Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

толщина стенки s=6мм, толщина полки t=9,8мм, площадь F1=35,2см2, осевые моменты Ix1=262см4, Iy1=4160см4, центробежный момент Ix1y1=0, расстояние до центра тяжести zo=2,47см.

Для 2-го и 3-го элементов (уголков неравнополочных №12,5/8 с толщиной полки t=8мм): по ГОСТ 8510-97 (см. табл. 7 и 8 Прил.) ширина большей полки В=125мм, ширина меньшей полки b=80мм, толщина полок s=8мм, площадь F2=16см2, с учѐтом расположения профилей осевые моменты Ix2=81см4, Iy2=255,6см4, центробежный моменты Ix2y2= -84,1см4, расстояния x0=1,84cм, y0=4,04cм. Для 3-го элемента имеем те же значения, только знак

где xi и yi - координаты центра тяжести i-го элемента (точки Сi) во вспомогательных (исходных) осях, которые выбирают исходя из удобства вычислений. Такими осями (рис. 2.2, б) принимаем оси 1-го элемента (x1, y1).

Запишем во вспомогательных осях (x1, y1) координаты центра тяжести каждого элемента:

C1 0;0 , C2 17,54; , C3 17,54; .

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии ‒ ось y1, центр тяжести такого составного симметричного сечения находится на оси симметрии, значит, xс =0, и нужно найти только координату yс. Эту координату запишем по (2.6) при i=3 и выполним вычисление:

В итоге получаем координаты центра тяжести всего сечения:

С(xc, yc)= C 0;2,05 .

Откладываем на чертеже сечения расстояние yc =2,05см от оси x1 вверх по оси y1, обозначаем точку С (рис. 2.2, б) и проводим центральные оси всего сечения (xc, yс).

3. Вычисление центральных моментов инерции

61

Для вычисления центральных моментов инерции всего сечения Ixс, Iyс,, и используем формулы (2.2), в которые входят геометрические

характеристики элементов, записанные выше:

Здесь ai и bi – расстояния между центральными осями i-го элемента и всего сечения, которые определим согласно чертежу сечения как разности соответствующих координат центра тяжести i-го элемента и центра тяжести всего сечения:

вследствие симметрии равен нулю, в чѐм можно убедится при подстановке соответствующих величин, т. е. Ixсyс=0.

4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции

Так как центробежный момент инерции Ixсyс равен нулю, то это означает, что центральные оси всего сечения (xс, yс) есть главные оси (u, v), и центральные моменты инерции сечения есть главные моменты инерции. Укажем значения главных моментов инерции Imax, Imin:

62

Следует заметить, что окончательно указывают в ответе и используют для дальнейших вычислений в инженерных расчѐтах значения с 3-мя или 4-мя значащими цифрами, это соответствует достаточной точности (от 1% до 0,1%). Поэтому можно записать, учитывая 4-е значащие цифры,

При нагружении данного сечения желательно, чтобы нагрузка при изгибе шла по оси минимального момента инерции − по оси xс.

Задача 9. Вычисление геометрических характеристик симметричных сечений из простых фигур

Для заданного схемой симметричного плоского сечения из простых фигур вычислить главные моменты инерции и определить положение главных осей сечения.

Решение:

1-й вариант схемы сечения: сечение, имеющее две оси симметрии.

Дано плоское симметричное сечение (рис. 2.3, а). Значение отрезка равно a=3мм.

Здесь требуется определить положение главных осей (u, v) и вычислить значения главных моментов инерции Imax, Imin для сечения, составленного из простых фигур и имеющего две оси симметрии, что будем использовать при решении.

1. Выполнение чертежа сечения

Рассматриваемое сечение − составное. Используя заданное значение a=3 мм, вычертим сечение в масштабе и проставим числовые значения характерных размеров (рис. 2.3, б). Сечение можно представить состоящим из следующих простых фигур: прямоугольника высотой 4а =12мм и шириной 3а =9мм и двух вырезов в виде полукругов диаметром 2а=6мм, т. е. составное сечение разложим на отдельные элементы (или фигуры). Присвоим им индексы i = 1, 2,3 (рис. 2.3, б). Изобразим эти элементы отдельно, нанесѐм их центры тяжести Сi и через точки Сi проведѐм собственные оси каждого элемента (xi, yi) (см. рис. 2.3, в, г). Заметим, что центр тяжести полукруга удалѐн от диаметра (см. табл. 10 Прил.) на расстояние, равное

0,424r 0,424 3 1,272 1,27 мм.

