Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
172
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
805.89 Кб
Скачать

Простейшие понятия теории множеств

§1. Множества. Операции над множествами.

Множество– совокупность объектов той или иной природы, обладающих некоторым заданным свойством, понятие первоначальное, неопределяемое. Всякое множество определяется некоторым свойствомРи состоит из тех и только тех объектов, которые обладают этим свойством. Условимся в дальнейшем рассматривать только множества, входящие в некоторое «универсальное» множествоЕ.Универсальное множество– множество, которое включает в себя все рассматриваемые в данной задаче множества. Объекты, составляющие множество, называются егоэлементами. Приняты следующие обозначения:

обозначение

что означает

А, В, С,…

а, b, с,…

множество

элемент множества

элементы аиbсовпадают

элементы аиbразличны

элемент апринадлежит множествуА

элемент ане принадлежит множествуА

Способы задания множеств:

1. перечисление его элементов.

Если множество Асостоит из элементовx,y,z, то записывают

.

2. указание характеристического свойства.

Если множество Асостоит из элементов принадлежащих универсальному множествуЕи обладающих свойствомР, то записывают

.

Схематичное изображение множеств в виде фигур на плоскости (кругов, эллипсов) даёт наглядное представление о простейших свойствах множеств и об операциях над ними. Такие схемы носят название диаграмм Эйлера-Венна. Универсальное множество принято изображать прямоугольни-ком.

Включение множеств. Равные множества.

Рассмотрим два множества АиВизЕ.

Определение 1.МножествоВназываетсяподмножеством множества А (множество В содержится во множестве А),если каждый элемент множества Вявляется одновременно элементом множестваА:

.

Обозначается .

Определение 2.МножествоВне содержитсяво множествеА, если существует хотя бы один элемент, такой что:

.

Обозначается .

Определение 3.МножестваАиВназываютсяравными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Обозначается .

Отношение включения двух множеств обладает следующими свойствами:

1. ;

2. если и, то;

3. если и, то.

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 1-3.

Свойство 2 выражает собой так называемый метод встречных включений,применяемый для доказательства равенства множеств

.

Понятие пустого множества

Рассмотрим множество элементов aиз Е, для которых. Такое множество не содержит ни одного элемента, оно называетсяпустым множествоми обозначается:

.

Если множество Ане является пустым, то оно содержит хотя бы один элемент. Множество, состоящее из одного элемента, называетсяодноэлементным множеством.

Определение 4.Собственным подмножеством множества А называется любое подмножество этого множества, отличное отАи от пустого множества. Само множествоА и пустое множество называютсянесобственными подмножествами множества А.

Справедливы следующие свойства:

4. Пустое множество является подмножеством любого множества: .

5. .

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 4-5.

Операции над множествами

Пусть А и В – два множества изЕ.

Определение 5. Объединением или суммой множеств А и Вназывается множествоС, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств АилиВ.

Обозначается . Аналогично под записью понимается объединение любого числа множеств, где индекспринадлежит некоторому множеству. В частности,

- объединение конечного числа множеств;

-объединение последовательности множеств.

Определение 6.Пересечением или произведением множеств А и Вназывается множествоС, состоящие из элементов, принадлежащих одновременно множествамАи В.

Обозначается . Записьобозначает пересечение любого числа множеств. В частности,

- пересечение конечного числа множеств;

- пересечение последовательности множеств.

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП