Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

.pdf

Скачиваний:

204

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

3.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

это

Эмпирическая функция распределения

функция Fn( x) nx , где n – объем выборки, а nх – число значений Х в вы- n

борке, меньших х

Основное значение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется в качестве оценки функции распределения F(x) = P(X < x).

СВОЙСТВА ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

значения эмпирической функции Fn (x) принадлежат отрезку [0, 1]

если xi – наименьшее наблюдаемое значение, то Fn( x) 0	при х ≤x1;
если xn- наибольшее наблюдаемое значение, то Fn(x) 1 при x > x1
Fn( x) – неубывающая функция

Пример. От каждого факультета на конференцию было делегировано
	следующее

количество студентов: 5, 1, 2, 1, 1, 2, 5, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 2, 1, 5. Построить эмпирическую функцию распределения.

Найдем сначала статистический ряд распределения числа студентов, принявших участие в конференции.

	хi					1				2				4		5		8
	fi						8				3				2		4		1
	fi					18				18				18		18		18
						18				18				18		18		18

Запишем эмпирическую функцию распределения:
		0,				если			х	1;
			8
			8	,				если		1		х		2;
				,				если		1		х		2;
		18
		11		,				если		2		х		4;

			18
F18 ( x )			18
F18 ( x )			13
			13	,				если		4		х	5;
				,				если		4		х	5;
		18
			17
					,			если		5		x	8;
					,			если		5		x	8;
		18
			1,			если			х	8 .
			1,			если			х	8 .

это

Гистограмма выборки

фигура, построенная по данному алгоритму

Разбить область значений Х (непрерывная случайная величина с неизвестной

плотностью вероятности

f ( x)) на интервалы длины hi

): [x0; x1 ), [x1; x2 ),

1;s

[x2; x3 ), ...... [xs-1;xs] (количество интервалов выбирается произвольно, обычно не

меньше 5 и не больше 15)

Обозначить через xi

середины интервалов, а через mi

число элементов выбор-

ки, попавших в указанный интервал

Вычислить оценку плотности вероятности

f( x

в точке xi , если дли-

ны интервалов hi i

) различны,

1;s

или

относительные

частоты

в точке x

, если длины интервалов h

) одинаковы

1;s

f( xi )~

Составить интервальный статистический ряд вида:

Элементы

[x0; x1 )

[x1; x2 )

....

[xk-1;xk]

хi

Относительная частота

....

fi 1

i 1

В прямоугольной системе координат построить прямоугольники с основаниями

h (i

)и высотами

1;s

f (xi ).

Пример. В процессе исследования было зафиксировано время ( в минутч) решения задачи студентами группы «1 А» педагогического факультета: 10, 10, 10, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 20, 24, 30, 30, 35. Постройте таблицу сгруппиро-

ванных частот и гистограмму.

Размах варьирования R xmax xmin 35 10 25. В нашем случае область значений

Х удобно разбить на интервалы hi i (i 1;s )		равной длины – 5 минут.
Номер	Границы интервала	Число элементов вы-	Плотность относи-
интервала		борки, попавших в	тельной частоты
		указанный интервал	f ( xi ) ~	m	i
		mi			i
				ni
				ni
1	[10; 15)	9	0,36

2	[15; 20)	11	0,44

3	[20; 25)	2	0,08
4	[25; 30)	0	0

5	[30; 35]	3	0,12

это

Кумулята распределения (график накопленных частот)

ломанная, отрезки которой соединяют точки (xi, ki) ((xi, fi(cum))), i = 1; m,

где fi(cum) fi , i 1;m - накопительная частота элемента xi.

i 1

Кумулята распределения является графиком, отражающим функцию распределения случайной величины.

Пример. На факультете иностранных языков преподавательский состав характеризуется по стажу работы следующим образом: до 2-х лет - 6 человек, от 2 до 5 - 7, от 5 до 10 - 21 человек, от 10 до 20 - 59 человек, свыше 20 - 16. Постройте таблицу сгруппированных частот и кумулянту распределения стажа работы сотрудников данного факультета.

