- •§9. Метрические пространства
- •Положим в (3) . Тогда
- •Примеры метрических пространств
- •§10. Геометрия метрического пространства Окрестность точки. Предельная точка множества
- •Внутренность, замыкание и граница множества
- •Открытые и замкнутые множества
- •Свойства открытых и замкнутых множеств
- •Некоторая дополнительная терминология
- •§11. Предел последовательности в метрическом пространстве Сходящиеся последовательности
- •Сходимость в пространствах RnиC[a,b]
- •1. Пространство Rn
- •2. Пространство c[a,b]
- •Фундаментальные последовательности
- •Полные метрические пространства
- •Примеры полных метрических пространств
- •§12. Линейные нормированные пространства Пусть множество, в котором:
- •§13. Гильбертовы пространства
- •Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
§13. Гильбертовы пространства
Определение 1.Пусть- линейное пространство и пустьставится в соответствие действительное число, обозначаемоеи называемоескалярным произведением,удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам скалярного произведения):
1. ;
2. ;
3. ;
4. , причём.
Определение 2.Линейное пространствос введённым в нём скалярным произведением называетсяевклидовым или предгильбертовым пространством.
Теорема 1.Всякое предгильбертово пространство является нормированным пространством с нормой.
Доказательство:
Проверим выполнение аксиом 1-3 нормированного пространства:
1. Так как , то корень определён и неотрицателен, следовательно,.
.
2. .
3. .
Рассмотрим квадратный трёхчлен от :
.
Так как , то
- (1)
неравенство Коши-Буняковского.
Далее
.
Теорема 2.Скалярное произведение непрерывно по обоим аргументам, то есть если(в смысле сходимости по норме), то.
Доказательство:
, где;
, где;
.
Определение 3.Полное предгильбертово пространство называетсягильбертовым пространством.
Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
1. Пространство .
Введём скалярное произведение по формуле:
,. (2)
Покажем, что (2) задаёт скалярное произведение, для этого проверим выполнимость аксиом 1-4 скалярного произведения:
1.
2.
3.
4.
.
Из 1-4 следует, что - предгильбертово пространство. В силу полноты, доказанной ранее, оно является гильбертовым пространством.
2. Пространство ,, - гильбертово пространство.
3. Пространство ,, - предгильбертово пространство.