 18) и вер­ тикальный градиент ускорения силы тяжести. Принципи­

ально редуцировать можно и наблюденное значение g на

Земли. Сначала рассмотрим случай образования аномалий

на физической поверхности Земли. После работ М. С. Моло­

денского, построившего теорию нормальных высот и ре­

шившего краевую задачу теории потенциала для физиче-

73

екай поверхности Земли (см. § 3 гл. 5), этот способ редуци­

рования и образования аномалий стал преимущественным.

Будем пользоваться в дальнейше'\f следующими стан­

дартными обозначениями: у- нормальное значение силы тяжести, Уо -то же на эллипсоиде, g - наблюденное зна­ чение силы тяжести, go- то же на геоиде, 11g- смешан­ ная аномалия ускорения силы тяжести, ~ - аномалия

высоты или высота квазигеоида над эллипсоидом относи-

мости, ~-высота геоида над эллипсоидом относимости.

Итак, мы знаем нормальное значение ускорения '\'о

силы тяжести на э.ТJлипсоиде относимости, знаем нормаль­

ную высоту Н11 в точке наблюдения. Рассчитав верти-

•ду

кальныи градиент дН и умножив его на нормальную

высоту, получим поправку к нормальному значению ус­

корения силы тяжести у для переноса у к физической поверхности Земли. Эта поправка будет

ду .

-Н"дН'

знак минус берется потому, что при положительных вы­ сотах ускорение силы тяжести на физической поверхности

Земли меньше, чем на эллипсоиде. Однако Н" не есть

высота физической поверхности Земли над эллипсоидом.

Последняя называется геодезической высотой Н. Она не

определяется из нивелировок и отличается от нормальной высоты Н11 на величину ~ - так называемую аномалию

высоты:

Аномалия высоты равна высоте квазигеоида. Редуцируя

таким образо:v~ нормальное значение ускорения силы тя­ жести у, мы получаем его в точках, отстоящих от физиче­ ской поверхности Земли на расстоянии аномалии высоты ~·

Тогда аномалия силы тяжести в точках физической поверх­

ности Земли определится формулой

Слагаемые, составляющие аномалию, относятся к раз­

ным поверхностям: g отнесено к физической поверхности Земли, скобка- к точке, отстоящей от физической по­ верхности Земли на аномалию высоты ~· Такая аномалия называется смешанной. Так как она связана с величиной аномалии высоты ~. она несет в себе информацию о ней.

74

Поэтому смешанные аномалии играют видную роль в

теории фигуры Земли, позволяя получить аномалии высот ~. по которым при известных эллипсоиде и нормальных высотах с любой подробностью можно построить фигуру физической поверхности Земли.

Чтобы от смешанных аномалий перейти к чистым, нужно

в первые ввести поправку ~ :~ за высоту ~.

Смешанные аномалии, а именно их мы получае~ в ре­

зультате гравиметрических работ, играют важную роль

и в геофизических проблемах, в том числе в гравитационной разведке. Они отображают распределение плотностей в

верхних слоях Земли. Обычно в гравиметрии приходится

иметь дело со смешанными аномалиями, поскольку ~

изменяется плавно и даже на больших площадях незначи­

тельно, поэтому поправка, приводящая смешанную ано­

малию к чистой, в большинстве случаев может считаться

постоянной и не приниматься во внимание при геологиче­ ском истолковании аномалий. Только для обширных регионов надо над ней задумываться.

Вслучаях, когда при образовании аномалий не вво­

дится никаких поправок, кроме чистого переноса значения

нормального ускорения у в точку, отстоящую от физической поверхности Земли на аномалию высоты, получаются так называемые аномалии в свободном воздухе. Это название

историческое. Оно означало, что редукция происходит без учета влияния каких-либо промежуточных масс Земли, а так-как влияние воздуха в эпоху, когда была предложена

редукция, не учитывалось, то и считалось, что приведение

происходит в чистом воздухе, свободном от масс Земли.

Сейчас лучше было бы назвать эту редукцию редукцией

в пустоте, поскольку массу атмосферы мы относим тоже к

Земле и ее влияние учитываем. Еще точнее было бы на­

звать ее «нормальной редукцией», так как она осуществ­

ляется в нормальном поле Земли, свободном от каких­

либо масс вне уровня нормального эллипсоида.

