Полные метрические пространства.

Фундаментальные последовательности.

Опр.1. Последовательность точек (x _n)  M называется фундаментальной,

если  N:  n, m > N   x _{n ,} x _m <.

Заметим, что если n=m   x _{n ,} x _m)=  x _{n ,} x _n )=0<.

Пусть n  m , m > n , m = n + p , pN.

Опр.2. Последовательность точек (x _n)  M называется фундаментальной,

если  N:  n > N pN   x _{n+p ,} x _n <.

Теорема 1. Пусть  - метрическое пространство. .

 x _n )последовательность точек из Е.

Из фундаментальности последовательности  x _n) в одном из

пространств следует фундаментальность ее в другом прос-

транстве.

Доказательство  обозначим метрику в пространстве  через _, а в

пространстве _. Очевидно, что x , y _ x , y)=_ x , y).

Последовательность  x _n ) фундаментальна в Е   N:  n, m > _  x _{n ,} x _m <.

x _n  x _n  N:  n, m > _  x _{n ,} x _m <  ( x _n ) фунда-

ментальна в .

Теорема 2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство пусть (x _n)любая фундаментальная последователь-

ность   N:  n, m > N   x _{n ,} x _m <.

Пусть , m₀fic,m₀>N n>N   x _{n ,} x _m0 <1.

Рассмотрим   x _{1 ,} x _m0) ,   x _{2 ,} x _m0) ,…,   x _{ ,} x _m0) ,1.

max {  x _{1 ,} x _m0),   x _{2 ,} x _m0), …,   x _{ ,} x _m0) ,1}.

nN   x _{n ,} x _m0   K по определению (x _n) ограничена.

Теорема 3. Всякая сходящаяся последовательность фундамен-

тальна.

Доказательство x _n =a N: n>N   x _n , a <.

pN n + p>N:   x _{n + p} , a <.

>0 N: n>N pN   x _{n + p} , x _n <  x _{n + p} , a )+   a , x _n)<+.

По определению последовательность является фундаментальной.

Не всякая фундаментальная последовательность элементов метрического

пространства является сходящейся в данном пространстве.

Пр.1. Рассмотрим =(0,1) с метрикой =x-y, x , y.

Рассмотрим последовательность ().

 x _n , x _m)=x _n-x _m=() - ()0  по определению

() фундаментальная последовательность.

=0последовательность () в пространстве

сходящейся не является.

Пр.2. Пусть пространство многочленов с действительными коэффи-

циентами _n(t)=a _n t ⁿ + a _n-1 t ^n-1+…+a₀, t[0,1] с метрикой

(p _n , q _m )=p _n (t)-q _m (t). Возьмем последовательность (P _n (t)):

P _n (t)= .

Оценим (p _{n + s} (t)-p _n (t))=  p _{n + s} (t)-p _n (t) = =

= = .

сходится  R _n=0 =0.

(P _n (t)) фундаментальная последовательность.

Решим вопрос о ее сходимости.

P _n (t)= =e^t(P _n (t)) не сходится в пространстве многочленов.

В связи с примерами 1 и 2 дадим определение:

Опр.3. Метрическое пространство называется полным, если в нем вся-

кая фундаментальная последовательность сходится к некоторому

пределу, являющемуся элементом этого пространства.

Примеры полных метрических пространств.

1. Пространство R полно.

Доказательство: критерий Коши.

2. R ⁿ  полное пространство.

Это следует из полноты пространства R.

Пусть (x^(p)) фундаментальная последовательность точек пространства R ⁿ,

т.е. x^(p)=(x₁^(p), x₂^(p),…, x _n^(p)).

x^(q)=(x₁^(q), x₂^(q),…, x _n^(q)).

 N p, q>N (x^(p),x^(q))=<.

Очевидно, что i=1,…,n будет выполняться неравенство

x _i ^(p)-x _i ^(q)<  (x _i ^(p)) фундаментальна (x _i ^(p)) сходится

 x _i ^(p)=x _i , i=1,…,p.

Рассмотрим кортеж x=(x₁,x₂,…,x _n).

Очевидно:

1. каждое x _i RxR ⁿ

2. lim x^(p)=x (т.к. сходимость последовательности точек из R ⁿ понима-

ется как сходимость по координатам).

Таким образом, пространство R ⁿ полно.

3. Пространство C [a , b] полно.

Сходимость по метрике последовательности точек пространства C [a , b]

есть равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.

Пределом такой последовательности является непрерывная функция, т.е.

элемент пространства C [a , b]  C [a , b] полно.

4.Пространство m полно.

m  пространство всех ограниченных последовательностей действитель-

ных чисел с метрикой (x,y)=x _i –y _i.

mметрическое пространство. Докажем его полноту.

