- •§9. Метрические пространства
- •Положим в (3) . Тогда
- •Примеры метрических пространств
- •§10. Геометрия метрического пространства Окрестность точки. Предельная точка множества
- •Внутренность, замыкание и граница множества
- •Открытые и замкнутые множества
- •Свойства открытых и замкнутых множеств
- •Некоторая дополнительная терминология
- •§11. Предел последовательности в метрическом пространстве Сходящиеся последовательности
- •Сходимость в пространствах RnиC[a,b]
- •1. Пространство Rn
- •2. Пространство c[a,b]
- •Фундаментальные последовательности
- •Полные метрические пространства
- •Примеры полных метрических пространств
- •§12. Линейные нормированные пространства Пусть множество, в котором:
- •§13. Гильбертовы пространства
- •Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
Примеры полных метрических пространств
1. Пространство R полно.
Это следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.
2. Пространство Rп полное пространство.
Это следует из полноты пространства R.
Пусть фундаментальная последовательность точек пространстваRп, то есть
.
Тогда
.
Здесь . Тогдатем более будут выполняться неравенства
.
Это означает, что последовательности ,, - фундаментальные. Но тогда (из примера 1) они являются сходящимися, то есть существуют пределы:,. Пусть. Очевидно:
1. Rп,
2. (так как сходимость последовательности точек пространстваRnпонимается как сходимость по координатам).
Таким образом доказано, что пространство Rnполно.
3. Пространство C[a,b] полно.
Сходимость последовательности точек пространства C[a,b]есть равномерная сходимость последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент пространстваC[a,b],что и требовалось доказать.
4. Пространство т полно.
5. Пространство полно.
§12. Линейные нормированные пространства Пусть множество, в котором:
1. введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов элемент из, называемый суммой этих элементов и обозначаемый, причем выполнены следующие аксиомы:
1) (коммутативность сложения);
2) (ассоциативность сложения);
3) существует единственный элемент , называемый нулевым элементом или нулем, такой, что;
4) каждому элементу соответствует единственный противоположный элемент из, обозначаемый, такой, что.
2. введена операция умножения элементов из на число изR (C), удовлетворяющая следующим аксиомам:
5) (ассоциативность умножения);
6) (дистрибутивность умножения);
7) (дистрибутивность умножения);
8) .
Определение 1.Множествос операциями 1 и 2, удовлетворяющими аксиомам 1-8 называетсялинейным пространством над полем R (C).
Определение 2.Линейное пространствонад полемRназываетсянормированным,если каждому элементупоставлено в соответствие действительное число, называемоенормойэлементаи обозначаемое, удовлетворяющее следующимаксиомам нормы:
, причем;
;
.
Теорема.Всякое нормированное пространство является метрическим с метрикой.
Доказательство:
Пусть нормированное пространство. Докажем, что функциязадает метрику на. Для этого проверим справедливость аксиом 1-3 метрического пространства:
1. ;
.
2. ;
===.
3. ;
=.
На нормированные пространства переносятся многие понятия и их свойства, справедливые для метрических пространств, в частности, имеется понятие сходимости последовательности.
Определение 3. Последовательность, называетсясходящейся к x,если
.
Определение 4.Последовательностьназываетсяфундаментальной,если
Определение 5. Нормированное пространствоназываетсяполным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого же пространства. Полное нормированное пространство называетсябанаховым пространством.
Пример.
Пространство - банахово пространство.
1. Определим операции IиIIобычным способом:
,
.
Очевидно выполнение аксиом 1-8 линейного пространства.
Введём норму:
.
Проверим выполнение аксиом нормы.
:
1. ,.
2. .
3.
.
Таким образом, - нормированное пространство.
Далее, так как - полное метрическое пространство, то- полное метрическое пространство, следовательно,- банахово пространство.