Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.172.Я73 Ш 42

Печатается по решению редакционно-издательской комиссии при НМС Адыгейского государственного университета

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент кафедры информатики и вычислительной техники Ушхо Д.С.

к.ф.н., доцент кафедры педагогической психологии Юрина А.А.

Л.В. Шелехова Ш 42 Математические методы в педагогике и психологии: в схемах и

таблицах /учебное пособие/: - Майкоп, изд-во АГУ, 2010. – 192 с.

В настоящем учебном пособии представлено многообразие статистических методов в виде упорядочной, логически и иерархически взаимосвязанной системы, отражающей возможности практического применения математических методов и ориентированной на читателя, не имеющего специальной математической подготовки.

Отличительной особенностью учебного пособия является изложение общих теоретических положений по всем темам курса «Математические методы в психоло-

гии и педагогике» в схемах и таблицах, подробные объяснения решения типовых задач. Материал, изложенный в наглядной и доступной форме, позволяет быстро ос-

воить дисциплину.

Пособие может быть рекомендовано студентам психологических и педагоги-

ческих специальностей, обучающихся по программам бакалавриата и магистратуры, аспирантам и преподавателям вузов и средних специальных учебных заведений.

©Адыгейский государственный университет

©Л.В.Шелехова, 2010

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Перед любой наукой, в том числе психологической и педагогической, стоит задача выявления и исследования закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Решение данной задачи предполагает всесторонний анализ данных, что невозможно без использования количественных методов, основанных на использовании математического аппарата. Поэтому изучение элементов прикладной статистики является неотъемлемым компонентом образования на всех уровнях (ступенях) образования.

Знание основных принципов и правил статистических методов позволяет:

–компактно и информативно описывать результаты эксперимента;

–устанавливать степень достоверности сходства и различия исследуемых объектов на основании результатов измерений их показателей;

–анализировать наличие или отсутствие зависимости между различными показателями (явлениями);

–количественно описывать эти зависимости;

–выявлять информативные показатели;

–грамотно проводить анализ и интерпретацию полученных в ходе исследования данных.

Пособие составлено с учетом:

–требований Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по математике для студентов;

–компактности изложения материала с сохранением необходимой строгости, детальной проработкой узловых понятий, алгоритмичностью;

–необходимости развития у студентов практических навыков работы с экспериментальным материалом с целью осознания ее прикладной психологопедагогической направленности математико-статистической подготовки;

–возможности методически правильно произвести обработку экспериментальных данных, сильно не углубляясь в теорию математической статистики.

В учебном пособии даны основные определения и методы статистики. Все теоретические положения и практические рекомендации проиллюстрированы соответствующими примерами прикладного психолого-педагогического характера. Это дает возможность приобщиться обучаемым к решению различных прикладных задач математического моделирования ситуаций и процессов.

За основу пособия принят материал курса «Математические методы в педагогике и психологии», читаемых автором в Адыгейском государственном университете на педагогическом факультете на протяжении рядя лет.

Автор выражает искреннюю признательность рецензентам: А.А.Юриной

иД.С.Ушхо за ряд полезных замечаний, способствовавших улучшению книги.

3

4

5

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

1.1. СУТЬ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Сбор необходимых эмпирических данных об объекте является одной из основных задач, стоящих при проведении психолого-педагогического исследования. Наиболее простым, на первый взгляд, способом сбора данных является сплошное обследование генеральной совокупности.

Генеральная совокупность (ГС) это

множество элементов, составляющих объект исследования

Однако применение сплошного обследования не всегда представляется возможным. В этом случае применяется выборочное обследование. Суть выборочного метода заключена в том, что обследованию подвергается только часть элементов ГС, которая называется выборочной совокупностью (ВС) или вы-

боркой.

это

Выборочная совокупность (ВС) или выборка

подмножество генеральной совокупности

это

Репрезентативность выборки

способность выборки адекватно представлять (репрезентировать) характеристики генеральной совокупности

Различают два вида выборочной совокупности (выборки): независимые (несвязанные) и зависимые (связанные). Если исследования проводятся на одной и той же группе респондентов, то выборки в данном случае считаются зависимыми.

ВИДЫ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

6

Выборка называется случайной, если при извлечении выборки объема n все возможные комбинации из n элементов, которые могут быть получены из генеральной совокупности объема N, имеют равную вероятность быть извлеченными. Различают повторную и бесповторную выборку. При повторном отборе каждый выбранный элемент возвращается в ГС. При бесповторном отборе выбранный элемент не возвращается в ГС. Отбор называют простым случайным, если объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

Способы практической реализации случайной выборки

Выборка элементов, не требующая расчленения генеральной совокупности

простой случайный бесповторный отбор

простой случайный повторный отбор

Выборка элементов, при которой генеральная совокупность разбивается на части

При стратифицированном отборе в начале генеральная совокупность по како- му-либо признаку разбивается на страты (группы). Далее уже в этих выделенных стратах проводится случайная выборка, которая может быть пропорцио-

нальной объему страты, так и непропорциональной ей.

