§3. Предел последовательности множеств

Пусть задана последовательность множеств .

Определение 1.Верхним пределом последовательности множеств {А_n}называется множество, обозначаемое и определяемое следующим образом:

Определение 2.Верхним пределом последовательности множеств {А_n}называется множествоА, состоящее из всех точек, которые принадлежат бесконечному числу множествА_n.

Определение 3.Нижним пределом последовательности множеств {А_n}называется множество, обозначаемое и определяемое следующим образом:

Определение 4.Нижним пределом последовательности множеств {А_n}называется множествоА, состоящее из всех элементов, принадлежащих всем множествамА_n, за исключением, быть может, конечного их числа.

Определение 5.Последовательностьназываетсясходящейся,если. В против-ном случае последовательностьназываетсярасходящейся.

§4. Мощность множества

В математике среди основных проблем встречаются так называемые задачи классификации, в которых требуется выделить объекты (математические структуры), обладающие в каком-то смысле одинаковыми свойствами, в частности одинаковым количеством элементов. Когда элементов во множествах конечное число, это можно сделать просто, пересчитав их элементы и сравнив результаты. Однако, если элементов сравниваемых двух множеств бесконечно много (например, множеств натуральных и целых чисел, множеств точек прямой и отрезка), то их пересчёт уже невозможен, и требуется иной способ сравнения. В качестве такого способа сравнения множеств предлагается выяснить, существует или нет биекция одного из множеств в другое. При этом будет очевидно, что если два множества с конечным числом элементов имеют их одинаковое количество, то такое отображение существует.

Понятие мощности множества

Определение 1.МножестваАиВназываютсяэквивалентными или равномощными,если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть если одно из них можно биективно отобразить на другое.

Обозначается А  В.Имеют место следующие утверждения:

1. АА  А – рефлексивность;

2. Если АВ, тоВА – симметричность;

3. Если АВиВС, то АС – транзитивность.

Упражнение. Доказать самостоятельно утверждения 1-3.

Из 1)-3) следует, что отношение равномощности является рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть является отношением эквивалентности. Отношение равномощности разбивает все множества на непересекающиеся классы эквивалентности. К одному классу относятся все равномощные между собой множества. Если множества АиВпринадлежат различным классам, то они не равномощны. Каждому классу поставим в соответствие некоторый символ. Если множествоАпринадлежит классу с символом, то говорят, что множествоАимеетмощность , или кардинальное число .Если некоторый класс состоит из конечных множеств, то- число элементов множеств данного класса. Следовательно, под мощностью конечного множества понимается число элементов этого множества. Для бесконечных множеств понятие мощности является обобщением числа элементов.

Обозначение мощности: . Если множества АиВпринадлежат различным классам, то.