Номер	Границы	Число элементов	Плотность относи-		Накопительная
интервала	интервала	выборки, попавших в	тельной частоты		частота
		указанный интервал		mi	fi(cum)
		mi	f ( xi ) ~	mi	fi(cum)
		mi	f ( xi ) ~	ni
1	(0; 2]	6	0,055		0,055
2	(2; 5]	7	0,064		0,119
3	(5; 10]	21	0,193		0,312
4	(10; 20]	59	0,541		0,853
5	более 20	16	0,147		1,000

характеризуют

Меры формы распределения

основные черты "внешнего вида" распределения

степень асимметрии относительно центрального значения (скос)

степень крутизны (уплощенности) в сравнении с нормальным распределением (эксцесс)

расположение ключевых точек (квантили).

Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса – А)

характеризует

смещение распределения относительно математического ожидания по величине и направлению

вычисляется по формуле

A xi x 3

n 3

Если полигон асимметричен, то одна из его ветвей, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая. При положительном значении коэффициента распределения более пологий «спуск» полигона наблюдается справа. В противном случае – слева. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. Асимметрия менее 0,5 считается малой (малыми значениями можно пренебречь).

Эксцесс

характеризует

остроконечность (положительное значение) или пологость (отрицательное значение) распределения по сравнению с нормальной кривой

вычисляется по формуле

E xi x4 3 n 4

Эксцесс нормального распределения равен 0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса – более крутой. Отрицательным пределом величины эксцесса является число –2, положительный предел – не существует. На практике для генеральных совокупностей больших объемов малыми значениями эксцесса можно пренебречь.

Пример. Была обследована группа из 20 человек с целью определения у них уровня развития лидерских способностей. Измерения проводились по 10-балльной шкале и представлены в таблице:

№ респондента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
уровень развития	6	3	4	4	5	6	4	6	5	5
лидерских способностей
№ респондента	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
уровень развития	5	1	4	4	4	4	3	5	3	5
лидерских способностей

Провести полный анализ данных можно с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмента «Описательная статистика». В результате данной операции можно получить следующие данные:

Среднее	4,3	Интервал	5
Стандартная ошибка	0,272416	Минимум	1
Медиана	4	Максимум	6
Мода	4	Сумма	86
Стандартное отклонение	1,218282	Счет	20
Дисперсия выборки	1,484211	Наибольший(1)	6
Эксцесс	1,501552	Наименьший(1)	1
Асимметричность	-0,83829	Уровень надежности(95,0%)	0,570173

1.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОШИБКИ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ

ДЛЯ СОБСТВЕННО СЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ

это

Распределение признака

закономерность встречаемости различных его значений

	это		которые
Параметры	это	числовые характеристики	которые
Параметры		числовые характеристики
распределения		признака

указывают расположение «средних» значений признака

степень изменчивости «средних» значений

вероятность появления определенных значений признака

В качестве данных параметров выступают математическое ожидание,
дисперсия,	показатели	асимметрии	и	эксцесса.	Однако	в	психолого-
педагогических исследованиях оперируют не параметрами, а их приближенны-
ми значениями, которые называются оценками параметров. Это обусловлено
тем, что при помощи выборочного метода нельзя получить абсолютно точную
оценку наблюдаемого признака, то есть существует вероятность ошибки.
Ошибка репрезентативности			это
Ошибка репрезентативности
отклонение выборочного среднего значения признака от генерального
	ВИДЫ ОШИБОК РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ
Случайная		это		возникающая	из-за случайной вариа-
Случайная		ошибка,		возникающая	из-за случайной вариа-
(статистическая)		ции значений, так как наблюдается только часть
ошибка		ции значений, так как наблюдается только часть
ошибка		объектов, а не вся генеральная совокупность
		объектов, а не вся генеральная совокупность
С увеличением объема выборки уменьшаются случайные ошибки
Систематическая		это
Систематическая		неконтролируемые перекосы в распределении
	ошибка	выборочных наблюдений
Число респондентов не влияет на величину систематической ошибки

Вычисление ошибки репрезентативности предполагает определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном (неизвестном) значении среднеквадратического отклонения σ этого распределения.

