- •Введение в анализ
- •§1. Действительные числа
- •1. Понятие действительного числа
- •2. Модуль действительного числа и его свойства Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а|, определяемое формулой:
- •Геометрический смысл: Пример 1.А);
- •По свойству 3
- •Число хнаходится от точкиана расстоянии меньшем, чемb.
- •3. Числовые множества. Промежутки. Окрестности
- •§ 2. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств
- •§ 3. Предел последовательности
- •2. Предел последовательности. Пусть дана последовательность :(1)
- •3. Единственность предела
- •4. Ограниченность сходящейся последовательности
- •Доказательство.
- •5. Свойства сходящихся последовательностей
- •§ 4. Бесконечно малые последовательности
- •§ 5. Бесконечно большие последовательности (ббп)
- •§ 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над сходящимися последовательностями
- •3. Произведение .
- •§7. Предел монотонной последовательности (признаки существования предела последовательности)
- •§ 8. Принцип вложенных отрезков
- •§ 9. Число е.
- •§10. Подпоследовательности
- •§11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности
Введение в анализ
Логические символы:
- квантор общности;
х – «для всех х» («для любого х», « для всякого х»);
- квантор существования;
х- «существует х»;
( ) – «не существует»;
- следствие (из первого высказывания следует второе);
- равносильность утверждений, стоящих по разные стороны от знака ;
: ( | ) – « такой, что » («для которого»);
! – единственный.
§1. Действительные числа
1. Понятие действительного числа
Понятие числа прошло длинный путь развития. Вначале в связи с необходимостью подсчёта предметов возникли простейшие числа - натуральные ={1;2;3;4;…;n;…}. На действуют операции сложения и умножения, то есть m,n, m+n и mn.
Введение вычитания привело к расширению множества до– множествацелых чисел:={0;±1;±2;±3;…}.
Введение деления расширило множество целых чисел до множества рациональных чисел: =.
На множестве определены операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль).
- упорядоченное множество, то есть a,bлибоa<b, либо a>b.
- плотное множество, то есть a,b: a<b промежуточное рациональное числоc, то есть c: a<c<b (например: ).
Ясно, что a,b бесконечно много промежуточных рациональных чисел. не является непрерывным множеством (если отметить все рациональные числа точками на числовой оси, то на ней будут "дыры"- точки, которым не соответствует никакое рациональное число).
Необходимость решать задачи, неразрешимые на множестве , привело к возникновению идеи "дополнения" множества рациональных чисел. Например: в неразрешимо уравнение . То есть, нет такого рационального числа, квадрат которого равен 2 Для доказательства этого факта вначале введём определение. Два рациональных числаиназываютсяравными, если =. Поэтому каждое рациональное число можно единственнымобразом представить в виде несократимой дроби , гдеp и q - взаимно простые.
Утверждение. х :.
Доказательство.
Пусть :=. Пусть дробь- несократима (в противном случае её можно сократить). Из равенства (1)- чётное, то есть=(2). Тогда (подставим (2) в (1)):==- чётное- чётное. Получим, чтоиявляются четными, то есть дробьможно сократить. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение неверно и не существует рационального числа, квадрат которого равен.
Число является иррациональным. Изобразим на числовой оси.
Существуют различные подходы к определению иррационального числа. Один из них через понятие бесконечной десятичной дроби. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби: (=;==). Если число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, то оно являетсяиррациональным: (=1,414213…;=1,732050…; π=3,141592…;=2,71828…).
Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: (I- множество иррациональных чисел).
Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.
Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую, без "дыр". Множество непрерывно.
Свойство непрерывности R. Пусть - произвольные множества изи и выполняется . Тогда и выполняется .