5. Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 3. Если иa<b (a>b), то N:n>N выполнено x_n<y_n (x_n>y_n).

Следствие 1. Если иa<b (a>b), то N: n>N выполнено .

Доказательство следует из теоремы 3, если в качестве взять стационарную последовательность.

Следствие 2. Если иa<0 (a>0), то N: n>N выполнено .

Теорема 4. (предельный переход в неравенствах) Если ,иn>N выполняется , то.

Отметим, что из строгого неравенства не следует строгое, а следует нестрогое: .

Пример 2. ,n.

, , то есть.

Теорема 5. (О пределе промежуточной последовательности)

Пусть , , - последовательности, удовлетворяющие условию

n>N₀. (1)

Если , то.

Доказательство.

Выберем . По определению предела для выбранного имеем:

выполнено ; то есть, (2)

выполнено ; то есть. (3)

Пусть N=max{N₀, N₁, N₂} Тогда n>N выполняются неравенства (1) – (3)

.

Пример 2. Найти .

∆ Обозначим .

.

Обозначим : ,

: . Тогда по теореме 5. ∆

§ 4. Бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если .

Это означает, что выполнено .

Геометрический смысл. Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера .

Примеры. -БМП (доказали ранее, см. пример 1§3).

- доказательство аналогично пр.1.

Теорема 1. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

Доказательство.

Докажем для случая 2-х БМП. Случай n последовательностей доказывается с помощью ММИ.

Пусть , БМП. Докажем, что- БМП, то есть.

Выберем . Так как,, то для выбранного выполнено,

выполнено .

Положим, N=max{N₁, N₂}. Тогда n>N выполняется и.

n>N  .

Теорема 2. Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП.

Доказательство.

Пусть - ограниченная последовательность, а - БМП.

По определению ограниченной последовательности: выполняется.

Выберем , так как- БМП, товыполнено.

.

Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия.

Следствие 1. Если БМП, , то - БМП.

Доказательство следует из теоремы 2, если положить :y_n=C n, то есть - стационарная последовательность (она ограничена).

Следствие 2. Разность двух БМП есть БМП.

Доказательство следует из теоремы 1 и следствия 1, так как .

Следствие 3. Произведение двух БМП есть БМП.

Доказательство следует из теоремы 2 (БМП является ограниченной по необходимому условию сходимости).

Следствие 4. Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП.

Доказательство следует из теоремы 2 и необходимого условия сходимости.

Замечание 1. Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП.

Замечание 2. Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , - БМП, томожет и не быть БМП.

Пример 1. БМП,.

Пример 2. а) ;

б) ;

в) : ,=огрБМП=БМП

.

Теорема 3. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где- БМП, то есть.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность.

По определению предела выполнено.

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено. Значит, - БМП , где- БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где.

По определению предела выполнено. Так как

, то n>N  .