- •§9. Метрические пространства
- •Положим в (3) . Тогда
- •Примеры метрических пространств
- •§10. Геометрия метрического пространства Окрестность точки. Предельная точка множества
- •Внутренность, замыкание и граница множества
- •Открытые и замкнутые множества
- •Свойства открытых и замкнутых множеств
- •Некоторая дополнительная терминология
- •§11. Предел последовательности в метрическом пространстве Сходящиеся последовательности
- •Сходимость в пространствах RnиC[a,b]
- •1. Пространство Rn
- •2. Пространство c[a,b]
- •Фундаментальные последовательности
- •Полные метрические пространства
- •Примеры полных метрических пространств
- •§12. Линейные нормированные пространства Пусть множество, в котором:
- •§13. Гильбертовы пространства
- •Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
§9. Метрические пространства
В математическом анализе важнейшую роль играет понятие предела. В основе различных определений предела лежит то или иное понятие близости между объектами. Поэтому естественно попытаться для множеств произвольной природы ввести понятие расстояния между элементами, а затем и понятие предельного перехода.
Определение 1. На множестве Х определена структура метрического пространства, если задана функция пары аргументов
,
обладающая свойствами:
1. ;
2. ;
3. (неравенство треугольника).
Функция ,,называется метрикой или функцией расстояния, число называетсярасстоянием между точками и.
Итак, метрическое пространство образует пара: множество Х и функция . Обозначается:или. Если в условиях конкретной задачи ясно, о какой метрике идёт речь, то метрическое пространство обозначаютХ или М.
Свойство 1..
Доказательство:
Положим в (3) . Тогда
.
Примеры метрических пространств
1. а) Арифметическое п-мерное пространствоХ, точки которого – упорядоченные наборыпдействительных чисел,, - метрическое пространство с метрикой
.
В дальнейшем эту пару будем обозначать.
б) X– то же,.- метрическое пространство.
в) X– то же,.- метрическое пространство.
г) X– то же,.- метрическое пространство.
д) X– то же, - метрическое пространство.
е) X– то же, - метрическое пространство.
2. Пусть Y– множество непрерывных функций, заданных на отрезке . Введём метрики следующим образом:
а) ,- метрическое пространство. Обозначается.
б) можно ввести по правилам б), д), е) примера 1.
в) ,- метрическое пространство.
г) ,- метрическое пространство.
3. Пусть Z– множествопраз непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке ,.- метрическое пространство с метрикой
.
Обозначается .
4. Пусть U– множество, состоящее из последовательностей действительных чиселтаких, что
.
а) Введём метрику по правилу:
.
- метрическое пространство. Обозначается- бесконечномерное евклидово пространство.
б) .- метрическое пространство.
5. Пусть V- множество последовательностей действительных чиселтаких, что
.
Определим функцию расстояния по формуле
.
- метрическое пространство. Обозначается.
6. Пусть W- множество последовательностей действительных чиселтаких, что
.
Определим функцию расстояния по формуле
.
- метрическое пространство. Обозначается.
Упражнение.Проверить, что пространства примеров 1, 2а, 2б, 2в, 3, 4б, 6 являются метрическими пространствами.
Пример.Проверим, что пространство- метрическое пространство (пример 4а), для этого покажем, что функция
определена для любых и удовлетворяет условиям 1-3 определения метрического пространства.
Возьмём ,,, такие, что
,,.
Справедливо неравенство:
,
(действительно, ,
,
).
Так как ряды исходятся, то сходится ряд. Следовательно, по признаку сравнения сходимости положительных рядов сходится ряд, то есть функцияопределена.
Проверим выполнимость аксиом 1-3 метрического пространства:
1. ;
.
2. ;
.
3. ;
В аксиома 3 имеет вид:
.
На основании доказанного выше все ряды в последнем неравенстве сходятся. Докажем само неравенство. Имеем:
(см. пример 1а). Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим нужное неравенство.