Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

проектный, когда определяют достаточные размеры поперечного сечения балки;

проверочный, при котором вычисляют напряжения и сравнивают с допускаемыми;

определение нагрузочной способности, когда находят допускаемые значения внешней нагрузки.

Эпюра ζ Эпюра η

а

б

в

=

г

Рис. 4.4

121

В задачах КР и РГЗ на плоский изгиб предлагается выполнить все три вида расчѐтов на прочность.

Для балочных конструкций элементов машин и механизмов часто деформации имеют решающее значение для оценки работоспособности, поэтому требуется освоить методику вычисления перемещений.

При прохождении первой части сопротивления материалов изучается метод начальных параметров, который является универсальным для балок, так как по этому методу вычисляют перемещения (прогибы и углы поворота сечений) для любой балки. Его предлагается использовать в задачах при оценке жѐсткости балок. По методу начальных параметров прогиб y и угол поворота θ сечений балки вычисляется как

Значения прогибов y и углов поворота θ обратно пропорциональны величине EI x , которая зависит от вида материала и геометрических размеров

сечения. Величину EI x называют жѐсткостью сечения при изгибе.

Рис. 4.5

Для правильного применения этих формул метода начальных параметров следует указать следующие правила (рис. 4.5).

1) Начало координат нужно расположить либо на левом, либо на правом

122

конце балки; и оставлять его там для всех участков балки. Значит, расстояние z до рассматриваемого сечения нужно отсчитывать от края балки, принятого за начало отсчѐта.

2)Всегда для любой балки а − расстояние до сосредоточенного момента, b − до сосредоточенной силы, с и d − до начала и конца распределѐнной нагрузки.

3)Силы и моменты учитывают со знаком «+», если изгибающий момент от них положителен.

4)При наличии распределѐнной нагрузки, не доходящей до второго края балки, продолжить еѐ до конца штриховыми линиями и добавить компенсирующую (противоположно направленную), которую изображают также штриховыми линиями;

5)В выражениях перемещений учитывается нагрузки, расположенные между началом координат и рассматриваемым сечением, в числе внешних нагрузок учитывают и реакции опор.

123

При вычислении сначала записывается выражение перемещений по (4.6) для определѐнного сечения с соответствующим значением z. В это выражение входят пока неизвестные начальные параметры θ0 и y0 , которые для балки

являются углом поворота и прогибом в начале координат, т. е. в начале балки (поэтому они называются начальными параметрами). Их значения находят, используя условия опирания балок – это граничные условия балок (рис. 4.6). Если в начале координат расположена заделка, то, очевидно, что начальные параметры равны нулю: y0 0, θ0 0 , поэтому рекомендуем для консолей

начало координат помещать в заделке.

Если в начале координат расположена шарнирная опора, угол поворота в начале координат не равен нулю θ0 0 , а начальный прогиб y0 0. Для

определения 0 используем условие опирания на правой опоре: записываем

выражение прогиба для второй опоры и приравниваем его нулю yВ=0. Прогибы, происходящие вверх, получат при вычислении знак «+» и

считаются положительными. Углы поворота положительны и имеют знак «+», если поворот сечений осуществляется против хода часовой стрелки.

В целях обеспечения нормальной эксплуатации изгибаемых элементов (балок) проводят проверку на жѐсткость по условию жѐсткости:

недостаточна, то необходимо подобрать другое сечение, используя условие

(4.7).

При исследовании работы балочных элементов часто возникает необходимость дополнительного исследования напряжѐнного состояния. Для этого сначала требуется провести анализ нормальных и касательных напряжений, возникающих в опасном сечении балки, что возможно, если известно распределение напряжений по высоте сечения. Например, для ряда сечений эпюры напряжений представлены на рис. 4.4. Как видно по эпюрам, имеются точки, в которых возникают только нормальные напряжения, или только касательные, либо одновременно и нормальные, и касательные. Оценка прочности в этих точках выполняется по различным условиям.

Вточках, где возникают только нормальные напряжения, т. е. имеем линейное напряжѐнное состояние (линейное НС), условие прочности (4.4) полностью характеризует прочность этих точек.

Вточках, расположенных на оси балки, возникают только касательные напряжения , это НС сдвига (частный случай плоского НС), при котором

124

главные, как известно, направлены под углом 450 к площадкам сдвига и равны + и - . Здесь нужно проверять прочность по касательным напряжениям и по теориям прочности.

В других точках возникают и нормальные и касательные напряжения. Нужно заметить: прокатные профили спроектированы так, что

касательные напряжения в них практически малы, тогда для профилей используют лишь условие прочности по нормальным напряжениям.

Но в ряде случаев изготавливают специальные двутавровые и тавровые балки большой высоты. В них касательные напряжения могут быть значительной величины, и нужно проверять прочность как по нормальным, используя (4.4), так и по касательным напряжениям по условию mах η . При

этом имеются особые точки сечения, которые требуют анализа по теориям прочности (см. ниже).

Как показали исследования, также нужно поступать для любых балок (в том числе и прокатных) в следующих случаях:

1)если имеем короткую балку, в которой из-за небольших моментов нормальные и касательные напряжения соизмеримы;

2)в случае действия сосредоточенных сил, приложенных близко к опорам, когда касательные напряжения имеют значения, тоже соизмеримые с нормальными.