это

Доверительный интервал

интервал, покрывающий неизвестный параметр с заданной надежностью

Поясним на примере смысл, который имеет заданная надежность : если произведено достаточно большое число выборок, то надежность γ=0,95 указывает, что в 95% из них параметр действительно заключен в доверительный интервал; лишь в 5% случаев он может выйти за границы данного интервала.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ИЗВЕСТНОМ σ

дано

найти

количественный признак Х генеральной совокупности распределён нормально

известно среднеквадратическое отклонение σ этого распределения

выборочная средняя x является случайной величиной X , то есть x изменяется от выборки к выборке

выборочные значения признака х1, х2, …, хn отражают одинаково распределённые независимые случайные величины Х1, Х2, …, Хn, то есть математиче-

ское ожидание каждой из этих величин равно М ( X ) = а и среднеквадратиче-

ское отклонение (Х) . n

неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней x

доверительный интервал, покрывающий параметр а с надёжностью γ

решение

Для нахождения доверительного интервала,

покрывающего параметр а с

надёжностью γ, рассмотрим соотношение Р (|

– а| < δ) = γ. Используя фор-

мулу

Р(|Х– а| < δ) = 2Ф

, в которой заменив Х на

и σ на (

), запи-

= 2Ф(t), где t =

шем Р (|

– а| < δ) =2Ф

(число t определяется по

таблице функции Лапласа: находим аргумент t, которому соответствует зна-

чение функции Лапласа, равное Ф(t)=

Из данного равенства выразим

. Тогда Р

Х а

=2Ф(t) или

Р x

a x

= 2Ф(t) = γ.

Таким образом, доверительный интервал

;

покрывает не-

известный параметр а с надёжностью γ.

Из полученного доверительного интервала запишем формулу ошибки

репрезентативности для собственно случайного отбора t .

Для оценки математического ожидания с наперед заданной точностью δ и надежностью γ необходим минимальный объем выборки, который находим

по формуле: n t 2 .

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ σ

Количественный признак Х генеральной совокупности распределён нормально.

дано

Неизвестно среднеквадратическое отклонение σ этого распределения.

Выборочная средняя x является случайной величиной X , то есть x изменяется от выборки к выборке.

Плотность распределения Стьюдента S(t, n). Распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров a и σ.

найти

Доверительный интервал, покрывающий параметр а с надёжностью γ.

По данным выборки строится случайная величина

a (ее воз-

S /

решение

можные значения обозначают через t), имеющая распределение Стьюдента с

k=n–1 степенями свободы. В данном соотношении X - выборочная средняя, S

– «исправленное» среднеквадратическое отклонение, n – объем выборки. Для нахождения доверительного интервала, покрывающего параметр а

с надёжностью γ, воспользуемся тем фактом, что S(t, n) – четная функция от t

и вероятность осуществления неравенства

определяется по фор-

S /

муле P(

X a

S(t,n)dt . Неравенство в круглых скобках можно пре-

t ) 2

S /

образовать

равносильное

ему

двойное

неравенство:

X и S на неслу-

a X

. Заменив случайные величины

чайные величины

и s,

которые можно найти по выборке

xi m i

i 1

ni xi

доверительный интервал

t s

, по-

i 1

найдем

; x

n 1

крывающий неизвестный параметр a c надежностью γ. Используя «Таблицу значений t t( ,n)» по заданным n и γ можно найти tγ.

Из полученного доверительного интервала запишем формулу ошибки

репрезентативности для собственно случайного отбора t s . n

Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 49 человек. Студентам данной выборки был предложен тест. Фиксировалось время выполнения теста. Среднее значение времени по выборке составило 3,9 минут, а среднее квадратическое отклонение - 3 минуты. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а, если задана надёжность оценки γ=0,95.

