- •Экзамен по матану
- •1) Частные виды матриц.
- •2) Определители. Правила вычисления
- •3) Свойства определителей
- •4) Обратная матрица, вычисление, приложение.
- •5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
- •6) Теорема Кронекера – Капели
- •7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.
- •8)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •9) Решение неопределённых систем линейных уравнений.
- •10) Однородные системы линейных уравнений
- •11. Векторы. Линейные операции над векторами
- •12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.
- •13. Векторное произведение векторов
- •14.Смешанное произведение векторов
- •15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.
- •16.Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
- •17.Общее уравнение плоскости вывод исследование
- •18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.
- •19.Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве
- •20.Цилиндрические и канонические поверхности
- •21. Теорема о разности между переменной и её пределом ( Основная т. О пределах)
- •22.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых величин
- •23.Первый замечательный предел
- •24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных
- •25.Точки разрыва и их классификации
- •26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.
- •27.Вывод производных тригонометрических функций sincostgctg
- •28 Производная обратной функции
- •29.Вывод производной и логарифмический показатель функции (axиlogax)
- •31. Производная неявной функции. Производная функции заданной параметрически.
- •32.Теорема ферма
- •33.Теорема Роля
- •34.Теорема Коши
- •35. Теорема Лопиталя
- •36. Раскрытие неопределённости вида 0*∞, ∞-∞, 1∞
- •37. Условие монотонности. Необходимое условие экстремума.
24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных
Пусть и– бесконечно малые функции при. Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то иназываются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, чтоиявляются эквивалентными бесконечно малыми прии записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению сприа функцияимеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, еслиипредставляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, чтоявляется бесконечно малой n-го порядка по сравнению с. Например, функцияявляется бесконечно малой 4-го порядка по сравнению спри x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малыеикак бы меняются своими ролями. В этом случае функцияявляется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению спри. Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
Если и– эквивалентные бесконечно малых прито их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. Действительно,
Для записи такого утверждения используется выражение
Бесконечно малые иявляются эквивалентными, еслииявляются бесконечно малыми одного и того же порядка. Если– бесконечно малая более высокого порядка по сравнению сприто
25.Точки разрыва и их классификации
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
| ||
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
| ||
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
Рисунок 1. |
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a , если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.
Пусть функции u = u(x), v= v(x) дифференцируемы. Тогда
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функции u, v получат приращения
Пусть y = u + v, тогда
Воспользовавшись свойством предела суммы функции, получаем
Утверждение 1) теоремы доказано.
Если y = u v, то Прибавив и отняв в правой части этого равенства произведение, после перегруппировки слагаемых получим. Воспользовавшись свойствами предела функции, получаем
Утверждение 2) теоремы доказано.
Теперь, если
Прибавив и отняв в правой части этого равенства частное , после перегруппировки слагаемых получим
Далее аналогично доказываем утверждение 3). Теорема доказана.
Из теорем 2,3 следует, что постоянную можно выносить за знак производной, т.е. (cy)' = cy'