§ 3. Предел последовательности

1. Числовая последовательность

Определение 1. Если каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x_n, то говорят, что определена числовая последовательность

Её обозначают: или.

Определение 2. Последовательность называетсяограниченной сверху (снизу), если выполняется.

Определение 3. Последовательность называетсянеограниченной сверху (снизу), если .

Определение 4. Последовательность называетсяограниченной, если выполнено.

Определение 5. Последовательность называетсянеограниченной, если :.

Определение 6. Последовательность называетсявозрастающей (убывающей), если выполнено().

Определение 7. Последовательность называетсяневозрастающей (неубывающей), если выполнено().

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

2. Предел последовательности. Пусть дана последовательность :(1)

Определение 1. Число а называется пределом последовательности , есливыполнено(2)

Обозначается: или или.

Если последовательностьимеет предела, то она называется сходящейся к а.

Если последовательностьне имеет предела, то она называетсярасходящейся.

Определение 2. Последовательностьназываетсясходящейся, если выполнено.

Неравенство (2) равносильно неравенству . Следовательно, определение предела последовательности можно сформулировать в терминах окрестностей.

Определение 3. Число а называется пределом последовательности , если .

Геометрический смысл предела последовательности

Числоа является пределом последовательности , если в любой  - окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов).

Определение 4. .

Пример 1. Доказать .

∆ Согласно определению 1 надо доказать, что выполняется неравенство . (*)

Выберем произвольное число и найдем номер, начиная, с которого выполнено неравенство (*)(**)

Положим, дляn=N+1,N+2… будет выполняться неравенство (**) а, значит, и равносильное ему неравенство (*)  . ∆

Определение. Последовательность называется стационарной, если все ее члены равны между собой, т.е. выполненоx_n=x_m=a, то есть получаем последовательность a; а; а; а;…; а;…

Всякая стационарная последовательность имеет предел, равный общему значению всех ее членов.

Действительно, пусть . ВозьмемТогда. Значит,.

3. Единственность предела

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного) Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

>0 ,.

Обозначим . Тогдавыполненои. Тогда.

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа(его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а=0 и значит, а=b.

Полученное противоречие доказывает теорему.

4. Ограниченность сходящейся последовательности

Теорема 2. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено.

.

Значит, выполнено .

Обозначим М=. Тогдаnвыполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Последовательность может быть ограничена, но не иметь предела.

Пример. . (док-во позже)

Следствие. Если последовательностьне ограничена, то она расходится.

(доказательство от противного)