§ 9. Число е.

Лемма (неравенство Бернулли) ,выполняется

.

Доказательство.

(Методом математической индукции)

1) n=1: - верно.

2) Пусть неравенство верно для n=k, то есть . Докажем, что оно верно и дляn=k+1. Умножим обе части на 1+h. Так как , то. Раскроем справа скобки:

, так как .

То есть неравенство верно для n=k+1.

Из 1), 2) следует, что ,выполняется.

Рассмотрим последовательность :. Докажем, что она имеет предел.

1) Рассмотрим последовательность :.

Докажем, что она имеет предел. Для этого покажем, что

а) не возрастает,

б) ограничена снизу.

а)

;

Тогда

, следовательно, не возрастает.

б) , значит,ограничена снизу.

Из а) и б) чтоимеет предел (по теореме 1 § 7).

2) .

Так как и , то.

Этот предел принято обозначать буквой е:

.

е- иррациональное число, впервые введенное Эйлером (1707-1783).

е=2,718281828459045…

§10. Подпоследовательности

Рассмотрим последовательность (1)

Выберем произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел

Выберем из последовательности (1) члены с номерами , получим последовательность(2)

Последовательность (2) называется подпоследовательностью (или частичной последовательностью) последовательности (1).

Например, из последовательности натуральных чисел выберем последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11,… Получим последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности (1).

к	1	2	3	4	…
пк	1	3	5	7	…
	х1	х3	х5	х7	…

Из последовательности (1) можно выделить бесконечное множество подпоследовательностей.

Отметим, что .

Теорема 1. Если последовательность (1) сходится к некоторому числу а (то есть ) , то любая ее подпоследовательность сходится к тому же числуа.

Доказательство.

выполнено .

Возьмем произвольную подпоследовательность (2) последовательности (1).

Так как , тои, значит,.

Имеем: .

Теорема 2. (Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

Пусть (1) - ограниченная последовательность, то есть

.

Рассмотрим отрезок , он содержит все члены последовательности (1).

Положим, , длинаравна длине. По крайней мере, один из них содержит бесконечно много членов последовательности(доказательство от противного), обозначим его. (Если окажется, что оба отрезка содержат бесконечное число членов (1), то выбираем любой из них).

Отрезок делим на 2 равные части и черезобозначаем ту из них, которая содержит бесконечное множество число членов последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последовательность вложенных отрезков:(3)

Каждый отрезок содержит бесконечно много членов последовательности (1).

Последовательность (3) является стягивающейся, так как . Следовательно, по теореме § 8 существует единственная точкас, принадлежащая всем отрезкам последовательности (3), то есть , .

Построим подпоследовательность последовательности (1), сходящуюся к числус , следующим образом. Возьмем какой-нибудь из членов последовательности (1), содержащийся наи обозначим его, навозьмем какой-либо член последовательности (1) и обозначим егои так далее. Это всегда можно сделать, так как все эти отрезки содержат бесконечно много членов последовательности(1). Получим подпоследовательностьпоследовательности (1).

, так как , то по теореме о пределе промежуточной последовательности.

Теорема 3. Из всякой неограниченной последовательности можно выделить ББП.

Доказательство.

не ограничена .

Возьмем к=1: ,

,

……………………….

Получим подпоследовательность :М выполнено .