Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

сопротивления и расстояния до наиболее удалѐнной точки сечения для растянутой и сжатой зон.

Сначала нужно представить эпюру напряжений по высоте сечения. Найдѐм для первой формы сечения положение центра тяжести:

значит, центральная ось проходит по нижней линии полки сечения. Эпюра напряжений линейна по высоте сечения, и желательно, чтобы

рационально сечение перевернуть, чтобы полка была в растянутой зоне (рис.

МПа, по этим значениям и построена эпюра напряжений ζ на рис. 4.9.

Из двух условий прочности (4.5) здесь нужно воспользоваться первым. Запишем через неизвестную величину а нужные для условия прочности

осевой момент инерции сечения и момент сопротивления W р х как

131

Принимаем а=4см, и площадь сечения равна F 6a2 6 42 64 см2.

Для второй формы чугунного сечения положение центра тяжести определяется расстоянием

132

Принимаем а=4см, площадь этого сечения F 8a2 8 42 128 см2, как видно, это значение в 2 раза больше полученного для первой формы, поэтому считаем для чугуна экономичнее первую форму сечения.

3. Вычисление значений и изображение эпюры нормальных напряжений

Для стальной балки подобранного выше двутаврового сечения, как более экономичного варианта, построим эпюру нормальных напряжений. Значения нормальных напряжений при изгибе можно вычислить в разных точках сечения по формуле

ζ Mmax y ,

J x

где y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение. Но, так как эпюра напряжений линейна по высоте сечения, вычислим только значения нормальных напряжений max и min:

растянутые волокна находятся в нижней части сечения. Ввиду этого откладываем на эпюре нормальных напряжений max =167МПа для нижних точек сечения, а min =-167МПа для верхних, и проводим наклонную линию (эпюру ), которая проходит через ноль в центре тяжести сечения (рис. 4.9, б).

Для балки из чугуна эпюра напряжений построена на рис. 4.9, а.

4. Вычислим прогибы характерных сечений, изобразим изогнутую ось балки.

Для вычисления прогибов характерных сечений воспользуемся уравнением прогибов метода начальных параметров (т. е. универсальным уравнением упругой линии), который по (4.6) имеет вид

133

Начало координат расположим в жѐсткой заделке Д, тогда y0 0;0 0 (см. рис 4.6). Для удобства можно балку перевернуть зеркально, как

показано на рис. 4.8, ж.

Запишем выражение для вертикального перемещения (прогиба) в сечении A , причѐм положительное направление нагрузок и характерные расстояния считаем так, как показано на рис. 4.5:

134

Положительное значение означает, что перемещения происходят вверх. Отложим эти значения вверх от нулевой линии и изобразим изогнутую ось балки − эпюру прогибов y (рис. 4.8, з).

Проверим условие жѐсткости. Допускаемый прогиб по техническим

Так как условие жѐсткости не выполняется, то необходимо взять следующий двутавр − двутавр номер №14 с моментом инерции 572см4 , для которого максимальный прогиб будет равен

итогда условие жѐсткости балки выполняется.

5.Анализ напряжѐнно-деформированного состояния

Проведѐм вычисления для балки из чугуна первой, как более экономичной, формы сечения. Для анализа напряжѐнно-деформированного состояния (НДС) чугунной балки нужны как эпюра нормальных напряжений ζ, так и эпюра касательных напряжений по высоте сечения. Нормальные напряжения найдены выше. Эпюра распределения касательных напряжений по высоте такого сечения (эпюра ) представлена на рис. 4.4, в. Вычислим значения касательных напряжений в характерных точках сечения по формуле Д.И. Журавского

относительно нейтральной оси x той части сечения, которая расположена по

точки сечения − это точки L, T и центр тяжести сечения O (рис. 4.9, а). Для

135

Как видно, для всех характерных точек условие прочности выполняется. Анализ напряжѐнно-деформированного состояния (НДС) для стальной

двутавровой балки нужно выполнять, как показано ниже, в задаче 20.

Задача 17. Проектный расчѐт двухопорной балки

Для стальной двухопорной балки (рис. 4.11, а) известна внешняя нагрузка.

Исходные значения: l 2,2 м; q 10 кН/м; P ql ; M 0,6ql 2 ; E 2 1011 Па.

Требуется:

1.Из уравнений равновесия балки вычислить силы реакций опор.

2.Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих моментов

Mx по участкам балки, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy и Mx. Указать опасное сечение и значение Mxmax.

3.Из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать размеры для нескольких вариантов вида сечений, выбранных из пяти, показанных

на рис. 4.10. Принять допускаемое напряжение 200МПа. Сравнить расход материала, составив соотношение площадей.

Рис. 4.9

4. Для экономного варианта сечения балки вычислить значения нормальных напряжений max в опасном сечении и изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ).

5. Вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жѐсткость при допускаемом прогибе, равном

137

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 4.10

138

f = 1/400 длины пролѐта балки. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, то назначить новые размеры сечений.

6. Для сечения с Qymax вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100МПа.

7. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки.

Решение:

1. Вычисление сил реакции опор

Силы реакций опор найдѐм из уравнений равновесия балки при плоском изгибе по (4.1) мом А 0, мом B 0, которые для данной балки принимают вид

Для проверки правильности найденных реакций опор составим уравнение равновесия пр y 0 :

RA 2ql P RB 0.

После подстановки значений реакций имеем тождество

1, 4ql - 2ql ql - 0, 4ql 0, или 2, 4ql - 2, 4ql=0, ,

значит, реакции опор найдены верно.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Величины поперечных сил Qy и изгибающих моментов М x определим

согласно с методом сечений из уравнений равновесия отсечѐнных частей балки:

139

I-й участок (см. рис. 4.11, б):