§10. Геометрия метрического пространства Окрестность точки. Предельная точка множества

Пусть М– метрическое пространство,.

Определение 2.Открытым шаром S(a,r) в метрическом пространстве Мназывается множество точек, удовлетворяющих условию. Точкааназываетсяцентром шара, а-радиусом шара.

.

Определение 3.Замкнутым шаром S[a,r] в метрическом пространстве Мназывается множество точек, удовлетворяющих условию.

.

Определение 4.Окрестностью точки aMназывается любой открытый шар, содержащий точкуа.

Определение 5.-окрестностью точки aMназывается открытый шар с центром в точкеаи радиуса, то есть

.

Определение 6.Проколотой -окрестностью точки aMназывается открытый шар с центром в точкеаи радиусабез самой этой точки, то есть

.

Определение 7.Точканазываетсяпредельной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка изЕ, отличная ота.

Определение 8.Точканазываетсяпредельной точкой множества Е, если в любой проколотой окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множестваЕ.

Предельная точка множества Еможет принадлежать или не принадлежать этому множеству.

Определение 9.Точканазываетсяизолированной точкой множества Е, если существует окрестность этой точки, не имеющая ни одной точки изЕ, отличной ота.

Теорема 1. Точкаявляется предельной точкой множестваЕтогда и только тогда, когда в любой окрестности точкиасодержится бесконечно много точек изЕ.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть является предельной точкой множестваЕ. Докажем, что в любой окрестности точкиасодержится бесконечно много точек изЕ.

От противного. Пусть существует окрестность точки а, содержащая конечное число точек изЕ. Пусть

.

Пусть далее

,(по условия точкиотличны ота).

Рассмотрим окрестность . В ней нет ни одной точки изЕ, отличной ота. Следовательно, точкаане является предельной точкой множестваЕ. Полученное противоречие доказывает утверждение.

2. Достаточность.

Пусть в любой окрестности точки асодержится бесконечно много точек изЕ, тогда существует точка. По определению точкаа– предельная точка множестваЕ.

Определение 10.Множество всех предельных точек множестваЕназываетсяпроизводным множеством множества Е.

Обозначается .

Внутренность, замыкание и граница множества

Пусть М– метрическое пространство,.

Определение 11.Точканазываетсявнутренней точкой множества Е, если она принадлежитЕвместе с некоторой окрестностью.

Определение 12.ВнутренностьюмножестваЕназывается совокупность всех внутренних точек множестваЕ.

Определение 13.ЗамыканиеммножестваЕназывается множество.

Определение 14.Точканазываетсявнешней точкой множества Е, если она не принадлежитЕвместе с некоторой окрестностью, то есть.

Определение 15.Точканазываетсяграничной точкой множества Е, если любая окрестность точкиасодержит как точки множестваЕ, так и точки, ему не принадлежащие.

.

Определение 16.Совокупность всех граничных точек множестваЕназываетсяграницеймножестваЕ и обозначается.

Определение 17.МножествоЕназываетсяизолированным, если оно состоит только из изолированных точек, то есть если.

Определение 18.МножествоЕназываетсяплотным в себе, если все его точки являются предельными, то есть если.

Теорема 2. Замыкание множестваЕобладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Упражнение.Доказать самостоятельно теорему 2.