Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

Определение значимости уравнения регрессии в целом

F-критерий Фишера

3Определить критические значения F1кр и F2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 23 приложения при df1 k и df2 n k 1.

4Расположить значения критерия Fрасч, критические значения F1кр и F2кр на оси значимости.

5Если Fрасч находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии значимости уравнения регрессии. Если Fрасч находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии значимости уравнения регресии Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии значимости уравнения регрессии. Если Fрасч находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки осуществляется на основе анализа ряда остатков.

Требования к ряду остатков, при которых модель считается адекватной

Уровни ряда остатков имеют случайный характер

Выполняется свойство гомоскедастичности

Математическое ожидание уровней ряда остатков равно нулю

Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга (отсутствие автокорреляции).

Уровни ряда остатков распределены по нормальному закону

121

данным уровнем значимости гипотеза H1 о нормальности распределения отвергается, в противном случае гипотеза H1 принимается.

124

МЕРЫ ТОЧНОСТИ МОДЕЛИ (УРАВНЕНИЯ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ)

Для оценки качества регрессионных моделей используют коэффициент детерминации. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.

Коэффициент детерминации

125

Если установлено, что модель регрессии является адекватной, а параметры модели значимыми, то переходят к построению прогноза.

Прогнозирование в регрессионных моделях это

Построение оценки зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, которых нет в исходных переменных.

ВИДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Пример. Была произведена выборка студентов в количестве 10 человек, которым предложили выполнить тесты, позволяющие определить аналитические и прогностические умения. Полученные результаты представлены в таблице. Необходимо построить уравнение регрессии, оценить его адекватность и точность, сделать выводы.

126

1. Установим наличие или отсутствие тесноты связи между признаками.

Величина коэффициента корреляции свидетельствует о тесной связи между аналитическими и прогностическими умениями.

Значимость коэффициента корреляции проверяется с помощью t-критерия Стьюдента

tэмп находится в зоне значимости, следовательно, значение коэффициента корреляции признается значимым, поэтому можно приступить к нахождению уравнения линейной

Коэффициент регрессии byx 0,6 показывает, что с увеличением показателя степени

аналитических умений на 1 балл показатель степени прогностических умений возрастет на 0,6 балла.

3. Проверка адекватности (значимости) модели.

127

Значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии оценим при помощи t-критерия Стьюдента по формулам:

a

tрасч а Sa ,

b

tрасч b Sb ,

где Sa и Sb - стандартные отклонения свободного члена и коэффициента регрессии.

128

Расчетное значение F-критерий Фишера находится в зоне значимости, следовательно, модель в целом статистически значима.

Для проверки свойства случайности ряда остатков воспользуемся критерием поворотных точек (пиков).

Количество поворотных точек р = 4. Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, то есть с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

по критерию нулевого среднего.

Проверку независимости последовательности остатков осуществим с помощью d- критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

n

i 1

По таблице № 24 приложения определим нижнее d1кр= 0,89 и верхнее d2кр=1,32 критические значения, которые отвечают уровню значимости в 5%.

d находится в зоне неопределенности, поэтому есть вероятность принятия ложного решения.

Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному

R

закону распределения проведем с помощью - критерия, который определяется по форму-

S

ле: R max min 0,6 1 2,91. S S 2,4

8

129