Образованные описанным способом аномалии могут

усложняться введением различных поправок, в зависимости

от которых ано~1алии получают свое название. Сглажи­

вание рельефа в точке наблюдения и добавление к редук­

ции в свободно~! воздухе поправок за влияние рельефа приводит к аномалиям Фая. Вычитание из аномалии в свободном воздухе влияния масс промежуточного слоя между физической поверхностью Земли и квазигеоидом

приводит к аномалиям Буге. Вычитание влияния двойного

75

слоя- к аномалиям Прея, снятие влияния рельефа по всей Земле - к полной топографической редукции. Далее

все эти поправки будут рассмотрены подробно.

При описанном подходе к образованию аномалий в

свободном воздухе выполняются условия теоремы Стокса: сохраняется общая масса Земли и отсутствуют массы за уравенной поверхностью, охватывающей всю Землю. Гра­

ничной поверхностью служит в этом случае физическая

поверхность Земли. Возможен другой подход к проблеме,

который можно назвать классическим: это так называемая

регуляризация Земли и отнесение аномалий к поверхности геоида. Этот подход излагается в следующем параграфе.

§ 2. Редуцирование на геоид. Понятие

регуляризации Земли

Теорема Стокеа (гл. 2, § 6) устанавливает единственность

построения потенциала силы тяжести на поверхности Земли

иво всем внешнем пространстве независимо от распреде­

ления масс при условии, что за поверхность Земли принята

уравенная поверхность, целиком охватывающая эти массы.

В качестве такой поверхности удобно взять эллипсоид вращения. Форма Земли действительно очень близка к этой фигуре. Отклонения геоида от хорошо подобранного

и ориентированного эллипсоида вращения ограничиваются

всего несколькими десятками метров. Задавая уравенную

поверхность в виде эллипсоида вращения, мы должны вы­

брать его так, чтобы все массы были внутри него. В самом

деле, ряд, в который мы разложили потенциал притяжения

(1.41) и (1.51), сходится, только если -а < 1, т. е. при r

условии, что нет масс вне поверхности, описываемой ра­

диусом-вектором. Таким образом, теория фигуры Земли должна строиться в предположении, что вне уравенной поверхности, представляющей Землю, масс нет.

Однако если рассматривать в качестве уравенной по­ верхности эллипсоид, наилучшим образом представляющий

Землю, т. е. такой, сумма квадратов отклонений которого

от геоида минимальна, то неизбежно остаются массы, вы­

ступающие за поверхность эллипсоида, например конти­

ненты. Возникает задача построения такой идеальной

Земли, у которой все массы лежат внутри ограничивающей

ее уравенной поверхности. Операция устранения выступаю­

щих за уравенную поверхность масс получила название

76

регуляризации Земли. Возможны два основных пути решения этой задачи.

1. Перенесение всех масс тем или иным способом внутрь уравенной поверхности. При этом в соответствии с теоремой

Стокеа (гл. 2, § 5) необходимо позаботиться о том, чтобы

общая масса Земли и форма уравенной nоверхности изме­

нились по возможности мало. Простое снятие масс без переноса внутрь вызывает большие деформации уравенной поверхности и поэтому неудобно при решении задач, связанных с онределение1-1 фигуры Земли.

2. Отказ от уравенной поверхности, близко совпадаю­ щей с реальной Землей, и построение поверхности отно­

симости на высоте, охватывающей все выступающие массы

Земли, например на высоте 10 км (геоид Бриллуэна). Задача

в этом случае может быть решена строго, так как не nрихо­

дится иметь дело с потенциалом внутри масс, однако реше­

ние в этом случае имеет ограниченный практический смысл.

Аномалии на такой поверхности будут сглаженными, а

вводимые nоправки большими. Будут ускользать детали

гравитационного поля, важные в таком приложении гра­

лишь в области самых высоких гор, т. е. в небольшом числе

отдельных точек.

В этом смысле геоид Листинга несравненно удобнее, так как он на двух третях поверхности Земли, т. е. на

океанах, практически совпадает с физической поверхностью Земли, а на остальной территории проходит в основном на расстоянии нескольких сотен метров под ней и лишь

врайонах плоскогорий н горных цепей отдален на не­

сколько километров.

