22. Представление дифференциальных уравнений систем в форме Коши

Процедура преобразования дифференциального уравнения -го порядка в векторно-матричное уравнение, состоящее издифференциальных уравнений первого порядка, осуществляется путем введения дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные называются переменными состояния системы, объекта.

Рассмотрим алгоритм такого преобразования на примере. Допустим, динамическое движение системы описывается уравнением

,

где – задающее (входное) воздействие,– выходная переменная.

Введем дополнительные переменные и обозначим:

Тогда исходное уравнение представляется в виде системы уравнений, в которых слева от знака равенства первые производные введенных переменных:

(6.4)

Каждое уравнение этой системы уравнений записано в форме Коши. В векторно-матричной форме система (6.4) принимает следующий вид

или в компактной форме

,

где – вектор 3-го порядка матрица переменных состояния;– матрица коэффициентов переменных состояния матрица;- вектор 3-го порядка матрица коэффициентов задающего воздействия;- скалярное управляющее воздействие.

23. Представление дифференциальных уравнений в виде структурных схем

Большинство технолог. объектов могут быть описаны дифференциальными уравнениями в форме Коши и приведены к векторно-матричной форме записи в пространстве состояний следующего вида:

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение объекта или процесса

алгебраическое уравнение, описывающее технологическую возможность измерительной системы измерять компоненты n-мерного вектора переменных состояния и компонентыr-мерного вектора управляющих воздействий

A–n×n – матрица параметров;

B – n×r – матрица управляющих воздействий;

U–r – мерный вектор, y-m-мерный вектор,

C –m×n – матрица, характеризующая техническую возможность измерения переменных состоянияx(t),

D–m×r – матрица, характеризующая техническую возможность измерения переменных управляющих воздействий

Структурная схема, соответствующая данным уравнениям:

Рассмотрим алгоритм записи дифференциального уравнения второго порядка в виде уравнений в форме Коши. Допустим, система представлена уравнением вида

, (6.6)

где – входная переменная,– выходная переменная – в терминах пространства состояний.

Структурная схема, соответствующая этому уравнению приведена на рис. 6.6.