2. Модуль действительного числа и его свойства Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а|, определяемое формулой:

Геометрический смысл модуля: ||- расстояние от точки 0 до точкиа на числовой оси.

Из определения модуля вытекают его свойства.

Cвойства модуля

1. |a|=|-a|.

1) Пусть а>0. Тогда |а| = а. Если а>0, то –а<0 и |-а|=-(-а)=а |а|=|-а|= а.

2) Пусть а<0. Тогда |а|= -а. Если а<0, то -а>0 и |-а|= -а |а|=|-а| = -а.

2. -|а|а|а|.

I. Докажем, что -|а|а

1. а>0 . Тогда -|а| = -а, -а<а, то есть -|а|<а,

2. а<0. Тогда -|а|= -(-а). Итак, -|а| а.

   2. Докажем, что а|а|

1. a>0. Тогда |а| = а и получаем равенство

2. a<0. Тогда |а| = -а, -а>0 и а <-а  a<|а|.

Итак, в любом случае а|а|.

3. b0 неравенство |х|b равносильно -bхb (при b<0 неравенство |х|b не верно ни при каком х).

1) Докажем (1) |х|b-bхb (2).

(1)-|х|-b. По свойству 2-|х|х|х| -b-|х|х|х|b, то есть -bхb.

2) Докажем, что (2)(1).

Имеем-bхb. Так как хb и b0, то-хb. Но |х| равен либо х, либо –х|х|b.

Геометрический смысл: Пример 1.А);

б) |х|<<x<7.

4. b0 |х|b  . (если b<0, то неравенство верно для любого х)

1) Необходимость.

Имеем |х|b.

Если , то |х|=

Если , то |х|=

2) Достаточность.

Имеем , но |х|=х или |х|=-х |х|.

Геометрический смысл:

Пример 2.

а) б)

5. (неравенство треугольника) |а+b||а|+|b|

(Модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел).

По свойству 2: +

По свойству 3|а+b||а|+|b|.

Замечание. С помощью метода математической индукции неравенство треугольника можно обобщить конечного числа слагаемых:

.

1) Для п=2 неравенство доказано.

2) Предположим, что оно верно для п=k . Докажем, что оно верно для п=k+1.

верно для п=к+1.

6. |а-b||а|+|b|

Доказательство из 5заменойb на -b.

7. |а-b||а|-|b|

8.|а+b||а|-|b|

Доказательство. из 7заменойb на -b.

Из 5-8

9.

По свойству 7|а-b||а|-|b|  |b-a||b|-|a| или |а-b||b|-|a| Умножим на (-1)

 -|а-b||а|-|b|

Получим: По свойству 3  .

10

Докажем для произведения (частное аналогично).

Возможны 4 случая:

1)

2)

3) аналогично 2)

4) .

11.

Пример 3.а)

б)

в)

12. 1)

2)

1),

2).

Геометрический смысл величины .

- расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Геометрический

смысл неравенства .

По свойству 3

-b<x-a<b

 a-b<x<a+b

.

Число хнаходится от точкиана расстоянии меньшем, чемb.

3. Числовые множества. Промежутки. Окрестности

Определение. Числовое множество- множество, элементами которого являются действительные числа.

Примеры числовых множеств.

.

1. Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток)

2. Интервал (открытый промежуток)

3. Полуинтервалы ,

1)-3) называются промежутками и обозначаются .

4. Бесконечные промежутки:

, ,

,

- вся числовая прямая.

Окрестность точки

Пусть

Определение 1. окрестностью точки а называется интервал, содержащий точкуа. Обозначается V(a).

Определение 2.-окрестностью точки а -называется интервал, с центром в точке а и радиусом . Обозначается V(a;).

V(a;)=(a-;a+) или V(a;)=, V(a;)=.

У каждой точки существует бесконечно много -окрестностей.

Если , то. Но среди -окрестностей нет самой маленькой.

Любые две различные точки имеют непересекающиеся -окрестности.

Пусть .

Возьмём . Например, положим.

Тогда

(так как ).

Определение 3. Проколотой -окрестностью точки а называется

-окрестность без точки а.

Обозначается

=

Определение 4.

- -окрестность точки +,

- -окрестность точки -,

- -окрестность точки.

Определение 5.Односторонние окрестности точки а:

- левая проколотая

-окрестность точки а,

- правая проколотая

-окрестность точки а.

В дальнейшем будем рассматривать только -окрестности. Будем называть их просто окрестностями.