Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Центробежный момент инерции Ixсyс :

Ixcyc Ix1y1 a1 b1 F1 Ix2 y 2 a2 b2 F2 =

0 ( 1,28) ( 1,1) 36 ( 10,2) 2,34 2,02 19,6 133,1см4.

4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции. Найдем положение главных осей, используя формулу (2.4):

положительным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 18,10 против часовой стрелки (причѐм ось u наклонена к оси x под углом αo). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение.

Главные моменты инерции по (2.5) равны

Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них

– Imax, другой – Imin. Сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:

Iu + Iv=Imax + Imin=634+184,7= Ixc Iyс =227,7+590=817,7см4.

Получаем Imax =634см4, Imin =184,7см4≈185 см4.

Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла αo. Применяем правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той

81

оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).

В нашем случае

Ixс=127,7см4 < Iyс=590см4, тогда

Imax=Iv=634см4, Imin=Iu=185см4,

поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции I max – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.

Раздел 3. РАСЧЁТЫ ПРИ КРУЧЕНИИ

Кручение возникает в элементах конструкций при таких воздействиях, которые можно схематизировать только скручивающими моментами. Такой брус в технике называют валом. Обычно эти элементы имеют вид прямого бруса как постоянного, так и переменного сечения. Например, испытывают кручение валы механических передач, несущие зубчатые колѐса и др. детали передач; коренные валы машин, которые несут рабочие органы машин (колѐса турбин, кривошипы и др.); валы двигателей и станков; оси автомобилей, моторных вагонов и локомотивов. Также подвергаются скручиванию и элементы пространственных конструкций (в частности, пространственных рам).

При составлении схем расчѐта вала необходимо учитывать вид внешнего воздействия и способ присоединения (или опирания). Чаще способ крепления валов такой, что препятствует как линейному перемещению, так и угловому (т. е. повороту) опорного сечения, поэтому на схеме вала изображается жѐсткая заделка (защемление). По количеству защемлений схемы валов могут быть статически определимыми (вал с одной заделкой) и статически неопределимыми (вал с двумя и более заделками).

В данном пособии приведены расчѐты круглых ступенчатых валов, имеющих одну или две жѐсткие заделки, при действии сосредоточенных и распределѐнных моментов; выполнены расчѐты как на прочность, так и на жѐсткость. Рассматривается решение следующих задач:

Задача 12. Проектный расчѐт ступенчатого вала.

Задача 13. Проектный расчѐт ступенчатого статически неопределимого

вала.

Задача 14. Проверочный расчѐт ступенчатого вала.

82

Задача 15. Проверочный расчѐт ступенчатого статически неопределимого

вала.

В каждой из этих задач требуется выполнить расчѐт на прочность, в котором оценивается сопротивление вала внешним воздействиям. От воздействия внешних скручивающих моментов в сечениях вала возникает только крутящий момент, который вычисляется, как и любое внутреннее усилие, методом сечений (с помощью правила РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить). Для вычисления крутящего момента составляют уравнение равновесия отсечѐнной части вала в виде суммы моментов всех внешних нагрузок и внутреннего крутящего момента относительно оси вала:

Для моментов используем известные общепринятые правила знаков: при взгляде на сечение внешние моменты, приложенные к рассматриваемой отсечѐнной части, считаем положительными, если они направлены против хода часовой стрелки, и положительный внутренний крутящий момент Мкр ─

по часовой стрелке. Таким образом, внешние и внутренние моменты действует навстречу друг другу и компенсируют друг друга. Положительные направления моментов показаны на рис. 3.1, а, на котором изображена схема вала в общем виде. На схеме сосредоточенный момент М приложен в начале вала, а по всему валу действует распределѐнный момент интенсивности m.

Уравнение равновесия (3.1) для отсечѐнной части вала принимает вид

(см. рис. 3.1, б):

Mкр mz M 0 .

Как видно, крутящий момент Мкр в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно оси z всех внешних моментов, действующих по одну стороны от рассматриваемого сечения. Подтверждается закономерность: положительные внешние моменты создают положительный внутренний

крутящий момент. Вычислим значения Mкр в начале участка (при z=0) и в

конце участка (при z=l). Получим Mкр (0) M и Mкр (l) M m l . Отложив полученные значения, построим эпюру Мкр (рис. 3.1, в), которая будет нарастающей от свободного края по линейному закону. Подставляя в (3.2) цифровые значения внешних моментов реального вала, можно получить для него соответствующие значения момента Мкр. При вычислении момента Мкр рекомендуем следующие методические приѐмы:

1.Крутящий момент в сечении лучше брать положительного направления (по часовой стрелке), тогда получаем его значение с истинным знаком.

2.Для вала с заделкой крутящий момент проще вычислять,

83

а

б

в

г

Рис. 3.1

рассматривая отсечѐнную часть со стороны свободного края, тогда не обязательно определение опорного момента в заделке.