Наблюдения силы тяжести :-.югут производиться на физическт"r nоверхности Земли, на разных высотах над Землей, nод Землей и под водой. Значения силы тяжести, измеренные в столь различных условиях, должны быть

отнесены к поверхности э.'lлипсонда, или нормальное

поле, заданное на э.1.rшпсоиде, до.1жно быть nересчитано

для точек наблюдення. Так вnзникла редукционная про·

бле:-.1а. Прн это~! должно быть Каi<-то учтено в.1ияние масс,

расиоложенных ~1ежду точкой нaб.lЮJ.NII!Я и поверхностью относи\ЮСПI. Здесь редукционная пробле:-.ш совпадает с

пробле\ЮЙ регуляризации Земли, поскольку в обоих

с.'lучаях стоит вопрос о том, как поступить с массами, рас­

положенньши \1ежду точкой наблюдения и поверхностью

77

относимости. При осуществлении редукции силы тяжести

к уравенному эллипсоиду требуется знать высоты точек наблюдения над эллипсоидо:v~ - т.зк называе:v~ые геодези­

ческие высоты. Однако эти высоты неизвестны. Из нивели­

ровок получаются высоты точек наб,'!юдения над геоидом.

Строго говоря, и это не совсс:v~ точно. Геоид нрактически неопредели:v~. Строго определены :-югут быть лишь нор­

мальные высоты. С помощью известных нор:v~альных высот

ипроизводится редуцирование силы тяжести.

Пусть сила тяжести определяется на физической по­ верхности Земли в точке А (рис. 19). Для сравнения с

нормальным полеч ее нужно редуцировать на эллипсоид

относимости в точку В' на расстояние, равное геодезиче­ ской высоте Н. Геодезическая высота Н неизвестна, поэтому

редуцирование производится по высоте Нор на уровень

моря, т. е. на геоид в точку В. Таким образом, редуциро­

вание производится не на ту поверхность, для которой определено нормальное значение силы тяжести. При этом получаются тоже смешанные аномалии. Формула образо­ вания аномалий в это:v~ случае будет

и в том, чтn при переносе силы тяжести из одной точки (на

физической поверхности Земли) в другую (на rеоиде)

необходимо знать, как изменяется силовое поле в любой точке внутри :v~acc, лежащих под точкой наблюдения, или

знать распределение масс.

При регуляризации Земли нужно сохранить массу Земли и форму уравенной поверхности или знать, какое

изменение уравенной поверхности происходит при этом.

Поэтому при любом переносе масс в лучшем случае необ­

ходимо знать их распределение.

Редуцирование необходимо во всех приложениях гра­

виметрии, однако в различных случаях к нему предъ-

78

являются разные требования. При решении вопроса о фигуре Земли и прочих вопросов геодезической грави­ метрии необходюю строго соблюдать условие отсутствия масс вне уравенной поверхности. Из этого приходится

исходить и при выборе редукций. При геологическом ис­

толковании результатов гравиметрической съемки совер­ шенно безразличны вопросы сохранения общей массы или общее сохранение формы уравенной поверхности. В этом случае необходимо редукцию провести так, чтобы в оста­

точном аномальном силово:-.1 поле наиболее рельефно про­

явились особенности распределения масс в данной области.

Таким образом, мы видим, что выбор метода редукции и

решение вопроса регуляризации Земли зависят от того, какая задача стоит перед исследователем. Вопросам ре­ дукций посвящено большое количество работ. Это объ­

ясняется, с одной стороны, важностью проблемы, а с дру­

гой - сложностью ее и отсутствием безусловно удавле­

тварительного решения.

§ 3. Редукция в свободном воздухе. Аномалии

в свободном воздухе

Смысл этой редукции состоит в том, чтобы привести

нормальные значения силы тяжести, заданные на нормаль­

ном эллипсоиде, к точкам наблюдения, расположенным на физической поверхности Земли, не принимая при этом

во внимание влияние масс, расположенных между этой

поверхностью и точкой наблюдения. Таким образом, это

редуцирование за высоту, и если известно изменение нор­

мальной силы тяжести с высотой, т. е. вертикальный гра-

диент ~; , то оно производится просто.

Редукция в свободном воздухе с добавлением поправки

за рельеф местности называется редукцией Фая или Гель­ мерта в честь ученых, введших ее в употребление. Выведем

редукцию в свободном воздухе в предположении шарооб­

разной Земли. В нашем предположении изменение нор­

мальной силы тяжести с высотой

где R - радиус модели шаровой Земли.

вертикального нормального градиента силы тяжести на

79

nоверхности Земли

(~~ = 2 c:;l = -2 ~ '

где у - нормальное значение силы тяжести. Интегрируя

это выражение 110 Н от О до Н, получае:v~ значение прира­ щения нормальной силы тяжести при изменении высоты в

этих пределах:

о

В качестве R и у здесь надо взять их значения для шара,

равновеликого земному эллипсоиду. Радиус такого шара получим из условия равенства объемов шара 11 эллипсоида

или площадей их :.-tepiщнaiii!ЫX сече11иii. Поскольку :v1ы

равняем nлощадь сферы нлощади эллиnсоида лR 2=ла)7,

тогда

R= Vaeb = Va~(l-a)=aeVI-a,

и для референц-системы 1967 г.:

ае= 6 378 160 м,

1'е=978031,85 мГал,

а= 1/298,247=0,003353, q = 0,0034678,

~ = 0,0053024.