Отметим наличие особых точек в тех сечениях, для которых эпюра η имеет скачкообразное изменение значений: для двутавра, тавра, 2-х швеллеров, П–образного и коробчатого сечения и др. (рис. 4.4). Особые точки

─это те, где полки соединены со стенкой, в них возникают и нормальные и касательные напряжения, соизмеримые по величине (эти точки называют опасными). В них имеем плоское напряжѐнное состояние и нужно учесть влияние на прочность одновременно нормальных и касательных напряжений, что выполняется с помощью теорий (гипотез) прочности. Согласно теориям прочности рассматриваемое объѐмное или плоское напряжѐнное состояние сводится к эквивалентному линейному напряжѐнному состоянию (рис. 4.4, г),

в котором действует эквивалентное нормальное напряжение ζэкв (его

называют расчѐтным, эквивалентным, приведѐнным). Оно сопоставляется с допускаемым при осевом растяжении или сжатии, и условие прочности

записывается в виде ζэкв ζ .

В случае стали, как пластичного материала, рекомендуются III и IV теории прочности, для которых условие прочности имеет вид:

125

где ζ1 , ζ2 , ζ3 − главные напряжения, их определяют через нормальные ζ и касательные η напряжения, возникающие в рассматриваемой точке сечения, с помощью формулы

Здесь надо заметить, что индексы главным напряжениям присваивают после получения их значений, используя закономерность ζ1 ≥ ζ2 ≥ ζ3. При плоском изгибе одно из главных напряжений будет равно 0.

Для балок из хрупкого материала (типа чугуна) рекомендуются II и V (теория Мора) теории прочности, по которым

Отметим, что знание траекторий главных напряжений в ряде случаев необходимы при проектировании и проверке прочности, например, армированных балок. Так арматуру при армировании располагают в направлении растягивающих волокон, а для балок из хрупких материалов проводят дополнительные исследования напряжений, поскольку трещины могут появиться от действия главных растягивающих напряжений.

Чтобы закрепить методику проверки прочности по теориям (гипотезам) прочности, в задачах предусмотрен пункт анализа напряжѐнного состояния (НС) в опасном сечении балки.

Ниже приведены решения следующих задач: Задача 16. Проектный расчѐт консольной балки. Задача 17. Проектный расчѐт двухопорной балки.

Задача 18. Определение несущей способности балки. Задача 19. Проектный расчѐт составной балки. Задача 20. Проверочный расчѐт консольной балки. Задача 21. Проверочный расчѐт двухопорной балки.

126

Задача 16. Проектный расчѐт консольной балки

Для консольной балки (рис. 4.8, а) известна внешняя нагрузка: интенсивность распределѐнной нагрузки q 20 кН/м; сосредоточенная сила

P ql ; сосредоточенный момент M 1,8ql 2 . Длина отрезка l 0,4 м;

Требуется:

1.Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих момен-

тов Mx, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy, Mx. Указать опасное сечение и значение Mxmax.

2.Из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать размеры сечений для двух вариантов:

1-й вариант. Балка стальная. Приняв допускаемое напряжение 200 МПа, подобрать два варианта сечения: а) двутавр; б) два швеллера. Сравнить расход материала и указать экономный вариант.

2-й вариант. Балка из чугуна. Приняв допускаемое напряжение на сжатие с 100 МПа и на растяжение р 40 МПа, подобрать два варианта формы сечения, которые изображены на рис. 4.7. Сравнить расход материала и указать экономный вариант.

3. Для экономных вариантов сечений балки вычислить значения нормальных напряжений max и min, изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ).

4. Вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жесткость при допускаемом прогибе, равном f = 1/400 длины балки. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, то назначить новые размеры сечений.

5. В сечении с Qymax вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100 МПа.

6. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки.

Рис. 4.7

127

а

б

в

г

д

е

ж

з

Рис. 4.8

128

Решение:

1. Построение эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.

Для консольной балки нет необходимости вычислять опорные реакции, так как можно «идти» со свободного края. Используя метод сечений, составим выражения для поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx по участкам балки, вычислим их значения в характерных сечениях и построим эпюры Qy и

M x . При этом используем принятое правило знаков (рис. 4.2): поперечная

сила Q в сечении положительна, если еѐ вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент M в сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной к низу, т. е. растянутые волокна находятся внизу. Балка имеет три грузовых участка.

Рассмотрим 1-й участок (рис. 4.8, б):

M x3 P(3l z3 ) M 2q 2l (l z3 )

экстремальный изгибающий момент, т. е. на эпюре моментов будет экстремум, значение которого необходимо найти.

Вычислим абсциссу z2К сечения K и экстремальный момент M xK в этом сечении. Приравниваем нулю выражение поперечной силы для сечения K :

129

Qy2 P 2qz2K 0 , отсюда найдѐм z2K 2Pq 2qlq 0,5l .

Подставив полученное значение z2К в выражение изгибающего момента на 2-м участке, получаем

M xK ql(l z2K ) 1,8ql2 q(z2K )2 3,05ql2 .

Отложив на эпюре M x в сечении K значение M xK 3,05ql2 , выполняем уточнение кривой M x . Из эпюры M x видно, что опасным является сечение K , в котором M xmax 3,05ql 2 .

2. Подбор размеров сечений

Для стального сечения используем условие прочности по допускаемым напряжениям (4.4), которое для нашего примера получает вид:

I x 350 см4; F 14,7 см2.

Поскольку 2-й вариант стального сечения имеет два швеллера, найдѐм

I x 174 см4; F 10,9 см2.

Сравним расход материала для подобранных сечений: площадь двутавра F 14,7 см2, а двух швеллеров 2· F 10,9 ·2=21,8см2. Видно, что площадь

двутавра значительно меньше площади двух швеллеров, поэтому здесь двутавр более экономичен.

Рассмотрим подбор величины а для балки из чугуна ─ для 2-го варианта балки (рис. 4.7). Для чугуна имеем два значения допускаемого напряжения: на сжатие с 100 МПа и на растяжение р 40 МПа. В этом случае используют два условия прочности (4.5):

130