Свойства операций над множествами

№	свойство	название
6.		коммутативность объединения
7.		коммутативность пересечения
8.		ассоциативность объединения
9.		ассоциативность пересечения
10.		идемпотентность объединения
11.		идемпотентность пересечения
12.		дистрибутивность пересечения
13.		дистрибутивность объединения
14.
15.
16.
17.
18.

Свойства 1 - 18 обладают двойственностью в том смысле, что если заменять символы « » на «», «» на «» и «» на «», то получится снова одно из свойств 1 - 18. Таким образом, каждой теореме, доказанной на основании формул 1-18, соответствует двойственная теорема. Свойства 6 - 18 доказывается методом встречных включений. В качестве примера докажем свойство 12.

Доказательство свойства 12:

.

Обозначим ,.

1. Пусть . Покажем, что.

(хотя бы одному из множеств).

2. Пусть . Покажем, что.

.

Из 1) и 2) следует, что .

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 6-18.

Разность множеств. Дополнение

Определение 7.Разностью множеств  и называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежатВ.

Обозначается . Таким образом,

.

Заметим, что между свойствами операций над множествами и свойствами арифметических операций над числами прослеживается некоторая аналогия (свойства 6-9,12).Однако эта аналогия неполная (свойства 10-11). Приведём ещё два примера по поводу этого замечания.

Пример 1.Пусть- произвольные множества. Тогда

=.

Упражнение. Доказать самостоятельно утверждение примера 1.

Пример 2..

Доказательство примера 2:

1. Пусть верно равенство

.

Так как слагаемое есть часть суммы, то .

2. Пусть . Множествосостоит из элементов множестваА, не принадлежащих множествуВ. Объединяя это множество со множествомВ, получим множествоА.

Если множество В имеет элементы, не входящие во множествоА, то при объединенииВсполучим множество, отличное отА.

Определение 8.Дополнением СА множества А называется множество элементов из множестваЕ, которые не принадлежатА, то есть

.

Справедливы следующие свойства:

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. Дополнение объединения равно пересечению дополнений:

а) ;

б) ;

25. Дополнение пересечения равно объединению дополнений:

а) ;

б) ;

26. .

Свойства 19-26 также как и свойства 1-18 обладают двойственностью. Свойства 24 и 25 выражают так называемый принцип двойственности.

Определение 9.Симметрической разностью множеств А и Вназывается множество

.

Обозначается . Легко видеть, что

.

Упражнение. Доказать самостоятельно последнее утверждение и свойства 19-26.

§2. Отображение

Пусть А, В - произвольные множества изЕ,.

Определение 1.Отображением множества А во множество Вназывается соответствиеf, которое каждому элементуотносит один и только один элемент, который обозначаетсяи называетсязначением отображения f или образом элемента а при отображении f.МножествоАназываетсяобластью определения отображения.

Обозначается или.

Определение 2.Образом подмножества D из А при отображении fназывается совокупность элементов вида, гдеапробегает всё множествоD.

Обозначается . Таким образом,

.

Определение 3.Множествоназываетсямножеством значений отображения f.

Отображение также называютфункцией с областью определения А и множеством значений, лежащим в В.В некоторых разделах математики в зависимости от природы множествАиВи свойствf отображениеfназываютфункционалом, оператороми так далее.

Определение 4.Прообразом элемента bВназывается совокупность всех элементов, что.

Обозначается . Таким образом,

.

Если , то=.

Определение 5. Прообразом множества Кназывается множество

.

Для прообразов множеств исправедливы следующие соотношения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если , то.

Упражнение.

а) доказать самостоятельно соотношения 1-4;

б) выяснить, верны ли аналогичные соотношения для образов множеств и:

1.;

2.;

3.;

4. Если, то.

Определение 6.Отображениеназываетсяотображением А на В или сюрьективным отображением,если, то есть если

.

Определение 7.Отображениеназываетсяинъективным отображением,если для любого элементаего полный прообразсостоит ровно из одного элемента, или если для любого элементаего полный прообраз состоит не более чем из одного элемента.

Определение 7.Отображениеназываетсяинъективным отображением,если различным элементамсоответствуют различные элементы, то есть

.

Определение 8.Отображениеназываетсявзаимно-однозначным или биективным отображением,если для любого элементаего прообразсостоит ровно из одного элемента, или если оно одновременно является инъективным и сюрьективным.