Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

распределѐнной нагрузки по участкам: q1=60кН/м, q2=0; длины участков 11=0,5м, 12=0,6м; площади сечений участков F1=5см2, F2=3см2.

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.12, б). Брус имеет два грузовых участка (нумерацию участков начинаем справа) и две заделки, в которых возникают реактивные силы RA и RВ. Для решения задачи необходимо найти величины этих сил. Составим уравнение равновесия бруса по (1.1) пр z 0 :

RA 30 60 0,5 RB 0 .

Как видно, в уравнении имеем два неизвестных, и задача отыскания реакций является статически неопределимой. Составим дополнительное уравнение − уравнение перемещений, записав перемещение правой заделки и приравняв его нулю. Используем (1.6), запишем перемещение как сумму деформаций от каждого воздействия, начиная с левого торца бруса. Получим

Отсюда RA =5кН, а из уравнения равновесия найдѐм вторую реакцию:

RВ=5кН.

2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений

Для оценки прочности и жѐсткости бруса необходимо найти значения и построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений ζ, относительных деформаций и продольных перемещений δ.

Запишем требуемые алгебраические выражения и вычислим значения, используя метод сечений и известные формулы.

1-й участок: z11= 0,5м. В текущем сечении 1-го участка на расстоянии z1, продольная сила N1, напряжение ζ1 и относительная деформация ε1 согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, по которому ζ1 E ε1 ,

получаем

N1 RB 60 z1 5 60 z1 ,

51

а

б

в

г

д

е

Рис. 1.12

2-й участок: z22= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка,

52

По полученным значениям продольных сил, напряжений, относительных деформаций непосредственно под брусом построим эпюры этих величин и подпишем их характерные значения (рис. 1.12, в, г, д).

Перейдѐм к перемещениям. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого вычислим абсолютные

0,5 10 4 м 0,05мм .

Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δВ =0. Последнее сечение 1-го участка (сечение С) получило перемещение δС, которое равно деформации этого участка: δС= l1 0,05мм .Последнее сечение 2-го участка (сечение А) не имеет

смещения, так как в нѐм заделка. Действительно, получаем

δÀ = l1 l2 0, 05 ( 0, 05) 0.

На эпюре сил N наклонная прямая пересекает ось (рис. 1.12, б) на расстоянии zo от начала 1-го участка (это сечение К). В этом сечении на эпюре перемещений ожидается экстремум (перегиб кривой перемещений). Используя выражение продольной силы на 1-м участке, запишем уравнение NК = 0:

53

Зная абсциссу zо сечения К, найдѐм значение экстремального перемещения δК (перемещения при z=zо) на основании (1.7) как сумму перемещения δВ и деформации куска zо

δК δВ 0z0 ε1 dz1 0 0z0 ( 5 60 z1 ) 10 5 dz1 ( 5 z0 60 z02 / 2) 10 5

( 5 0,0833 60 0,08332 / 2) 10 5 0, 208 10 5 м 0,0021мм .

Отложив полученные значения перемещений, построим под брусом эпюру δ (рис. 1.12, е).

3 и 4. Проверка условий прочности и жѐсткости бруса

Далее, для ответа на пункты 3 и 4, назовѐм максимальные напряжения ζmax, деформации ε мах, перемещения δмах и сделаем выводы о прочности и жѐсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [ζ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ]=0,5мм:

ζmax=50МПа < [ζ]=200MПa,

εmax=0,00025< [ε] =0,005,

δмах=0,05мм < [δ]=0,5мм,

и, следовательно, прочность жѐсткость бруса обеспечены.

5. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные ηα и нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведѐнной под углом α=450 к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере это последнее сечение 1-го участка и ζmax=50МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке:

7. Вычисление температурных напряжений

Найдѐм температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 500С. Для этого составим уравнение перемещений, учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках:

54

Rt A ( El1F1 El2F2 ) α t (l1 l2 ) 0,

7. Влияние зазора на величину реакций

Оценим влияние зазора на величину реакций от нагрузки. В случае зазора при действии нагрузки торец бруса переместиться за счѐт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна

0,0001∙L1:

Получаем RA =1,7кН, RВ =1,7кН. Как видим, значение реакций при наличии зазора уменьшается.

Раздел 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ

При выполнении расчѐтов на прочность и жѐсткость необходимо знать положение главных центральных осей поперечного сечения и значения моментов инерции сечения относительно этих осей. Эти моменты инерции называются главными центральными моментами инерции и являются важнейшими геометрическими характеристиками сечения.

Сечения реальных конструкций часто состоят из нескольких отдельных элементов (или частей), в качестве которых могут быть как простые геометрические фигуры (чаще всего используются прямоугольник, круг, части круга, разные треугольники), так и прокатные профили (двутавр, швеллер, равнополочный и неравнополочный уголок и др.). Такие сечения называют

55

сложными или составными. С другой стороны, составные сечения могут быть симметричными и несимметричными. Отсюда возникла потребность научиться вычислять геометрические характеристики для четырѐх типов сечений: в этом разделе рассматривается вычисление геометрических характеристик симметричных и несимметричных сечений, составленных из прокатных профилей и простых фигур.

Задача 8. Вычисление геометрических характеристик симметричных сечений из прокатных профилей.

Задача 9. Вычисление геометрических характеристик симметричных сечений из простых фигур.

Задача 10. Вычисление геометрических характеристик несимметричных сечений из прокатных профилей.

Задача 11. Вычисление геометрических характеристик несимметричных сечений из простых фигур.

Цель этих задач − освоение методики вычисления главных моментов инерции для плоского сечения любой конфигурации и нахождения для него главных осей сечения.

