Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

ГЛАВА 3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

3.1. КРИТЕРИЙ РОЗЕНБАУМА

позволяет определить

Критерий Розенбаума

степень различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного

Критерий Розенбаума включает следующие этапы:

1Определить признак, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже порядковой шкалы).

2Произвести выборку двух групп респондентов, учитывая что:

2.1в каждой из выборок должно быть более 10 испытуемых;

2.2объёмы выборок должны примерно совпадать;

2.3воспользоваться правилом Е.В. Гублера:

аесли в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 10 наблюдений;

бесли в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 20 наблюдений;

весли в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5 – 2 раза.

3Провести две серии наблюдений на двух независимых выборках респондентов объема n1, и n2:

x1,x2,…xi,…xn1 ; y1, y2,…,yj,…, yn2 ,

где случайная переменная х характеризует состояние изучаемого свойства в одной из рассматриваемых совокупностей, а случайная переменная у — состояние того же свойства во второй совокупности.

4Диапазоны разброса значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой.

5Сформулировать гипотезы:

H0 Уровень признака в первой выборке не превышает уровня признака во второй выборке.

H1 Уровень признака в первой выборке превышает уровень признака во выборке.

6Упорядочить значения признака отдельно в каждой выборке по степени возрастания (или убывания).

7Выборку, значения в которой выше, принять за первую, а выборку, значения которой ниже, – за вторую.

42

8Определить максимальное значение во второй выборке.

9Подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые выше максимального значения во второй выборке. Обозначить полученную величину как S1.

10Определить минимальное значение признака в первой выборке.

11Подсчитать количество значений во второй выборке, которые ниже минимального значения первой выборки. Обозначить полученную величину как S2.

12Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Qэмп = S1+S2 (чем больше расхождения между выборками, тем больше величина Qэмп).

13Определить критические значения Q1кр и Q2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1%, по таблице № 1 приложения для данных n1 и n2 (при n1, n2>26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Qкр=8).

14Расположить эмпирическое значение критерия Qэмп и критические значения Q1кр и Q2кр на оси значимости.

15Если Qэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если Qэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если Qэмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

16Если критерий Розенбаума не выявляет достоверных различий, то из этого не следует, что их в действительности нет. В этом случае необходимо применить критерий Фишера.

Пример. На выборке из 26 человек (подростков 16 лет, поставленных на учет в детскую комнату милиции) проведено исследование потенциала коммуникативной импульсивности. Из них было 14 юношей и 12 девушек. Показатели потенциала коммуникативной импульсивности представлены в таблице.

43

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню потенциала коммуникативной импульсивности?

Сформулируем гипотезы:

H0: Девушки 16 лет, поставленные на учет в детской комнате милиции, не превосходят юношей данной категории по уровню потенциала коммуникативной импульсивности.

H1: Девушки 16 лет, поставленные на учет в детской комнате милиции, превосходят

44

Qэмп > Qкр , как для p≤ 0,05, так и для p≤ 0,01, поэтому H0 отклоняется. Согласно критерию Розенбаума можно утверждать, что девушки 16 лет, поставленные на учет в детской комнате милиции, превосходят юношей данной категории по уровню потенциала коммуникативной импульсивности.

3.2. КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ

позволяет определить

Критерий Манна-Уитни

степень различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака

Критерий Манна-Уитни включает следующие этапы:

1Определить признак, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже порядковой шкалы).

2Провести две серии наблюдений на двух независимых выборках респондентов объема n1, и n2:

x1, x2,…xi,…xn1 ; y1, y2,…,yj,…, yn2 ,

где случайная переменная х характеризует состояние изучаемого свойства в одной из рассматриваемых совокупностей, а случайная переменная у – состояние того же свойства во второй совокупности (в каждой из выборок должно быть более трех испытуемых или в одной выборке более одного испытуемого, а в другой более пяти испытуемых).

3Диапазоны разброса значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой.

4Сформулировать гипотезы:

бНо медиана me( x) равна медиане me( y );

Н1 медиана me( x) не равна медиане me( y ).

5Упорядочить значения признака отдельно в каждой выборке по степени возрастания (или убывания).

6Выборку, значения в которой выше, принять за первую, а выборку, значения которой ниже, - за вторую.

7Упорядочить значения признака обеих выборок вместе по степени возрастания (или убывания).

45

8Проранжировать значения признака в объединенной выборке (всего рангов должно получиться n1+n2).

9Разбить объединенную выборку на две первоначальные выборки.

10Подсчитать сумму рангов отдельно по каждой выборке.

11Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

12Определить большую из двух ранговых сумм.

где n1 – количество испытуемых в первой выборке; n2 – количество испытуемых во второй выборке; Tx – большая из двух ранговых сумм;

nx – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов. Эмпирическое значение критерия Uэмп отражает, насколько велика зона совпадения между рядами, поэтому чем меньше Uэмп , тем более вероятно, что различия достоверны.

