§12. Функции и их общие свойства

1. Отображение. Виды отображений

Пусть X={x}, Y={y}- произвольные множества.

Определение 1. Отображением множества Х во множество Y (или функцией, определенной на Х со значениями в Y) называется соответствие f, которое каждому элементу xX соотносит единственный элемент yY, обозначаемый y=f(x).

Элемент y=f(x) называется образом элемента x при отображении f или значением функции f.

Обозначается f: XY или X Y.

X- множество, где определена функция, называется областью определения функции.

Образом множества АX при отображении f называется множество f(A)={yY:y=f(x), xА}. Множество f(X), т.е. образ множества X называется множеством значений функции (отображения).

Определение 2. Отображение множества X во множество Y называется отображением X в Y, если f(Х)Y.

Определение 3. Отображение множества X во множество Y называется отображением X на Y (или сюрьективным отображением), если f(Х)=Y т.е. отображение f сюрьективно, если yY xX: f(x)=y.

Возьмём yf(X) xX: f(x)=y. Этих элементов может быть несколько. Множество всех xX, таких что f(x)=y называют полным прообразом элемента y при отображении f и обозначают f ^-1(y),

т.е. f ^-1(y)={xX: f(x)=y}.

Определение 4. Отображение f:XY называется инъективным (обратимым), если yY его полный прообраз f ^-1(y) состоит не более, чем из одного элемента.

Определение 4. Отображение f:XY называют инъективным, если различным элементам хХ соответствует различные элементы yY, т.е. x₁, x₂Х: x₁ x₂  f(x₁)f(x₂).

Определение 5. Отображение f:XY называется взаимно-однозначным (или биективным), если оно инъективно и сюрьективно. Таким образом, отображение f:XY взаимно-однозначно, если yY его полный прообраз состоит только из одного элемента.

2. Сужение функций

Пусть функция y=f(x) задана на множестве X.

Пусть АX. Тогда отображение f естественным образом порождает отображение (функцию), определённую на А и ставящую в соответствие xА элемент f(x)=y. Эту новую функцию называют сужением функции f на множестве АX и обозначают f_А. Таким образом, f_А: АY, f_А(x)=f(x) xА.

Пример. y=f(x)=sinx, x

А=[0;2π]

y=f_А(x)=sinx, x[0;2π]- сужение.

3.Действительная функция действительного переменного

Определение. Действительной функцией действительного переменного называется функция f:X, где X. Элемент x называется аргументом функции f (или независимой переменной), элемент y=f(x)- зависимой переменной.

Такие функции называют числовыми. Название ДФДП связано с тем, что x и y - действительные переменные, принимающие действительные значения.

Множество, на котором определена функция, называется областью определения и обозначается D(f). Множество ее значений обозначается Е(f).

Таким образом, для задания функции f необходимо задать ее область определения и закон f, по которому каждому элементу xD ставится в соответствие определенное число y.

4.Способы задания функции

Существует несколько способов задания функции.

1. Аналитический способ.

При этом соответствие f задано с помощью формулы (аналитического выражения), указывающей, какие действия и в каком порядке надо совершить над аргументом x, чтобы получить соответствующее значение функции.

Например, y=sin x³ +,x.

Одно и то же аналитическое выражение может, определять различные функции, если они заданы на различных множествах, т.е. имеют разные D(f). Если функция задана формулой и не указана D(f), то считают, что функция задана на множестве тех значений, аргумента x, для которых формула имеет смысл.

Пример 1. y=f(x)= . НайтиD(f)

D(f):  

Значит,D(f)=(-∞;-3][3;4).

Функция может быть задана различными формулами, например,

2. Словесное задание функций.

Пример 2. y= π(x)- функция, ставящая каждому значению x в соответствие количество простых чисел, не превосходящих его.

π(7)=4 (2,3,5,7)

π()=5 (2,3,5,7,11)

Пример 3. (signum – знак)

Пример 4. Функция Дирихле

3. Табличный способ.

При этом способе выписываются значения независимой переменной x и соответствующие им значения функции.

х	x1	x2	x3	…	xn
y	f(x1)	f(x2)	f(x3)	…	f(xn)

Достоинство: легко найти значение функции в нужной точке.

Недостатки: 1) конечность D(f) (невозможность отыскать промежуточные значения аргумента), 2) малая наглядность.

4. Графический способ.

Координатная плоскость - обычная геометрическая плоскость с выбранной на ней прямоугольной системой координат. Множество всех упорядоченных пар действительных чисел называется числовой плоскостью и обозначается , а отдельные пары чисел - ее точками, {(x,y)}=. Между координатной плоскостью и числовой плоскостью можно установить взаимно-однозначное соответствие: М(x,y) (x,y), где М(x,y)- произвольная точка координатной плоскости, (x,y)- точка числовой плоскости ,х, у- её координаты.

Пусть функция y=f(x) задана на множестве D, т.е. xD. Задание функции равносильно заданию множества пар чисел {(x,y):y=f(x), xD}.

Изобразим его на координатной плоскости. Полученное множество точек называется графиком функции.

Определение. Графиком функции f называется множество точек координатной плоскости {M(x,y):y=f(x), xD}. Часто графиком функции является кривая.

Пример 5. y=[x]=E(x), x (антье от х)- целая часть числа x, (наибольшее целое число, не превосходящее данного действительного числа).

Пример 6. y={x}=x-[x], x-дробная часть числа x.

0x<1 y=x,

1x<2 y=x-1,

2x<3 y=x-2,

-1x<0 y=x+1.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком функции. Т.к. по определению функции xD соответствует только одно значение y, то любая прямая, параллельная оси Оy, может пересекать график не больше, чем в одной точке.

Данные кривые не могут служить графиками функций.

Заметим, что график функций может состоять из кусков различных кривых, из отдельных точек.

Задание функции с помощью графика называется графическим способом задания функции.

Достоинство: наглядность (по графику можно судить о характере поведения функции).

Недостатки: 1)невозможно применить в должной мере математический аппарат,

2)приближённое построение чертежа.

3)построение чертежа для ограниченного множества точек.