§8. Существование сколь угодно высокой мощности

Теорема 1. Если существует сюрьективное отображение, то.

Доказательство:

Так как f– сюрьективное отображение, то. Берём по одному элементу из, совокупность этих элементов обозначим. Очевидно, что. Следовательно,.

Теорема 2.МножествоТвсех подмножеств непустого множестваМимеет мощность большую, чем мощность множестваМ.

Доказательство:

Пусть М– данное множество,- его подмножество,. Докажем, что. Для этого покажем, что:

1. ;

2. Мне равномощноТ.

1. Пусть - подмножество множестваТ, состоящее из одноэлементных подмножеств множестваМ.Тогда

.

Указанное соответствие является биекцией Мна. Следовательно,

.

Тогда по теореме 1: .

2. От противного.

Пусть . Тогда существует биекция. Для любого элементаимеются две возможности:или. Назовём элемент«хорошим», если, и «плохим», если. Обозначим черезсовокупность всех «плохих» элементов множестваМ. Тогда. Тогда.

Так как f– биекция, то прообразомявляется единственный элемент.

Пусть - «хороший» элемент. Тогда, то есть- «плохой» элемент.

Пусть - «плохой» элемент. Тогда, то есть- «хороший» элемент.

Итак, является одновременно и «хорошим» и «плохим» элементом, что невозможно.

Теорема 3.Среди бесконечных множеств не существует множества самой высокой мощности.

Доказательство:

От противного. Пусть существует множество Мсамой высокой мощности.,- противоречие.

Замечание.ПустьМ– конечное множество, состоящее изпэлементов. ТогдаТсодержитэлементов.

Определение 1.Если множествоМимеет мощность, а множество всех его подмножеств -Ти, то говорят, что.

Из теоремы 2 следует, что .

Теорема 4.МножествоТвсех подмножеств любого счётного множества имеет мощность континуум:

.

Доказательство:

В качестве счётного множества возьмём множество Nи докажем, что множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощностьс. МножествоТсостоит из множеств(все конечные подмножества) и(все бесконечные подмножества):.

Множество счётно как бесконечное подмножество множестваК.

Множество имеет мощность континуум как декартово произведение счётной совокупности счётных множеств.

По теореме 10 §6. Следовательно,.

18