3. Произведение .

1) ,,

2) ,,

3) , - неопределенность вида .

Существуют еще другие виды неопределенностей, связанные со степенями.

Пример 3. Вычислить

∆ Числитель ,

Знаменатель ,

.∆

Пример 4. Вычислить

∆ Воспользуемся формулой , тогда

. ∆

Пример 5. ∆

.∆

Пример 6. Доказать, что

∆ 1) Рассмотрим случай a>1. Покажем, что .

Выберем и найдем номервыполнено(так какa>1) .

Положим , тогдавыполненоверно приa>1.

2) Пусть 0<a<1. Запишем . Так как 0<a<1, то - ББП (по п.1) - БМП.

3) -1<a<0.

(огр.БМП);

4) a<-1.

Тогда . Т. к.a<-1, то . Т. к. в этом случае- БМП (см. п.3), то- ББП и, следовательно,.

5) .

6) .

7) не существует (пример 3 §3).∆

Пример 7.

∆

.∆

Пример 8. .

∆ Рассмотрим последовательности ,.

Надо найти .

- БМП,

- ограниченная последовательность

.∆

§7. Предел монотонной последовательности (признаки существования предела последовательности)

Определение 1. Верхней гранью последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности.

Обозначается .

Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Если множество значений неограниченно сверху, то.

Определение. 1. 1),

2) .

Определение 2. Нижней гранью последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности.

Обозначается inf x_n.

Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то. Если множество значений не ограничено снизу, то.

Определение 2. 1),

2) .

Примеры.

1)

Множество значений .

2) ,

, .

Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху.

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1' для этого выполняется два условия:

1) ,

2)

Так как - неубывающая, то.

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит,выполнено . Т. е. .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно,.

Теорема 2. 1) Всякая неубывающая, неограниченная сверху последовательность имеет.

2) Всякая невозрастающая, неограниченная снизу последовательность имеет.

Доказательство.

1) неограниченная сверху,

неубывающаяили .

Т.о. .

2) Доказывается аналогично, причем .

§ 8. Принцип вложенных отрезков

Пусть дана последовательность отрезков

a_n<b_n

Определение 1. Последовательность отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если

, (1)

то есть каждый последующий отрезок содержится в предыдущем.

Определение 2. Последовательность вложенных отрезков называется стягивающейся, если длины этих отрезков стремятся к нулю при возрастании n, то есть если .

Теорема. (принцип вложенных отрезков).

Для любой стягивающейся последовательности вложенных отрезков существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, то есть такая, что .

Доказательство.

Левые концы отрезков последовательности (1) образуют неубывающую последовательность: , а правые концы – невозрастающую последовательность:Так как, то – ограничена сверху; так както - ограничена снизу.

Так как - неубывающая и ограничена сверху, то по теореме 1 § 7 она имеет предел:, причем . (2)

По теореме 1 § 7 , . (3)

Тогда из соотношения .

Общее значение  и  обозначим через с. Из (2), (3) следует, что , то есть точкас принадлежит всем отрезкам последовательности (1).

Покажем, чтос единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Допустим противное. Пусть точка с₁с: . Следовательно,должно выполняться неравенство, значит,, что противоречит условию теоремы.

Замечание. Доказанная теорема становится неверной, если в ней вместо отрезков рассматривать интервалы. Например, интервалы последовательности вложенных интервалов (у которой ):

Интервалы этой последовательности не имеют ни одной общей точки, так как какую бы точку мы ни брали,, и интервалы этой последовательности, начиная с, не содержат т.. Точка 0 является общим левым началом всех интервалов, но не принадлежит им.