§ 2. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств

Пусть Е- произвольное числовое множество, .

Определение 1. Число называетсянаименьшим (наибольшим) элементом множества Е, если выполняется. ЕслиЕ имеет наибольший (наименьший) элемент, то он .

Определение 2. Множество Е называется ограниченным сверху, если выполнено.

Определение 3. Число b называется верхней границей множества Е, если .

Очевидно, что если b- верхняя граница множества Е, то любое число, большее b, также будет верхней границей множества Е. Таким образом ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.

Пример 1. ограничено сверху. Одна из верхних границ - число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например,выполнено

Определение 4. Множество Е называется ограниченным снизу, если выполнено.

Число а называется нижней границей множества Е.

Определение 5. Множество Е неограниченно сверху, если .

Определение 6. Множество Е неограниченно снизу, если :.

Определение 7. Множество Е называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть выполнено.

Определение 7.Множество Е называется ограниченным, если выполнено.

Замечание. Определения 7 и 7эквивалентны (равны).

1) Опр. 7опр. 7.

Имеем: выполнено.

Положим выполняется, то есть.

2) Опр. 7опр. 7

Имеем: выполнено. Положимвыполнено.

Пример 2.

Е - ограниченное множество: и.

Определение 8. Множество называетсянеограниченным, если :.

Определение 9. Верхней гранью множества Е (или точной верхней границей множества Е) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е. Обозначается (супремум) или

Пример 3. а) , так как-множество всех верхних границ множестваЕ, -наименьшая из них.

б) .

в) .

То есть верхняя грань числового множества может ему принадлежать и не принадлежать

Определение 9. 1)выполнено,

2) .

Условие 2) можно заменить:.

Замечание. Опр. 9  опр. 9.

1) Опр. 9опр. 9.

Пусть M=supE. Тогда по определению 9 М - верхняя граница, так как выполнено(условие 1) опр. 9). Так как по опр. 9 М - наименьшая из верхних границ, то не является верхней границей. Тогда. Но это равносильно условию 2).

2) Опр. 9опр. 9:

Условие 1) означает, что число М является верхней границей.

Условие 2) означает, что число М является наименьшей из верхних границ

(то есть её нельзя уменьшить).

Определение 10. Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.

Обозначается m=infE (инфимум) или .

infE может как принадлежать так и не принадлежать множеству E.

Определение 10. 1)выполнено,

2) .

Условие 2) можно заменить:.

Условие 1) означает, что число m является нижней границей.

Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство.

Пусть – ограничено сверху. ПустьY – множество чисел, ограничивающих сверху множество Х. Так как Х ограничено сверху, то . Так как каждый элементограничивает сверху множествоХ , то выполняется. Тогда в силу непрерывности множестваивыполняется.

Неравенство означает, что ограничивает сверху множество Х, то есть является верхней границей.

Неравенство означает, что- наименьшая из верхних границ (так как Y- множество верхних границ) .

Аналогично доказывается утверждение для ограниченного снизу множества.

Определение 11. Если множество Е не ограничено сверху, то . Если множествоЕ не ограничено снизу, то