Механическая выборка предполагает отбор элементов из генеральной совокупности через равные промежутки. Этот промежуток называется шагом выборки:

шег N . Начало отбора выбирается случайным образом в пределах шага вы- n

борки. Например, если шаг выборки равен 20, то начинать отбор надо с любого числа от 1 до 20.

Серийный отбор используется, когда объекты отбираются из генеральной со- вокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному об-

следованию. 1.2. ИЗМЕРЕНИЯ И ШАЛЫ

7

Измерение это

отображение выборки на числовое множество

В процессе научного исследования у эмпирического объекта при помощи чисел фиксируется степень выраженности изучаемого свойства (свойств).

это

Признак

Числовая характеристика выраженности свойств

это

Шкала

правило, по которому в процессе измерения каждому изучаемому объекту ставится в соответствие некоторое число

С. Стивенс предложил четыре вида шкал измерения: номинативную, порядковую, интервальную и отношений, на основе тех математических преобразований, которые допускаются каждой шкалой.

это

Номинативная (наименований) шкала

правило, по которому в процессе измерения каждому изучаемому объекту ставится в соответствие некоторое число, позволяющее отличать различные свойства или признаки

Свойства номинативной шкалы

1имеет только качественные (категориальные, неколичественные) значения

2не имеет ни абсолютной, ни относительной начальной точки отсчета

3не имеет базовой единицы измерения

4не имеет интервалов

5учитывает только одно свойство чисел - то, что это различные символы

6единственными типами отношений между неколичественными значениями шкалы может быть равенство одинаковых значений переменных величин, соответствующих объектам одной категории или неравенство разных значений переменных величин, соответствующих объектам одной категории

7категориальные, неколичественные значения шкалы не имеют порядков (рангов) и не могут быть упорядочены

8любые арифметические операции со значениями переменных именованных числами, полученных с помощью номинативной шкалы, не имеют смысла

9по выборочным данным могут быть подсчитаны количество отдельных значений номинативной переменной и их относительные частоты

10единственной характеристикой распределения выборочных значений номинативной переменной является оценка модой положения центра распределения

8

Пример. Группе студентов предложено выбрать один из трех предметов: «математику», «русский язык», «информатика», который, по их мнению, является самым сложным для изучения. При этом студентам, выбравшим предмет «математика», ставилось в соответствие число «1», «русский язык» - число «2», «информатику» - число «3». При этом числа не имеют количественного значения, а только обеспечивают группировку респондентов в классы, идентичные в отношении определенного признака.

это

Порядковая шкала

правило, по которому в процессе измерения каждому изучаемому объекту ставится в соответствие некоторое число, позволяющее расположить измерительные признаки по рангу – от самого большого до самого маленького или наоборот

Свойства порядковой шкалы

1не имеет определенной количественной меры

2не имеет ни абсолютной, ни относительной начальной точки отсчета

3не имеет базовой единицы измерения, то есть значения, интервалы шкалы имеют размеры, но они не определены

4единственными типами отношений между неколичественными значениями шкалы могут быть:

аравенство одинаковых значений порядковых переменных величин, соответствующих объектам одной категории

бнеравенство разных значений переменных величин, соответствующих объектам одной категории

5арифметические операции со значениями переменных, именованных числами, полученными с помощью порядковой шкалы, не имеют смысла, то есть при сравнении признаков друг с другом мы можем определить, больше или меньше выражено свойство, но нельзя сказать, насколько или во сколько раз больше или меньше оно выражено

6по выборочным данным, полученным с помощью порядковой шкалы, могут быть подсчитаны количество отдельных значений порядковой переменной в выборке и их относительные частоты, медиана и интеркварти́льный размах

Пример. Шкала порядка может применяться для ранжирования респондентов: 1) по индивидуальным чертам личности; 2) по успехам в учении; 3) по физическим данным; 3) по ученым степеням и званиям и т. д.

Например, пятибалльная шкала оценок, используемая в школьной практике, является порядковой шкалой, так как интервалы между отдельными показателями данной шкалы не отражают разрыва между реальными результатами, то есть отсутствует равномерность распределения между выставляемыми отметками. Нельзя сказать, что различие между отметками «1» и «2» столь же велико, как между «3» и «4» или «4» и «5». В данном случае можно судить лишь о том, что один ученик подготовился лучше другого, по опрашиваемой теме. И признак в оценке знаний отражен в цифровой отметке. Так как шкала оценок является порядковой шкалой, то нельзя вычислять на основании отметок среднюю арифметическую величину, то есть выводить среднюю оценку.

9