14Определить критические значения U1кр и U2кр , которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 2 приложения.

15Расположить эмпирическое значение критерия Uэмп и критические значения U1кр и U2кр на оси значимости.

16Если Uэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если Uэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если Uэмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны.

Пример. Группа из 11 студентов первого курса исследовалась относительно уровня сформированности онтогенетической рефлексии. Из них было 4 человека, которые закончили школу с золотой или серебренной медалью и 7 человек, у которых в аттестате были тройки. Показатели уровня сформированности онтогенетической рефлексии представлены в таблице (чем меньше балл, тем выше уровень сформированности онтогенетической рефлексии).

46

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню сформированности онтогенетической рефлексии?

Упорядочим значения в обеих выборках.

По уровню сформированности онтогенетической рефлексии с более высокими показателями является выборка студентов, у которых в аттестате были тройки. На эту выборку приходится большая ранговая сумма: 45,5.

Сформулируем гипотезы:

H0: Студенты, у которых в аттестате были тройки, не превосходят студентов, которые закончили школу с золотой или серебренной медалью, по уровню сформированности онтогенетической рефлексии.

H1: Студенты, у которых в аттестате были тройки, превосходят студентов, которые закончили школу с золотой или серебренной медалью, по уровню сформированности онтогенетической рефлексии.

Вычислить значение Uэмп 4 7 7 (7 1) 45,5 10,5.

2

По таблице № 2 приложения определим Uкр для n1=4, n2=7:

Uэмп находится в зоне значимости, то есть студенты, у которых в аттестате были тройки, превосходят студентов, которые закончили школу с золотой или серебренной медалью, по уровню сформированности онтогенетической рефлексии.

47

3.3. КРИТЕРИЙ КРУСКАЛА-УОЛИСА.

Критерий Крускала-Уолиса предназначен для оценки различий одновременно между несколькими (более двух) выборками по уровню какого-либо признака.

позволяет установить

Критерий Крускала-Уолиса

что уровень признака изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает на направление этих изменений

Критерий Крускала-Уолиса включает следующие этапы:

1Определить признак, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже порядковой шкалы).

2Произвести выборку более двух групп респондентов, учитывая, что при сопоставлении 3-х выборок допускается:

ачтобы в одной из них было три респондента, а в двух других – два (установить различия в данном случаем можно лишь на низшем уровне значимости при p≤ 0,05);

бчтобы в каждой выборке было не менее трех респондентов, или в одной из них было четыре респондента, а в двух других – два (установить различия в данном случаем можно на более высоком уровне значимости при p≤ 0,01).

3Диапазоны разброса значений признака в данных выборках не должны совпадать между собой.

4Упорядочить значения признака отдельно в каждой выборке по степени возрастания (или убывания).

5Упорядочить значения признака всех выборок вместе по степени возрастания (или убывания).

6Проранжировать значения признака в объединенной выборке (общее количество рангов будет равняться количеству испытуемых в объединенной выборке).

7Разбить объединенную выборку на первоначальные выборки.

8Подсчитать сумму рангов отдельно по каждой выборке:

аесли различия между выборками случайны, суммы рангов не будут различаться сколько-нибудь существенно, так как высокие и низкие ранги равномерно распределятся между выборками;

бесли в одной из выборок будут преобладать низкие значения рангов, в другой – средние, а в третьей – высокие, то критерий H – КрускалаУолиса позволит установить эти различия.

9 Сформулировать гипотезы:

Н0 Между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

Н1 Между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

10 Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

48

где N – общее количество испытуемых в объединенной выборке; ni – количество испытуемых в i-той группе;

Ti – суммы рангов по каждой группе.

12Определить критические значения Н1кр и Н2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1%:

аесли рассматриваются три группы (n1, n2, n3 ≤ 5), то находят критические значения и соответствующий им уровень значимости по таблице № 3 приложения;

бесли рассматривается более трех групп или n1, n2, n3 > 5, то находят критические значения χ2 по таблице № 4 приложения. Количество степеней свободы при этом определяется по формуле: df=c-1 (c – количество сопоставляемых выборок).

13Расположить эмпирическое значение критерия Нэмп и критические значения Н1кр и Н2кр на оси значимости.

14Если Нэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если Нэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если Нэмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения

Пример. Была проведена выборка студентов из первого, второго и третьего курсов в количестве шести, восьми и семи человек соответственно для определения у них интегральной самооценки личности. Количественные результаты исследования представлены в таблице.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню интегральной самооценки личности?

Сформулируем гипотезы:

Н0: Между студентами 1, 2 и 3 курсов существуют лишь случайные различия по уровню интегральной самооценки личности.

Н1: Между студентами 1, 2 и 3 курсов существуют неслучайные различия по уровню интегральной самооценки личности.

Упорядочим значения в выборках.

49