§11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Определение. Последовательность (x_n) называется фундаментальной, если выполнено. (1)

Теорема (критерий Коши сходимости числовой последовательности)

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть (x_n) сходится, т.е. (2)

Возьмем m>N, для него тоже выполнено неравенство (2): . Тогда

.

Следовательно (по определению) (x_n) фундаментальна.

2) Достаточность.

Пусть (x_n) фундаментальна, т.е.  .

Отсюда x_m-<x_n<x_m+ n>N. Т.е., начиная с номера N+1, последовательность ограничена. Выберем .Тогда, т.е. последовательность(x_n) ограничена. Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность :. Покажем, что тогда и .

, и одновременно n_k>N.

Т.к. в неравенстве (1) m>N, то возьмем в нем m=n_k, получим .

Тогда n>N. Это означает, что , т.е. последовательность (x_n) сходится.

26