При решении для сечения выбирают удобные оси координат, в которых выполняют необходимые расчѐты. Координатные оси называют центральными, если они проходят через центр тяжести площади; и главными центральными, если центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. По ходу решения необходимо иметь координаты центра тяжести, площадь сечения, центральные моменты инерции как каждого элемента, так и всего составного сечения.

Осевые и центробежный моменты инерции как отдельного элемента так и всего сечения относительно любых осей х и у выражаются соответственно интегралами (рис. 2.1, а)

где х и у - текущие координаты элементарной площадки dF во взятой системе координат (х, у). Интегрирование ведѐтся по площади F. Собственно по (2.1) и получены формулы геометрических характеристик сечений простой формы (прямоугольника, треугольника, круга и др.), которые можно найти в справочниках. Геометрические характеристики элементов в виде прокатных профилей (уголков, швеллеров, двутавров) вычислены также интегрированием согласно (2.1), и полученные значения даны в таблицах ГОСТа.

56

в

Рис. 2.1

Зная моменты инерции каждого i-го элемента I yi , I xi , I xi yi относительно

его собственных осей (хi, уi), можно вычислить центральные моменты инерции всего сечения I yc , I xc , I x cyc относительно центральных осей сечения (хс, ус),

используя изменение моментов инерции элементов при параллельном смещении осей:

где аi и bi — расстояния между соответствующими осями. На рис. 2.1, б показаны центр тяжести Сi и центральные оси (хi, уi) для i-го элемента и также центр тяжести С и центральные (хс, ус) оси всего заданного сечения.

При вычислении моментов инерции сечения относительно любых осей (u, v), повернутых на некоторый угол α по отношению к первоначальным (хc, уc), используют соотношения (рис. 2.1, в):

57

Пользуясь последней формулой из (2.3), можно найти положение главных центральных осей сечения (u, v), т е. тех осей, для которых

Главные центральные оси обозначают как (u, v), и главные центральные моменты инерции сечения называют Iu, Iv, их значения можно найти по (2.3), используя тригонометрические функции угла α0. Или для вычисления главных центральных моментов инерции сечения Iu, Iv можно использовать следующую

В формуле (2.5) знак плюс «+» перед радикалом относится к величине

Imax, знак «-» к величине Imin.

Ниже приведены решения названных задач.

Условие задач по разделу геометрических характеристик сечений

Плоское составное сечение задано схемой, на которой показаны элементы сечения и их расположение. В качестве элементов использованы простые геометрические фигуры (прямоугольник, круг, части круга, разные треугольники) и прокатные профили (двутавр, швеллер, равнополочный и неравнополочный уголок).

Необходимо вычислить главные моменты инерции заданного сечения и определить положение главных осей сечения.

Для вычисления главных моментов инерции Imax, Imin и для нахождения угла наклона главных осей (u, v) используются формулы (2.4) и (2.5), в

58

которые входят неизвестные площадь и центральные моменты инерции сечения.

Чтобы вычисление было чѐтким, последовательным и обоснованным требуется последовательно выполнить следующие пункты.

1.Вычертить сечение в масштабе, разбить его на отдельные элементы,

для каждого из них провести собственные оси (xi, yi), записать значения площади Fi, осевых Ixi, Iyi и центробежного Ixiyi моментов инерции.

2.Определить положение центра тяжести (точки С) всего сечения, нанести его на сечение, провести центральные оси сечения (xс, yс).

3.Вычислить значения центральных моментов инерции всего сечения Ixс,,

Iyс, Ixсyс.

4. Определить положение главных осей всего сечения (u, v), нанести оси на чертѐж сечения и вычислить значения главных моментов инерции Imax, Imin, указать оси максимального и минимального моментов инерции в тексте и на чертеже сечения.

Задача 8. Вычисление геометрических характеристик симметричных сечений из прокатных профилей

Дана схема плоского симметричного сечения (рис. 2.2, а), составленное из прокатных профилей. Выполним расчѐты для швеллера №27 и двух уголков неравнополочных №12,5/8 с толщиной полки t=8мм (рис. 2.2, б).

Решение:

В этой задаче определяем положение главных осей всего сечения (u, v) и вычисляем значения главных моментов инерции Imax, Imin для симметричного сечения, составленного из прокатных профилей. Эта особенность сечения учитывается в расчѐте.

1. Выполнение чертежа сечения

Исходными данными для расчѐта являются: количество n профилей в сечении; вид каждого профиля, его расположение и геометрические размеры. Каждый профиль характеризуются площадью Fi, положением центра тяжести (точки Сi) и моментами инерции относительно собственных центральных осей: осевыми Ixi, Iyi и центробежным Ixiyi. Эти значения для прокатных профилей заданы в таблицах ГОСТa, для удобства решения задач они приведены в табл. 4-6 Приложения данного пособия.

Сечение (рис. 2.2, а) состоит из 3-х профилей: швеллера №27 и двух неравнополочных уголков №12,5/8 с толщиной полки t=8мм. Говорим, что сечение состоит из 3-х элементов. Присвоим им индексы i = 1, 2, 3. Сначала

59

а ─ Заданная схема составного сечения

б ─ Чертѐж всего составного сечения

Рис . 2.2

выпишем необходимые значения для профилей. Следует заметить, что необходимо учитывать расположение профиля.

Для наглядности изобразим элементы сечения отдельно (рис. 2.3, в, г), нанесѐм центры тяжести каждого и обозначим их как Сi , через точки Сi проведѐм собственные оси каждого элемента (xi, yi).

Для 1-го элемента (швеллера №27): по ГОСТ 8240-93 (см. табл. 5 Приложения данного пособия) высота h=270мм, ширина полки b=95мм,

60