Пусть (x⁽ⁿ⁾) - фундаментальная последовательность точек пространства m.

Это означает, что  N n, m>N (x⁽ⁿ⁾,x^(m))= x _i ⁽ⁿ⁾-x _i ^(m)<.

Тем более (1) iN x _i ⁽ⁿ⁾-x _i ^(m)<  {x _i ⁽ⁿ⁾} фундаментальная  по критерию Коши она сходится на R,т.е.  lim x _i⁽ⁿ⁾ =x _i iN.

Рассмотрим кортеж x=(x₁,x₂,…,x _n).

Очевидно:

1) x⁽ⁿ⁾=x  (x⁽ⁿ⁾,x)<

x _i ⁽ⁿ⁾-x _i <.

Это будет верно, т.к. x _i⁽ⁿ⁾ =x _i ,т.е. x _i ⁽ⁿ⁾-x _i <  x _i ⁽ⁿ⁾-x _i <.

2)xm

Покажем, что последовательность является ограниченной. При n

x _i -x _i^(m)  iN (взяли предел от левой и правой частей равенства (1)

и воспользовались тем, что  x _i⁽ⁿ⁾ =x _i)

x _i^(m)x _i  x _i^(m)+.

Отсюда получаем, что x ограничено, т.к. все его члены x _i ограничены

(т.к. (x _i^(m)) фундаментальна  она ограничена  x=(x _i) ограничена по определению)  xm.

Из 1) и 2) следует, что m полно.

5. Пространство L₂ полно.

L ₂пространство последовательностей действительных чисел x=(x _n), т.ч.

ряд сходится.

L ₂метрическое пространство с метрикой

Докажем полноту L ₂.

Пусть (x _n) фундаментальная последовательность точек пространства L ₂.

(x _n)=(x₁⁽ⁿ⁾,x₂⁽ⁿ⁾,…x _k⁽ⁿ⁾,…).

 N n>N pN (2)

Тем более iN x _i⁽ⁿ⁾-x _i^(n+p)<  (x _i⁽ⁿ⁾) фундаментальна  (x _i⁽ⁿ⁾) схо-

дится, т.е.  x _i⁽ⁿ⁾ =x _i iN.

Рассмотрим кортеж x=(x₁,x₂,…,x _n).

1. Покажем, что xL ₂.

Зафиксируем NN и рассмотрим

Оценим каждое из слагаемых. Из (2) для =1 N n>N pN

. Тем более .

Перейдем в этом неравенстве к пределу при p:

.

Оценим второе слагаемое.

Т.к. x⁽ⁿ⁾L ₂, то .

Т.о. .

Перейдем к пределу при N и получим:

.

2. Докажем, что N:

(x ⁽ⁿ⁾,x)=

Из (2) 

Перейдем к пределу при p:

Перейдем к пределу при N и получим:

По определению  L₂ полно.

Линейные нормированные пространства.

Пусть множество, в котором

1. введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов

(x , y)   элемент из , называемый суммой этих элементов и обозна-

чаемый x+y, причем выполнены следующие аксиомы:

 x, y, z 

1) x + y=y + x (коммутативность сложения)

2)(x + y) + z=x + (y + z) (ассоциативность сложения)

3) элемент, обозначаемый 0, называемый нулевым элементом или

нулем, т.ч. x x+0=x

4)x соответствует единственный противоположный элемент из ,

обозначаемый -x т.ч. x+(-x)=0

x+(-y)=x-y

2.введена операция умножения элементов из  на число из R(C),

удовлетворяющая следующим аксиомам:

 x, y, , R(C):

5)x)=()x (ассоциативность умножения)

6)(x + y)=x + y (дистрибутивность умножения)

7)()x=x+x (дистрибутивность умножения)

8)1*x=x

Опр.1. Множество  с операциями 1. и 2. , удовлетворяющими аксиомам

1)-8) называется линейным пространством над полем R(C).

Опр.2. Линейное пространство  над полем R называется нормирован-

ным, если каждому элементу x поставлено в соответствие

действительное число, называемое нормой x и обозначаемое

, удовлетворяющее следующим аксиомам нормы:

x , y R

1. ,, причем =0 x=0

2. 

3. 

Теорема. Всякое нормированное пространство является метрическим с

Метрикой (x , y)=.

Доказательство: Пусть нормированное пространство. Докажем, что

функция (x , y) =задает метрику на. Для этого проверим спра-

ведливость аксиом 1.-3. метрического пространства.

1. (x , y)=0  x=y

(x , y)=0  =0  x-y=0  (x-y)+y=0+y  x+(- y + y)=y 

x+0=y  x=y

2. (x , y)= (y , x)

(x , y) = ====(y , x)

3.  (x , y) (x , z) + (z , y)

(x , y) ====(x , z) + (z , y).