Найдем t. Из соотношения 2Ф(t)=0,95 получим Ф(t)=0,475. По таблице функции Лап-

ласа находим t=1,96. Найдем точность оценки:	t			1,96 3	0,84.

		n	49

Доверительный интервал: (3,9–0,84; 3,9+0,84) или (3,06; 4,74).

Пример. Пусть была произведена выборка студентов в количестве 784 человек. Средний возраст по выборке - 20 лет, среднеквадратическое отклонение - 2 года. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а, если задана надёжность оценки γ=0,95.

Найдем t. Из соотношения 2Ф(t)=0,95 получим Ф(t)=0,475. По таблице функции Лап-

ласа находим t=1,96. Найдем точность оценки:	t			1,96 2	0,14.

		n	784

Доверительный интервал: (20–0,14; 20+0,14) или (19,86; 20,14).

Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 50 человек. Данные студенты должны были решить задачу несколькими способами. Полученные результаты представлены в таблице.

xi	0	1	2	3	4
mi	5	15	15	5	10

Оценить неизвестное математическое среднее ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Найдем выборочную среднюю и исправленное среднеквадратическое отклонение:

		0 5 1 15			2 15	3 5		4 10		130	2,6 .
	x	0 5 1 15			2 15	3 5		4 10		130
	x				50
					50				50

			5 2,6 2	15 1,6 2			15 0,6 2		5 0,4 2			10 1,4 2
s													89		.
													89	2
							49						49	2
							49						49

Используя «Таблицу значений t t( ,n)» по заданным n и γ найдем tγ=2,009.

	t s
Точность оценки вычислим по формуле:	t s		2,009 2	0,4018.


		n	50

Доверительный интервал: (2,6–0,4018; 2,6+0,4018) или (2,1982; 3,0018).

Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 50 человек. Данные студенты должны были решить тест. Результаты исследования длительности выполнения тестового задания (в минутах) представлены в группированном виде:

ti ;ti 1	[24; 32)	[32; 40)	[40; 48)	[48; 56)	[56; 64)	[64; 72)	[72; 80]
mi	2	4	10	15	11	5	3

Построить доверительный интервал с надежностью 0,99 для средней длительности выполнения тестового задания.

Найдем выборочную среднюю и исправленное среднеквадратическое отклонение:

		28 2 36 4 44 10 52 15			60 11 68 5				76 3		52 ,96 .
	t	28 2 36 4 44 10 52 15			60 11 68 5				76 3
	t	50
		50

s			2 31 2 4 17 2 10 9 2	15 1 2 11 72				5 152			3 232	11,502.
s				49								11,502.
				49
Используя «Таблицу значений				t	t( ,n)» по заданным n и γ найдем
tγ=2,679.
Точность оценки вычислим по формуле:						t s				2,679 11,502			4,357 .
									7,072
							n
							n

Доверительный интервал: (48,603; 57,317).

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.05.201590.11 Кб74Чиркин Три ипостаси государства.doc
#
30.05.201570.14 Кб83Чирков Публичная власть в современном обществе.doc
#
09.11.2019369.66 Кб6чтение и п.doc.doc
#
11.11.201962.46 Кб6ЧТО ТАКОЕ СЦЕНАРИЙ.doc
#
19.08.201925.35 Кб1Шаблоны на лингвистич тему.docx
#
30.05.20153.74 Mб204Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах).pdf
#
30.05.2015738.82 Кб733Шестопалов С.В. – Взаимосвязь домов.DOC
#
30.05.201570.66 Кб139Шестопалов+С.В.+Магия+имен+в+астрологии.doc
#
30.05.2015847.36 Кб271ШестопаловС_АстрологияПрофессий_62с.doc
#
30.05.2015783.87 Кб131ШестопаловС_БизнесАстрология_32с.doc
#
30.05.2015255.79 Кб9Шимширт.rtf