- •§9. Метрические пространства
- •Положим в (3) . Тогда
- •Примеры метрических пространств
- •§10. Геометрия метрического пространства Окрестность точки. Предельная точка множества
- •Внутренность, замыкание и граница множества
- •Открытые и замкнутые множества
- •Свойства открытых и замкнутых множеств
- •Некоторая дополнительная терминология
- •§11. Предел последовательности в метрическом пространстве Сходящиеся последовательности
- •Сходимость в пространствах RnиC[a,b]
- •1. Пространство Rn
- •2. Пространство c[a,b]
- •Фундаментальные последовательности
- •Полные метрические пространства
- •Примеры полных метрических пространств
- •§12. Линейные нормированные пространства Пусть множество, в котором:
- •§13. Гильбертовы пространства
- •Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
Сходимость в пространствах RnиC[a,b]
1. Пространство Rn
Пусть дана последовательность точек
. (1)
Задание последовательности (1) равносильно заданию ппоследовательностей:
Переформулируем определение 1 для нашего случая:
Определение 5.Точканазываетсяпределом последовательности (хк), где, если числовая последовательностьсходится к нулю.
Теорема 5.Последовательность точек, сходится к точкетогда и только тогда, когда последовательности компонент, сходятся соответственно к компонентам.
Доказательство:
Справедливы неравенства:
.
Действительно,
а) ;
;
б) Возведём в квадрат обе части неравенства:
- верно.
1. Необходимость.
Пусть . Докажем, что.
По определению
.
Далее имеем:
.
2. Достаточность.
Пусть . Докажем, что.
Возьмём . По определению
.
Положим . Тогда:
.
Из теоремы 5 следует, что сходимость по метрике пространства Rn равносильна покоординатной (поточечной) сходимости.
2. Пространство c[a,b]
Пусть дана последовательность пространства,. Пусть далее,. По определению
-
определение равномерной сходимости функциональной последовательности к функциина отрезке. Таким образом,сходимость по метрике пространства C[a,b] равносильна равномерной сходимости на [a,b].
Фундаментальные последовательности
Пусть М– метрическое пространство с метрикой,.
Определение 6.Последовательность точек, называетсяфундаментальной, если
.
Пусть (если, то). Ясно, что если, то. Следовательно, выполняется неравенствои имеет место определение:
Определение 7.Последовательность точек, называетсяфундаментальной, если
.
Теорема 6.ПустьМ– метрическое пространство,. Если, - фундаментальная последовательность в одном из пространствМилиЕ, то она будет фундаментальной и в другом пространстве.
Доказательство:
Заметим, что
. (1)
1. Пусть , - фундаментальная последовательность в пространствеЕ, тогда по определению
. (2)
Так как и, то. Тогда из (1) и (2) следует, что
.
По определению последовательность фундаментальна вМ.
2. Пусть - фундаментальная последовательность в пространствеМ, нои верно равенство (1). Следовательно,фундаментальна вЕ.
Теорема 7. Всякая фундаментальная последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть М– метрическое пространство,- фундаментальная последовательность вМ.Тогда по определению для любого, в том числе для
.
В качестве числа возьмём(зафиксировали). Тогда
.
Обозначим
.
Тогда
.
По определению последовательность ограничена.
Теорема 8. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.
Доказательство:
Пусть
Тогда в силу неравенства треугольника
.
По определению последовательность фундаментальна.
Полные метрические пространства
В связи с теоремой 8 отметим, что не всякая фундаментальная последовательность элементов метрического пространстваявляется сходящейся последовательностью в данном пространстве.
Пример 1.Рассмотрим метрическое пространство=(0,1)с метрикой. Возьмём последовательность. Тогда
при.
По определению последовательность фундаментальная, но она не сходится ни к какому элементу пространстваМ, то есть в пространстве сходящейся не является.
Пример 2.Пустьпространство многочленов с действительными коэффициентами
,
определённых на отрезке с метрикой
.
Возьмем последовательность многочленов , где
, .
Пусть . Оценим :
при . Итак, по определению последовательностьфундаментальная. Решим вопрос её сходимости:
,
то есть последовательность не сходится в пространстве многочленов.
В связи с примерами 1 и 2 дадим определение:
Определение 8.Метрическое пространство называетсяполным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.