На нормированные пространства переносятся многие понятия и их

свойства, справедливые для метрических пространств, в частности имеется понятие сходимости последовательности.

Опр.3.Последовательность (x _n), x _n называется сходящейся к x, если

lim (x _n ,x) ==0   NN n>N =<.

Опр.4. Последовательность (x _n), x _n называется фундаментальной, если

 NN n, m>N =<.

Опр.5.Нормированное пространство  называется полным, если любая

фундаментальная последовательность его точек сходится к точке

этого же пространства. Полное нормированное пространство назы-

вается банаховым пространством.

Структура открытых линейных множеств на R.

Пусть линейное множество.

Опр.1. Множество R называется ограниченным сверху (снизу), если

• такая точка Q (P), что x xQ (xP).

Опр.2. Множество R называется ограниченным, если оно ограничено

снизу и сверху, т.е. если  Q, PR: x PxQ.

Опр.3. Множество R называется ограниченным, если x

 x  .

Опр.2.Опр.3.

Опр.4. Точка R называется верхней гранью множества , если пра-

вее точки  нет точек множества  и  x, лежащая

правее точки .

Обозначается =sup E=

Опр.5. Точка mR называется нижней гранью множества , если левее

точки m нет точек множества  и  x, лежащая левее

точки m+.

Обозначается m=inf E=

Теорема 1. Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество

Имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Теорема 2. Если верхняя (нижняя) грань множества  существует, но не

принадлежит , то она является предельной точкой множест-

ва .

Доказательство: Пусть =sup E, . Докажем, что предельная точка множества . Возьмем любую окрестность точки  V(M,).

Возьмем :  V(M,). Т.к. =sup E, то x x (x) 

x V(M,). По определению предельная точка множества .

Доказательство аналогично в случае m=inf E.

Следствие 1. Если замкнутое множество  ограничено сверху (снизу),

то оно имеет самую правую (левую) точку.

Доказательство: Пусть =sup E. Возможны два случая:

1.

2.

Если выполняется 1., то по теореме 2 следует, что предельная точка

множества , но  замкнуто  , что противоречит условию, т.е.

случай 1 не возможен. Т.о. =sup E и , т.е. самая правая точка

множества .

Доказательство аналогично в случае m=inf E.

Следствие 2. Если  ограниченное замкнутое множество, то существует

наименьший отрезок, содержащий . Им является отрезок

[m , M].

Лемма 1. Множество попарно непересекающихся интервалов на R или

конечно, или счетно.

Доказательство: Пусть множество попарно непересекающихся ин-

тервалов на R . Qсчетное множество рациональных чисел. Представим его в виде бесконечной последовательности, т.е. Q={r₁,r₂,…,r _n,…}. Возьмем . На  существует бесконечно много рациональных чисел . Пусть r _n1 одно из них. Соответствующий интервал обозначим  _n1.

Для числа r _n2 поставим в соответствие интервал, которому он принадле-

жит: r _n2  _n2. И т.д. Очевидно, что r _n1  r _n2  n₁n₂. Число интервалов

 равно числу натуральных чисел n₁, n₂,… . Множество, состоящее из

натуральных чисел либо конечно, либо счетно, но  (n₁, n₂,…)

А либо конечно, либо счетно.

Опр.6. Пусть Gоткрытое множество. Интервал (a ,b) называется состав-

ляющим интервалом множества G, если (a ,b)G, а его концы

a и b не принадлежат G.

Теорема 3. Если G непустое, ограниченное, открытое множество, то

каждая его точка принадлежит некоторому его составляю-

щему интервалу.

Доказательство: возьмем x₀G. Покажем, что она принадлежит неко-

торому его составляющему интервалу. Рассмотрим множество

F=CG[x₀, +).

F замкнуто (CG замкнуто, [x₀, +) замкнуто их пересечение замкну-

то).

F - ограничено снизу (x₀нижняя граница)=inf F.

Поскольку F замкнуто и предельная точка множества F, то по

теореме 2  F.

Возьмем x₀ и выясним, где будет .

 F CGGx₀, [x₀, +)x₀x₀.

Рассмотрим промежуток [x₀ , ). Покажем, что [x₀ , )G.

Предположим, что [x₀ , )G.  x[x₀ , ): x G xCG, x[x₀,)

xF, но x<M. Что не возможно, т.к. =inf F.

Доказали, что [x₀ , )G.

Аналогично строится промежуток (m , x ₀]G, m=sup (CG( , x ₀]).

Итак, (m , x ₀]  [x₀,)=(m , M)G, m, MG, x₀(m ,M).

Теорема 4 (о строении ограниченного открытого множества).