Оси элементов перенесѐм на составное сечение (рис. 2.3, б).

63

Рис. 2.3

2. Определение положения центра тяжести

Так как сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести всего сечения (точка С) находится на их пересечении − в точке С1, через эту точку и проходят центральные оси всего сечения, назовѐм их как xс и yс. Если за вспомогательные оси координат взять оси (x1, y1), то координаты центра тяжести всего сечения равны нулю: xс=0, yс=0, т. е. С(xc, yc)= C 0; 0 . Укажем

во вспомогательных осях (x1, y1) координаты центра тяжести каждой фигуры:

64

C1 0;0 , C2 3,23; , C3 3,23; . 3. Вычисление центральных моментов инерции

Для вычисления центральных моментов инерции всего сечения Ixс, Iyс,, Ixсyс используем формулы (2.2), в которые входят геометрические характеристики элементов: площадь Fi, осевые Ixi, Iyi и центробежный Ixiyi моменты инерции относительно собственных осей элементов (xi, yi). Эти значения получим по формулам, представленным в табл. 10 (см. Приложение). Необходимо сделать следующее примечание: для отверстий площадь и моменты инерции считаем отрицательными. В нашем примере отверстиями являются полукруги, для них площадь и моменты инерции принимаем со знаком « - ».

Вычислим геометрические характеристики элементов (фигур). Для 1-й фигуры (прямоугольника) получим

Теперь, используем (2.2), где расстояния между осями запишем по (2.7) как ai=yi - yc, bi=xi - xc, и вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения. Осевой момент инерции относительно оси xc

Ixc Ix1 y1 yC 2 F1 Ix 2 y2 yC 2 F2 I x3 y3 yC 2 F3

1296 0 2( 31,8 0) 1232 мм4,

Осевой момент инерции относительно оси yc

65

рассматриваемого симметричного составного сечения принимает ноль: Ixсyс=0.

4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции

Так как центробежный момент инерции Ixсyс равен нулю, то это означает, что центральные оси всего сечения (xс, yс) есть главные оси (u, v), и центральные моменты инерции сечения есть главные моменты инерции. Укажем значения главных моментов инерции Imax, Imin:

Imax Ixc 1232 1230 мм4, Imin Iyc 561мм4.

При нагружении данного сечения желательно, чтобы нагрузка при изгибе шла по оси yс как оси минимального момента инерции.

2-й вариант схемы сечения: сечение, имеющее одну ось симметрии.

Дана схема плоского симметричного сечения (рис. 2.4, а). Значение отрезка равно a=3 мм. При решении задачи требуется выполнить те же пункты, что и в 1-ом варианте схемы сечения.

Решение:

Здесь также, как в 1-м варианте задачи 9, требуется определить положение главных осей (u, v) и вычислить значения главных моментов инерции Imax, Imin для сечения, составленного из простых фигур, но в отличии от 1-го варианта сечение имеет только одну ось симметрии.

1. Выполнение чертежа сечения.

Используя заданное значение a=3мм, вычертим сечение в масштабе и проставим числовые значения характерных размеров в миллиметрах (рис. 2.4, б). Рассматриваемое сечение составное. Его можно представить состоящим из двух простых фигур: прямоугольника высотой h1=15мм и шириной b1=12мм и выреза в виде равнобедренного треугольника высотой h2=9мм с длиной основания b2=6мм. Присвоим им индексы i = 1, 2.

66

Изобразим эти элементы отдельно (рис. 2.4, в, г), нанесѐм центры тяжести каждого как С1 и С2 и через эти точки проведѐм собственные оси каждого элемента (x1, y1) и (x2, y2). Заметим, что центр тяжести треугольника удалѐн от основания на 3мм (см. табл. 10 Прил.).

Оси элементов перенесѐм на составное сечение (рис. 2.4, б).

Рис. 2.4

2. Определение положения центра тяжести

Так как сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести всего сечения находится на имеющейся оси симметрии ‒ на оси yс. Если за вспомогательные оси координат взять оси (x1, y1), то абсцисса центра тяжести всего сечения xc=0. Для определения положения центра тяжести С(xс; yс) всего

67

сечения нужна вторая координата этой точки yс. Вычислим необходимое значение yс.

Сначала укажем во взятых вспомогательных осях (x1, y1) координаты центров тяжести элементов С1 и С2:

C1(x1, y1) = C1(0; 0), C2(x2, y2) = C2(0; -1,5).

Вычислим площади фигур:

F1 12 15 180 мм2, F2 9 6 27 мм2. 2

Теперь по (2.6) найдѐм значение yс:

Получаем координаты центра тяжести всего сечения: С(xс; yс) = С(0; 0,265).

Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения (рис. 2.4, б).

3. Вычисление центральных моментов инерции

Для вычисления центральных моментов инерции всего сечения Ixс, Iyс,, Ixсyс используем формулы (2.2), в которые входят геометрические характеристики элементов: площадь Fi, осевые Ixi, Iyi и центробежный Ixiyi моменты инерции относительно собственных осей элементов (xi, yi). Эти значения получим по формулам, представленным в табл. 10 Приложения. Придерживаемся правила: для отверстий площадь и моменты инерции считать отрицательными. В нашем примере отверстием является треугольник, для него площадь и моменты инерции принимаем со знаком «-».

Вычислим геометрические характеристики элементов (фигур). Для 1-го элемента (прямоугольника) получим

68

Теперь, используя (2.2), в которые подставим расстояния между осями по (2.7) как ai=yi-yc, bi=xi - xc., запишем формулы осевых и центробежного моментов инерции всего сечения в виде:

Подсчитаем значения осевых моментов:

Как видно по формуле центробежного момента инерции Ixсyс, для рассматриваемого симметричного составного сечения он равен нулю: Ixсyс=0.

4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции

Так как центробежный момент инерции Ixсyс равен нулю, то это означает, что центральные оси всего сечения (xС, yС) есть главные оси (u, v), и центральные моменты инерции сечения есть главные моменты инерции. Укажем значения главных моментов инерции Imax, Imin:

Здесь в окончательном ответе можно написать значения с 3-мя значащими цифрами.

При нагружении данного сечения желательно, чтобы при изгибе нагрузка шла по оси yс как оси минимального момента инерции.

69

Задача 10. Вычисление геометрических характеристик несимметричных сечений из прокатных профилей

Задана схема несимметричного сечения из прокатных профилей.

Решение:

1-й вариант: сечение из 2-х профилей

Рассмотрим несимметричное сечение, составленное из двутавра №27 и неравнополочного уголка №20/12,5 с толщиной полок t=16мм (чертѐж сечения дан на рис. 2.5).

Вычислим главные моменты инерции и угол наклона главных осей, выполняя последовательно указанные выше пункты.

1. Выполнение чертежа сечения

Сечение состоит из 2-х профилей (или из 2-х элементов): присвоим двутавру индекс i=1 и уголку i=2. Пользуясь таблицами ГОСТа, выпишем в сантиметрах для каждого элемента габаритные размеры и расстояния до центров тяжести, площадь и моменты инерции: для двутавра из ГОСТ 823989, для уголка из ГОСТ 8510-97 (см. табл. 4 и 7 Прил.). При этом нужно учесть расположение элементов и обозначение собственных осей согласно заданной схеме сечения. Для каждого из элементов проводим собственные оси (xi, yi), записываем значения площади Fi, осевых Ixi, Iyi и центробежного Ixiyi моментов инерции.

Для 1-го элемента (уголка №20/12,5 с толщиной полок t=16мм) ширина полок B=20см, b=12,5см, расстояния до центральных осей x0=2,99см, y0=6,71см; площадь F2=49,8см2, осевые и центробежный моменты инерции соответственно Ix2=617см4, Iy2=2026см4 и Ix2y2=2775см4, в последнем используем знак «+» для изображѐнного расположения уголка (см. табл. 8 Прил.).

Для 2-го элемента (двутавра №27) высота h= 27см, ширина полки b=12,5см, площадь F1=40,2см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix1=5010см4, Iy1=260см4 и, как результат симметрии двутавра, Ix1y1=0.

На чертѐже всего сечения, выполненном в масштабе, ставим габаритные размеры и проводим собственные оси элементов (рис. 2.5).

2. Определение положения центра тяжести

Для определения центра тяжести всего сечения используем формулы (2.6). За исходные оси возьмѐм центральные оси 2-го элемента (x2, y2) и укажем в этих осях координаты центров тяжести профилей С1 и С2, по чертежу найдѐм координаты 1-го элемента:

x1=12,5/2=6,25 y1=27/2+2,99=16,49.

Тогда C2(x2, y2) = C2(0; 0), C1(x1, y1) = C1(6,25;16,49),

70