Среднее значение у лолучим из уравнения у=уе О+~ sin 2 <р);

поскольку это эллиnтический закон изменения, то для

равновеликого шара

l'cp = Vl'p'Ve=Ye V1 +~= 980 621,3 мГал.

Вводя эти числовые величины, найде:v1 nриближенный коэф­ фициент формулы nриведения в свободном воздухе:

2Уср =О 308· Rcp ' '

если при этом приращения высоты брать в метрах, то ври­

ращение силы тяжести получим в ми.1л11галах.

Более точно вертикаль11ый градиент нормального гра­

витационного nоля для э.1лилсuидальной Зе\1ЛИ можно

80

вычислить, исходя из уравнения Пуассона:

Мы рассматриваем нормальное гравитационное поле вне эллипсоида, где а=О. Поместив оси координат в плоскости

главных нормальных сечениймеридиана и первого вер­

тикала, находим

или, производя перемножение и удерживая члены порядка сжатия:

ду= 2оо2 +.1.. (2 +е2 -2е2 sin 2 В).

дz а

Подставив сюда выражение угловой скорости через радиус

пользовавшись формулой Клера y=ye(l+~ sin2 В), по­

лучим

или, вынося v; за скобку и сохраняя члены порядка

сжатия,

~ ~ Ve [2 +е2+2q +2 (~-е2) sin2 В].

ut а

Представляя эксцентриситет через сжатие, е2~ 2сх, и под-

5

ставляя значение ~= 2 q-cx, имеем:

~~ ~ 2:е [1+сх+ q + (: q- 3сх) sin 2 ВJ

81

Если теперь выразить квадрат синуса через двойной угол

sin2 В=~ (1- cos 2В),

получим окончательно

или, интегрируя от О до Н по z, найдем приращение у при

приращении высоты:

Поправку силы тяжести в свободном воздухе можно

рассматривать как разность притяжения шаром точки,

расположенной на его поверхности и на высоте Н над ним. При~ем Землю за шар радиуса R. Притяжение такой

модели Земли на точку, расположенную на ее поверхности, будет

м

1'о=- G R2.

Притяжение той же модели на точку, расположенную на

высоте Н, равно

м

у=- G(R+H)2.

Очевидно, что из:-.1снение нормальной силы тяжести при

переходе от точки, находящейся на высоте Н, к точке на

н

поверхности Земли с точностыо до квадрата отношения R

Редукция в свободно~ воздухе, как это видно из вывода, учитывает из:v1енение нор~шльной силы тяжести с высотой.

Приближенно ее можно при~1еннть и к реальному грави­

тащюнно:\1У rюлю. Из'.1енение силы тяжести с высотой, в

соответствии с (4.6), состав.'lяет приблизительно l мГал

на 3 м из:v1енення высоты. Отсюда вытекают требования к

82

точности определения высот при гравиметрической съемке.

При современных гравю1етрических измерениях на суше

получают обычно точность порядка ± (0,01--;--0, 1) мГал.

Для того чтобы ошибки измерения высоты не превосходили

ошибок гравю1етрических определений, требуется опреде­ лять высоты с точностью +0,03--;--+0,3 м соответственно.

Такое определение высот является весы1а трудоемкой, а в

некоторых условиях и сложной задачей, особенно при ор­ ганизации массовых гравиметрических определений.

Введение редукции в свободном воздухе, бесспорно,

необходимо при вычислении любых аномалий силы тяжести.

При помощи этой редукции осуществляется приведение

нормального значения силы тяжести, определенного на

эллипсоиде, к физической поверхности Земли, и тем самым

отнесение аномалий к этой же поверхности, или, в случае классического подхода, наблюдения силы тяжести отно­

сятся к общей, единой для всех наблюдений поверхности.

Вслучае рассмотрения фигуры и гравитационного

поля реальной (нерегуляризированной) Земли аномалия

в свободном воздухе образуется как разность между фак­

тически наблюденным на физической поверхности Земли

значением силы тяжести g и редуцированным в нормальном

силовом поле __ на высоту Н нормальным значением силы

тяжести у:

(4.7)