Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

6 На основе полученных результатов составить таблицу вида:

8Определить критические значения χ21кр и χ22кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 4 приложения. Количество степеней свободы при этом определяется по формуле: df k 1 . Если df=1, то внести

поправку на «непрерывность».

9Расположить эмпирическое значение критерия эмп2 и критические значения χ21кр и χ22кр на оси значимости.

10Если эмп2 находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если эмп2 находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если эмп2 находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Пример. Чтобы проверить эффективность нового метода обучения были привлечены две случайно отобранные группы студентов в количестве 29 и 31 человек. Первая группа обучалась по традиционному методу, вторая - по новому методу. По окончанию изучаемого курса им был предложен один и тот же тест, результаты которого представлены в таблице.

70

Проверяется гипотеза Н0: m1=m2 – медианы распределения учащихся по числу баллов, полученных за выполнение работы, одинаковы в совокупностях студентов, обучающихся по традиционному и новому методам. Альтернативная гипотеза Н1: m1 m2 .

Число студентов в двух выборках N=60 — число четное, поэтому медиана равна среднему арифметическому значений, стоящих в упорядоченном ряду на 30-м и 31-м местах. В данном ряду, начиная с 30-го и заканчивая 39-м номером, расположены одинаковые значения, каждое из которых равно 7. Следовательно, среднее арифметическое значений, стоящих

на 30-м и 31-м местах, равно 7 7 7, т. е. медиана равна 7.

2

Распределим значения каждой из выборок учащихся на две категории: больше 7 и меньше или равны 7, и запишем полученные результаты в таблицу, необходимую для подсчета статистики медианного критерия:

Найдем значение статистики критерия эмп2 :

Оснований для отклонения H0 нет, поэтому нет достаточных оснований считать различными медианы распределений студентов по числу баллов в совокупностях студентов, обучающихся по новому и традиционному методам.

Пример. Была проведена выборка абитуриентов. Для каждого респондента выборки определены: а) пол; б) одна из 4 предпочитаемых специальностей. Результаты исследования представлены в таблице.

71

Проверяется гипотеза Н0: предпочтения у юношей и девушек в выборе специальностей совпадают. Альтернативная гипотеза Н1: предпочтения у юношей и девушек в выборе специальностей не совпадают.

Найдем значение статистики критерия эмп2 :

Оснований для отклонения H0 нет, поэтому предпочтения у юношей и девушек в выборе специальностей совпадают.

3.11. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: а) эмпирического с теоретическим; б) одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

позволяет сравнить

Критерий Колмогорова-Смирнова

эмпирическое распределение с теоретическим распределением

Критерий Колмогорова-Смирнова включает следующие этапы:

1Определить признак, который необходимо исследовать (значение признака может быть представлено в любой шкале измерения).

2Провести наблюдения одной выборки респондентов объема n (Объем выбор-

ки должен быть больше 50): x1, x2,…xi,…xn1 ,где случайная переменная X ха-

рактеризует состояние изучаемого свойства в рассматриваемой совокупности.

3Сформулировать гипотезы:

H0 Полученное эмпирическое распределение не отличатся от теоретического распределения.

H1 Полученное эмпирическое распределение отличатся от теоретического распределения.

72

4Результаты измерения объектов выборки записать в ряд по возрастанию.

5Исходные выборочные данные сгруппировать и представить в виде интервального статистического ряд распределения частот (для распределения случайной величины по равномерному закону, для нормального распределения):

.

9Определить критические значения λ21кр и λ 22кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице №13 или №14 приложения.

10Расположить эмпирическое значение критерия эмп и критические значения λ21кр и λ22кр на оси значимости.

11Если эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об

отсутствии различий. Если эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии

различий. Если эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

73

б По каждой выборке на основе абсолютных частот подсчитать накопительные частоты f1 и f2 .

в Вычислить значения эмпирических функций по формулам:

.

5Сформулировать гипотезы:

Н0 Законы распределения случайных величин X и Y одинаковы в обеих рассматриваемых совокупностях.

Н1 Законы распределения случайных величин X и Y различны в обеих рассматриваемых совокупностях.

