Уравнение непрерывности. Время жизни.

В неравновесном состоянии локальная концентрация носителей заряда может изменяться во времени не только из-за генерации и рекомбинации, но и вследствие их дрейфа и диффузии. Скорости изменения концентрации носителей во времени описываются уравнениями непрерывности потоков электронов и дырок.

, ,

(2)

где G_n и G_p – скорости генерации электронов и дырок за счет внешних факторов; r_n и дырок r_p – скорости рекомбинации электронов и дырок в неравновесном состоянии.

Введем величины R_n=r_n-g_n0 и дырок R_p=r_p-g_p, определяющие отклонение скоростей рекомбинации электронов и дырок от их равновесных значений. Обычно R_n и R_p также называют скоростями рекомбинации. Уравнения непрерывности при этом перепишутся в следующем виде.

, .

(3)

При низких уровнях инжекции n<<p₀ и p<<n₀ можно разложить величины R_n и R_p в ряд по степеням n и p и ограничиться линейным членом разложения.

, .

(4)

Коэффициенты в разложении _n и _p являются постоянными величинами, имеют размерность времени и называются временами жизни электронов и дырок, соответственно.

При высоких и средних уровнях инжекции ограничиваться одним членом разложения в ряд величин R_n и R_p нельзя. В этом случае можно формально ввести мгновенные значения времени жизни, пользуясь условиями (I) и (2):

, .

(5)

С учетом выражений (5) уравнения непрерывности примут вид:

, .

(6)

где _n и _p общем случае являются функциями времени.

Монополярная световая генерация. Максвелловское время релаксации

Процессы генерации неравновесных носителей заряда в примесных полупроводниках могут существенно отличаться от явлений, происходящих в материалах с чисто собственной проводимостью. Рассмотрим донорный полупроводник, в котором атомы примеси при данной температуре не ионизированы полностью. Это означает, что примесный уровень лежит достаточно глубоко в запрещенной зоне по сравнению с kT: E_D»kT. Пусть облучение полупроводника светом приводит к перебросу электронов с донорных уровней в зону проводимости за счет энергии квантов света. В этом случае имеет место монополярная световая генерация, которая характеризуется образованием неравновесных носителей заряда одного знака (в данном случае электронов). При этом электронейтральность полупроводника не нарушается, так как избыточный заряд свободных электронов скомпенсирован зарядом образовавшихся положительных ионов донорной примеси.

Если коэффициент поглощения света велик, неравновесные электроны генерируются лишь в тонком приповерхностном слое и у поверхности полупроводника концентрация электронов будет повышенной и равной п=п₀+Δn, а в глубине образца п₀. Неравновесные носители будут перемещаться в глубь полупроводника, что приведет к возникновению в его объеме отрицательного заряда по отношению к поверхности, где сосредоточены положительные ионы. Электрическое поле, порожденное разделением зарядов, вызывает обратный поток электронов к поверхности, который уравновешивает диффузионный ток и приводит практически к полному уничтожению объемного заряда.

Изменение пространственного заряда q в результате протекания тока, плотность которого равна , как известно, подчиняется уравнению непрерывности электрического заряда

,

(7)

где - вектор напряженности электрического поля.

Воспользуемся также уравнением Пуассона

,

(8)

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε₀ =8.85·10^-12 Ф/м - абсолютная диэлектрическая постоянная.

Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем:

.

(9)

Отсюда находим закон изменения объемного заряда во времени

,

(10)

где q₀ – плотность заряда в начальный момент времени t=0.

или

(11)

есть диэлектрическое или максвелловское время релаксации.

Как следует из равенства (10), в случае монополярной генерации возникает объемный заряд, который со временем уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной времени .Поскольку максвелловское время релаксации для полупроводников достаточно мало, электронное облако неравновесных носителей не может сместиться на значительное расстояние по отношению к ионам примеси и повышенная концентрация неравновесных носителей будет в той области, где происходит их генерация. Следовательно, монополярная генерация и рекомбинация носителей имеют место в одной и той же области примесного полупроводника.

Оценим порядок величины максвелловского времени релаксации по формуле (11) для трех полупроводников (кремний, германий, арсенид галлия) с различными значениями удельного сопротивления. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

, Сим*см-1	, Ом*см	M, с
		Si	Ge	GaAs
100.0	0.01	1.05E-12	1.42E-12	1.16E-12
50.0	0.02	2.11E-12	2.83E-12	2.32E-12
20.0	0.05	5.27E-12	7.08E-12	5.80E-12
10.0	0.10	1.05E-11	1.42E-11	1.16E-11
5.0	0.20	2.11E-11	2.83E-11	2.32E-11
2.0	0.50	5.27E-11	7.08E-11	5.80E-11
1.0	1.00	1.05E-10	1.42E-10	1.16E-10
0.5	2.00	2.1E-10	2.8E-10	2.3E-10
0.2	5.00	5.3E-10	7.1E-10	5.8E-10
0.1	10.00	1.1E-09	1.4E-09	1.2E-09

Рассчитанные значения времен _M даже для высокоомных полупроводниковых материалов значительно меньше времен жизни электронов _n и дырок _p. Поэтому дальше будем считать, что установление электронейтральности в полупроводнике происходит практически мгновенно и рекомбинация протекает в условиях электронейтральности.