Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Как видно, угол наклона касательной к кривой перемещений повторяет закон изменения силы N , поэтому эпюра N всегда позволяет определить наклон кривой δ: так в рассматриваемом примере сила N растѐт от свободного края к заделке, поэтому угол наклона касательной увеличивается к заделке, и выпуклость обращена вверх (рис. 1.1, г).

Нужно заметить, что согласно с (1.8), функция перемещений δ(z) на порядок выше функции N (z):

на участке бруса, где N=const и эпюра N – прямая, параллельная оси, на эпюре перемещений δ будет наклонная прямая;

там, где на эпюре N – наклонная прямая, на эпюре перемещений δ ─ кривая 2-го порядка (парабола), изогнутость которой и определяется согласно (1.8) по значениям силы N .

Для обеспечения нормальной работы конструкции необходимо, чтобы не превышало допускаемого перемещения δ , в таком случае

Это условие позволяет выполнять те же три вида расчѐтов, что и условие прочности. Поэтому, когда оно для рассматриваемого элемента не соблюдается, по нему определяют требуемые величины.

Для правильного контроля работы конструкций надо знать, какие напряжения возникают не только в осевом направлении, но и на любом наклонном к оси. Если стержень разрезать двумя поскостями (рис. 1.2, а): плоскостью 1-1, перпендикулярной оси и плоскостью 2-2, наклонѐнной к поперечному сечению под углом α , далее выделить полученную часть стержня (рис. 1.2, б) и рассмотреть еѐ равновесие по уравнению (1.1), − то получим в наклонном сечении напряжения pα , параллельные ζ и равные

pα ζ cos .

а

б

11

Рис. 1.2

Разложим вектор напряжения pα на нормаль и касательную к наклонному сечению и получим, что при растяжении-сжатии в наклонных

Формулы (1.10) показывают, что наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, а наибольшие касательные ─ на площадках под углом α 450 , на которых касательные и нормальные напряжения

одинаковы по величине: ηα=450 ηmax ζ2 , ζα 450 ζ2 . Этот факт позволяет обьяснить реальное сопротивление растяжению и сжатию разных материалов.

Рассмотрим широко распространѐнные конструкционные материалы: сталь и чугун. Сталь, как пластичный материал, при сжатии деформируется за счѐт сдвига, и наибольший сдвиг получает от наибольших касательных

наблюдается интенсивный сдвиг по этому направлению, а образец принимает бочкообразную форму (рис. 1.3, а). Известно, что предел текучести стали при

12

сдвиге ηт составляет приблизительно 0,6 от предела текучести при растяжении-сжатии ζт. Отсюда понятно, что при ηα=ηт образец не разрушается

ни от сжимающих напряжений в поперечном сечении ζ FP , которые

образец не разрывается), а получает большую пластичную деформацию сдвига, приводящую к бочкообразной форме. При дальнейшем увеличении напряжений деформация сдвига нарастает с большой скоростью, образец сплющивается, − это говорит о том, что допускать предел текучести для стальных конструкций опасно.

При сжатии чугунного образца (рис.1.3, б) наблюдается хрупкий скол по плоскости под углом α 450 к оси. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжатию и слабо растяжению. Образец разрывается от действующих под углом α=450 к оси бруса растягивающих

напряжений и наклонена под -450 к оси бруса. Для закрепления знаний о напряжениях при расчѐте ступенчатого бруса можно предусмотреть вычисление напряжений под углом α=450 к оси бруса по (1.10).

Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы

В плоской стержневой системе (рис. 1.4, а) абсолютно жѐсткий брус АB имеет три опорных стержня и несѐт нагрузку известной величины.

Требуется:

1.С помощью уравнений равновесия определить усилия в опорных стержнях.

2.Подобрать площади поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемое напряжение на

сечений, принимая два стержня круглого и один квадратного сечений.

Исходные значения: l 2 м; q 15 кН/м; P 2 ql ; стержни 1, 2

круглого сечения, стержень 3 – квадратного.

Решение 1. Определение продольных усилий в опорных стержнях

13

Опорные стержни 1, 2, 3 имеют (рис. 1.4, б) по концам шарниры. При действии внешних сил на жѐсткий брус АВ эти стержни деформируются (т.е. изменяют длину) и за счѐт деформаций шарниры B и C перемещаются: на рис. 1, в для шарнира С показано новое положение С1 , при котором

соединяемые элементы (брус АВ и стержень 2) поворачиваться друг относительно друга, и край С получил горизонтальное и вертикальное перемещения. Эти перемещение края С произошли от горизонтального и

вертикального воздействия со стороны бруса АB . Обозначим их как RСx и RСy и покажем эти усилия на рис. 1.4, г. Законченный поворот стержня 2 говорит о том, что для него соблюдается условие равновесия мом С2 0 . Запишем его:

RСy cosα С1С2 - RСx sinα С1С2 0 .

Здесь равенство нулю возможно, если проекции RСy cos и RCx sin

равны нулю, т. е. полная реакция RC RCx RCy направлена вдоль стержня. Тогда в сечении C2 возникает реакция R2 = RC , направленная в

противоположную сторону вектора RC .

Очевидно, для стержня, имеющего по концам шарниры, будут всегда верны эти рассуждения, и, используя их, будем сразу направлять реакции вдоль такого стержня.

Замечание 1: стержень, имеющий по концам шарниры, может быть только либо растянут, либо сжат.

