Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Продольное усилие N1 отрицательно, значит, стержень 1 сжат. Продольное усилие N2 положительно, поэтому стержень 2 растянут.

Следующим нужно рассматривать узел, в котором неизвестны два продольных усилия; в нашем примере вырезаем узел A (рис. 1.5, г), в котором неизвестны усилия в стержнях 3 и 4. Ставим усилия в стержнях N1 , N3 , N4 и

реакцию RA . Составляем уравнения равновесия узла A по (1.14) :

поскольку продольное усилие в нѐм равно нулю. Усилие N5 отрицательно, это

означает, что стержень 5 сжат.

Поскольку конструкция симметричная, то достаточно рассмотреть лишь одну еѐ половину и можно записать внутренние усилия в симметричных стержнях второй половины, так как усилия попарно равны.

21

3. Подбор размеров сечения стержней

Размеры поперечного сечения стержней подбираем из условия прочности по допускаемым напряжениям, которое при растяжении-сжатии по (1.4) имеет вид

ζi Ni ζ ,

Fi

где ζi – нормальное напряжение в стержне; ζ – допускаемые нормальное напряжение, здесь при растяжении и сжатии они одинаковы; Ni – продольное усилие в стержне; Fi – поперечное сечение стержня.

Для растянутых стержней нужно выбирать номер швеллера. Если нет дополнительных условий, считаем все растянутые стержни одинакового

Принимаем диаметр d 3 cм для стержней 1, 4, 5, 9.

Стержни, в которых N 0 , можно принять также круглого сечения, поэтому для стержней 3, 6, 7 принимаем диаметр d 3 cм .

22

Задача 3. Проектный расчѐт ступенчатого бруса

Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана егоо конфигурация и известна внешняя нагрузка.

Требуется:

1.Построить эпюру продольных сил N .

2.Составить выражения для нормальных напряжений σ по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F .

3.Установить ζmax , составить условие прочности бруса по допускаемым

напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F приζ 200 МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное

соотношение между ними.

4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных

перемещений δ , считая модуль упругости E 2 105 МПа. Указать δmax и проверить жѐсткость при допускаемом продольном перемещении δ 0,5 мм. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

5.Для опасного сечения бруса вычислить касательные ηα и нормальные

ζα напряжения в наклонной площадке, проведѐнной под углом α =45° к оси

бруса.

6. Какую силу P0 нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы

вернуть его в первоначальное положение?

Исходные значения: l 1,2 м; q 20 кН/м; P 3 ql .

Решение

1. Построим эпюру продольных сил N .

Вычислим значения продольных сил методом сечений. Данный брус состоит из 3-х участков. Будем рассматривать отсечѐнные участки для каждого участка, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Уравнение равновесия для отсечѐнной части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось: по (1.1) пр z 0 .

Записывая это уравнение последовательно для всех участков, получим продольные силы N для каждого участка.

Для 1-го: N1 P 3 ql ;

23

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 1.6

Для 3-го: N3 P 2 q 2l 0,2 P 3 ql 4 ql 0,2 3 ql 0,4 ql .

По этим значениям построим эпюру N (рис. 1.6, д).

24

2. Выражения для нормальных напряжений

Составим выражения для нормальных напряжений ζ по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F . Нормальное напряжение ζ вычисляем для каждого

3. Нахождение ζmax и условие прочности

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид (1.5), согласно которому

Значит, нужно выбрать из полученных значений нормальных

25

4. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.

26

спомощью (1.7):

B l 3 0,053 мм ;

C l 3 l 2 0,053 0,8 0,747 мм ;

D l 3 l 2 l 1 0,053 0,8 0,6 1,347 мм .

На участке 2 эпюра продольных сил пересекает нулевую линию в точке K (рис. 1.6, д), в этом сечении будет перегиб на эпюре перемещений, поэтому

0,9 10 3 м 0,9 мм .

Тогда продольное перемещение сечения K согласно (1.7) равно

K B l BK C l CK 0,747 0,9 0,153 мм.

По полученным значениям построим эпюру продольных перемещений

(рис. 1.6, ж).

Укажем max и проверим жѐсткость при допускаемом продольном перемещении.

27

6. Определение силы P0

Определим, какую силу P0 нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение. Сечение Д получило отрицательное перемещение δ D 1,347 мм . Чтобы вернуть сечение в

первоначальное положение, нужно, очевидно, приложить растягивающую силу Р0, которая растянет брус на 1,347 мм , т. е. деформация всего бруса от

Задача 4. Проектный расчѐт ступенчатого

статически неопределимого бруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.7, а) жѐстко закреплѐн с торцов.

Требуется:

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жѐстких заделках.

2.Построить эпюру продольных сил N.

3.Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на чертеже бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F.

4.Установить max., составить условие прочности бруса по допускаемым

напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F при

29

=200МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

5. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений δ, считая модуль упругости E=2∙ 5МПа. Указать δmax и проверить жѐсткость при допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

6.Для опасного сечения бруса вычислить касательные ηα и нормальныеα напряжения в наклонной площадке, проведѐнной под углом α = 45° к оси бруса.

7.Вычислить температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Принять коэффициент линейного удлинения

=1,25∙10-5 1/град.

8. Как изменятся величины реактивных сил, если между правой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L?

Решение:

1. Вычисление реактивных сил

Обозначим реактивные силы, возникающие в жѐстких заделках под

необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений.

При растяжении-сжатии ступенчатого бруса уравнение перемещений записывают через продольные деформации участков li . Перемещение

заделок относительно друг друга равно 0, и поэтому для данного бруса из трѐх участков уравнение перемещений запишем в виде суммы

рассматриваемом участке; где E – модуль упругости первого рода или модуль

30