7Определить критические значения λ1кр и λ2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблицам № 13 или №14 приложения.

8Расположить эмпирическое значение критерия эмп и критические значения λ1кр и λ2кр на оси значимости.

9Если эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об от-

сутствии различий. Если эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии разли-

чий. Если эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Пример. Для того, чтобы показать преимущества разработанной методической системы обучения решению задач относительно традиционной, в качестве одного из показателей эффективности использовались результаты выполнения студентами тестирования. Извлечены две выборки студентов объемами п1= 40 (новая методическая система обучения) и п2= 50 (традиционная система обучения). Результаты выполнения тестирования двух выборок представлены таблице.

75

Требуется проверить гипотезу H0 : число баллов, набранных на тестировании в обеих выборках, подчиняются одному и тому же закону распределенная. При альтернативной гипотезе H1: число баллов, набранных на тестировании, в обеих выборках подчиняются различным законам распределения.

76

эмпнаходится в зоне незначимости. Оснований для отклонения H0 нет, поэтому

число баллов, набранных на тестировании в обеих группах, есть случайная величина, распределенная по одному и тому же закону, следовательно, говорить о преимуществах новой системы обучения относительно традиционной нельзя.

3.12. КРИТЕРИЙ ФИШЕРА

позволяет сравнить

Критерий Фишера

две выборки по частоте встречаемости исследуемого признака

Критерий Фишера включает следующие этапы:

1Определить признак, который необходимо исследовать (значение признака может быть представлено в любой шкале измерения) и критерий, позволяющий однозначно определить наличие и отсутствие проявления данного признака у испытуемых.

2Произвести выборку двух групп респондентов, учитывая что:

33.1 должны соблюдаться следующие соотношения в численности двух выборок:

аесли в одной выборке всего 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30;

бесли в одной из выборок всего 3 наблюдения, то во второй должно быть не менее 7;

весли в одной из выборок всего 4 наблюдения, то во второй должно быть не менее 5;

г при n1 5 и n2 5 возможны любые сопоставления;

3.2выборки могут быть сколь угодно большими.

4Провести две серии наблюдений на двух независимых выборках респондентов объема n1, и n2:

x1,x2,…xi,…xn1 ; y1,y2,…,yj,…, yn2 ,

где случайная переменная х характеризует состояние изучаемого свойства в одной из рассматриваемых совокупностей, а случайная переменная у – состояние того же свойства во второй совокупности.

5Сгруппировать переменные х и у относительно критерия, позволяющего определить «наличие признака» и «отсутствие признака».

77

Значения а и с должны быть отличны от нуля. Если хотя бы одно из них равно нулю, то необходимо воспользоваться другим критерием.

7Сформулировать гипотезы:

Н0 Доля лиц, у которых проявляется исследуемый признак, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

Н1 Доля лиц, у которых проявляется исследуемый признак, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

8Используя таблицу №15 приложения перевести процентные доли d1 и d2в величины центрального d1 и d2 .

10Критические значения φ*1кр=1,64 и φ*2кр=2,18, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1%, имеют фиксированную величину.

11Расположить эмпирическое значение критерия *эмп и критические значения φ*1кр

и φ*2кр на оси значимости.

12Если *эмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. Если *эмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий. Если *эмп находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

13При необходимости по таблице № 16 приложения определить точный уровень значимости для *эмп.

Пример. Исследовалось влияние пола на отрицательное отношение к курению в юношеском возрасте. Для этого была проведена выборка из 60 человек. Данные приведены в таблице.

78

Требуется проверить гипотезу H0 : Доля лиц, которая курит, среди юношей не больше, чем среди девушек. При альтернативной гипотезе H1: Доля лиц, которая курит, среди юношей больше, чем среди девушек.

Используя таблицу №15 приложения перевести процентные доли d1 и d2в величины центрального d1 1,339 и d2 1,036.

φ*1кр=1,64 φ*эм=1,80 φ*2кр=2,28

*эмп находится в зоне неопределенности, есть вероятность принятия ложного решения (необходимо увеличить выборку или воспользоваться другим критерием).

79