Для подбора размеров сечений небходимо знать, какое внутреннее усилие возникает в каждом из стержней 1, 2, 3. Внутренние усилия определяют методом сечений. Например, разрежем стержень 2 в каком-либо месте и рассмотрим одну, пусть, нижнюю часть (рис. 1.4, д). Она нагружена реакцией R2 (это внешняя для стержня нагрузка) и силой N2 (это внутреннее

Заметим, что для условия прочности важно знать направление продольной силы, которая оценивается знаком: если сила N направлена от проведѐнного сечения и растягивает стержень, то она считается положительной, если сжимает, то она направлена к сечению и в еѐ цифровом значении ставится знак « – ».

Чтобы автоматически при расчѐте получить правильный знак N , поставим для всех стержней направление усилий N1 , N2 , N3 положительное,

т. е. растягивающее.

14

а

б

АB. Брус нагружен внешней нагрузкой P и q и усилиями N1 , N2 , N3 ,

которые представляют в совокупности плоскую систему сил, поэтому для бруса АB имеем три уравнения равновесия:

пр x 0;

пр y 0;

мом C 0.

Запишем эти равнения:

15

P sin 45 N2 sin 30 0;

P cos 45 N2 cos 30 N1 - N3 q 2l 0;

P cos 45 l N3 2l q 2l l 0.

Из третьего уравнения

N3 21l (P cos 45 l 2 ql2 ) 21l ( 2 ql cos 45 l 2 ql2 )

ql (cos45 1) 1,707 ql 1,707 15 103 2 51 210 Н 51,21 кН.

Продольное усилие N3 отрицательно, значит, стержень 3 сжат. Из первого уравнения

Продольное усилие N2 положительно, значит, стержень 2 растянут. Из второго уравнения

N1 P cos45 N2 cos30 N3 2 ql 2 ql cos45

2,828 ql cos30 ( 1,707 ql) 2 ql 1,328 ql 1,328 15 103 2 39,84 кН.

Продольное усилие N1 положительно, значит, стержень 1 растянут.

Для проверки правильности найденных усилий в опорных стержнях составим уравнение равновесия: мом A 0:

N2 cos30 l N3 3l q 2l 2l N1 l 0 ,

2,828 ql cos30 ( 1,707 ql) 3 4 ql 1,328 ql 0, 6,449 6,449 0,

значит, существует тождество 0 0 , которое говорит, что усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней.

Подбор размеров сечения стержней выполняется по условию прочности по допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии (1.4), согласно которому для каждого стержня

16

где ζi – нормальное напряжение; ζ – допускаемое нормальное напряжение,

стержня. Пусть стержень 1 − квадратного сечения, стержни 2 и 3 − круглого. Для 1-го стержня квадратного сечения площадь F1 a2 , где a – сторона

квадрата. Стержень 1 растянут, условие прочности (1.11) для него принимает вид

Подставляя выражение площади квадратного сечения, получим

Принимаем a 3,2 cм .

Замечание 2: полученное из условия прочности значение размеров сечения округляется в бо'льшую сторону.

Для 2-го стержня круглого сечения площадь поперечного сечения

условие прочности (1.11) для него принимает вид:

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» d2 3 cм .

Составим условие прочности для 3-го стержня. Стержень 3 сжат, то по условию (1.11)

17

Замечание 3: для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы.

Подставляя площадь круглого сечения F3 0,25 π d 2 , получим

Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы

Для плоской фермы (рис. 1.5, а) задана нагрузка. Исходные значения: l 0,8 м; q 40 кН/м; P 2,2 ql ; α 45 .

Требуется:

1. С помощью уравнений равновесия определить опорные реакции.

2. Используя метод вырезания узлов, определить усилия в стержнях фермы.

3. Подобрать размеры поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемые напряжения

ζ 200МПа. Сечение сжатых стержней принять в форме кольца с

соотношением внутреннего и внешнего диаметров равным 0,5, а сечении растянутых стержней – в виде швеллера.

Решение

1. Определение опорных реакций

Обозначим реакции, возникающие в опорах A и B . Опора B шарнирноподвижная, имеем один вертикальный опорный стержень, вдоль которого возникает одна вертикальная реакция RB (см. замечание 1) (рис. 1.5, б). Опора

Aшарнирно-неподвижная, она препятствует смещению узла A по вертикали

игоризонтали, поэтому в ней в общем случае возникает две реакции:

18

а

б

направлении нет других сил, то из уравнения пр x 0 следует, что H A 0 . Ферма нагружена системой параллельных сил P , RA и RB . Составим

два уравнения равновесия:

мом A 0;

мом B 0.

Запишем эти уравнения:

19

Из (1.13) RA 21l P 3l P l P 2,2 ql 2,2 40 0,8 70,4 кН.

Проверку найденных реакций выполним по неиспользованному уравнению, которое при правильном вычислении реакций удовлетворяется тождественно, пр y 0 : RA RB P P 0;

2,2 ql 2,2 ql 2,2 ql 2,2 ql 0 ; 4,4 ql 4,4 ql 0 ; 0 0 ,

значит, реакции найдены верно.

Равенство RA RB есть следствие симметрии фермы, поэтому можно

сформулировать следующее.

Замечание 4: в симметричной схеме при симметричной нагрузке реакции равны друг другу, а величина их составляет половину нагрузки.

2. Определение усилий в стержнях фермы

Обозначим узлы и пронумеруем стержни (рис. 1.5, б). В стержнях ферм, которые имеют по концам шарниры, возникают только продольные силы (см. замечание 1). Их значение определим методом вырезания узлов, который основан на методе сечений. По этому методу последовательно вырезаем каждый узел фермы и рассматриваем его равновесие. В данной ферме в силу еѐ симметрии необходимо и достаточно выделить три узла: узлы A , C , F .

предполагая растяжение. Для этого, как и для каждого узла имеем сходящуюся систему сил, поэтому составляем два уравнения равновесия, из которых и найдѐм неизвестные усилия,

Запишем эти уравнения для узла C

20