По формуле крутящего момента (3.2) хорошо прослеживается влияние сосредоточенного и распределѐнного моментов на значение момента Мкр, поэтому при изображении эпюры Мкр необходимо помнить: во-1, на участке, где нет распределѐнного момента ( m 0 ), крутящий момент Mкр const , и на

эпюре Mкр будет прямая, параллельная оси; во-2, на участке с распределѐнным моментом (m≠0) крутящий момент Mкр изменяется линейно, и на эпюре Mкр – наклонная прямая, причѐм при m>0 крутящий момент растѐт, при m < 0 крутящий момент уменьшается. Значения моментов Mкр

необходимы для выполнения дальнейших расчѐтов вала на прочность и на жѐсткость.

Так как работа элементов деталей машин и механизмов на кручение допускается в пределах упругих деформаций, то для расчѐта вала на прочность используют условие прочности по допускаемым напряжениям, которое при

84

где max модуль наибольшего касательного напряжения в сечении вала, для вала круглого сечения max возникает в точках сечения у поверхности вала (рис. 3.2, а) и определяется формулой

допускаемое напряжение для материала вала. Согласно условию прочности напряжения max не должны превышать допускаемого напряжения η .

Рис. 3.2

В задачах КР и РГЗ рассматриваются ступенчатые круглые валы, имеющие несколько грузовых участков разного диаметра и различного характера нагрузки, поэтому условие прочности (3.3) записываем в виде

Сечение вала, в котором касательные напряжения max принимает наибольшее по модулю значение, является опасным. Условие прочности (3.5) позволяет выполнять три вида расчѐтов:

проектный(назначение диаметра вала);

проверочный (проверка прочности вала);

определение несущей способности (вычисление допускаемого значения внешних моментов).

85

В рассмотренных ниже задачах выполняются первые два вида расчѐтов. При работе машин и сооружений сечения валов получают угловую

деформацию (рис. 3.2, б) − угол поворота сечения θ (или угол закручивания вала), который не должен превышать определѐнного значения, поэтому условие жѐсткости вала имеет основополагающее значение для его успешной работы. Ввиду этого в задачах на кручение обязательна проверка жѐсткости вала по условию жѐсткости, которое записывают в виде двух выражений:

соответственно допускаемых относительного и абсолютного углов закручивания вала. Значение θ max для ступенчатого вала определяется как

При вычислениях необходимо помнить, что при расчѐте в системе СИ получаем абсолютный угол закручивания θ в радианах, а относительный θ −

в рад/м. Величина θ max выбирается по эпюре θ , которая обязательно

выполняется при проверке жѐсткости вала. Сначала вычисляют углы закручивания участков вала по формуле

круглого сечения, Iρ d 4 (1 c4 ) . 32

Если крутящий момент на рассматриваемом участке постоянный, то

угол закручивания участка равен Δθ M кр l .

GI

Как видно, угол закручивания зависит обратно пропорционально от значения GIρ , которое поэтому называют жѐсткостью сечения при кручении.

Из-за угловых деформаций отдельных участков вала происходит реальный поворот сечения на угол θ (рис. 3.2, б), который для вала называют

86

полученного треугольного элемента (рис. 3.3, б), то получаем нормальные и касательные напряжения, действующие на этой площадке,

ζα η sin 2 , ηα η cos2 .

Площадка под углом α= 450 является особенной: напряжения на ней

сжимающие ζ2= ζα =- , и имеем одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 3.3, в).

Рис. 3.3

Как известно эти площадки являются главными, так как на них отсутствуют касательные напряжения. Характер разрушения вала зависит от способности данного материала сопротивляться действию и нормальных и касательных напряжений.

Приведѐм вид разрушения валов, выполненных из трѐх, наиболее распространѐнных материалов: дерева, стали и чугуна (рис. 3.4).

а

Рис. 3.4

Разрушение при кручении б а ─ деревянного вала;

б ─ чугунного вала;

в ─ стального вала.

в

Деревянный вал претерпевает скалывание продольных волокон относительно друг друга: появляются трещины, ориентированные вдоль образующей. Это происходит вследствие того, что древесина хуже

88

сопротивляется сдвигу (воздействию касательных напряжений η ), чем растяжению и сжатию (воздействию нормальных напряжений ζ ).

Чугунный вал разрушается по винтовым плоскостям, ориентированным под углом 45º к оси бруса. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжимающим напряжениям ζ2 =- , плохо сдвигающим

направлению к оси вала – появляется трещина под углом ~450 к оси вала.

Стальной вал срезается по поперечному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения , так как сталь хуже всего сопротивляется касательным напряжениям.

Чтобы закрепить знание о напряжѐнном состоянии при кручении, в РГЗ и КР при расчѐте вала можно предусмотреть указывать главные напряжения и описывать место и характер возможного разрушения для разных материалов.

Задача 12. Проектный расчѐт ступенчатого вала

Для стального вала заданной конфигурации известны внешние

участкам вала, используя указанные на схеме значения диаметров сечения через неизвестную величину d .

3. Установить наибольший модуль напряжений max и составить условие

прочности вала по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение d при допускаемом напряжении 100 МПа и назначить диаметры всех участков вала, соблюдая указанное соотношение между ними.

4. Вычислить значения касательных напряжений max по участкам вала и

построить эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).

5. Вычислить относительные углы закручивания по участкам вала и абсолютные углы поворота характерных сечений, считая модуль упругости

89

а

б

в

г

д

е

ж

з

Рис. 3.5

90