- •Экзамен по матану
- •1) Частные виды матриц.
- •2) Определители. Правила вычисления
- •3) Свойства определителей
- •4) Обратная матрица, вычисление, приложение.
- •5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
- •6) Теорема Кронекера – Капели
- •7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.
- •8)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •9) Решение неопределённых систем линейных уравнений.
- •10) Однородные системы линейных уравнений
- •11. Векторы. Линейные операции над векторами
- •12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.
- •13. Векторное произведение векторов
- •14.Смешанное произведение векторов
- •15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.
- •16.Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
- •17.Общее уравнение плоскости вывод исследование
- •18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.
- •19.Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве
- •20.Цилиндрические и канонические поверхности
- •21. Теорема о разности между переменной и её пределом ( Основная т. О пределах)
- •22.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых величин
- •23.Первый замечательный предел
- •24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных
- •25.Точки разрыва и их классификации
- •26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.
- •27.Вывод производных тригонометрических функций sincostgctg
- •28 Производная обратной функции
- •29.Вывод производной и логарифмический показатель функции (axиlogax)
- •31. Производная неявной функции. Производная функции заданной параметрически.
- •32.Теорема ферма
- •33.Теорема Роля
- •34.Теорема Коши
- •35. Теорема Лопиталя
- •36. Раскрытие неопределённости вида 0*∞, ∞-∞, 1∞
- •37. Условие монотонности. Необходимое условие экстремума.
12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и:где- угол между векторамии; еслилибо, тоИз определения скалярного произведения следует, чтогде, например,есть величина проекции векторана направление вектора.
Скалярный квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
Угол между векторами:
Оценка угла между векторами: в формулезнак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором:,
условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторови:
Площадь параллелограмма, натянутого на два вектораи, равна
Скалярное произведение в координатах
Если то
Угол между векторами
13. Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на векторв пространственазывается вектор, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора равна произведению длин векторовина синус угламежду ними:;
вектор ортогонален каждому из векторови;
вектор направлен так, что тройка векторовявляется правой.
14.Смешанное произведение векторов
Сме́шанное произведе́ние векторов— скалярное произведение векторана векторное произведение векторови:
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови:
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови, взятому со знаком "минус":
В частности,
Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда образованного векторамии; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением видапри некотором наборе значений A, B и C.
Докажемсначала, что уравнение видазадает прямую на плоскости.
Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению, то есть,. Вычтем из левой и правой частей уравнениясоответственно левую и правую части равенства, при этом получаем уравнение вида, которое эквивалентно.
Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторови. То есть, множество всех точекопределяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора. Если бы это было не так, то векторыине были бы перпендикулярными и равенствоне выполнялось бы.
Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение видазадает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.
Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .
Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку,- нормальный вектор прямойa, и пусть- плавающая точка этой прямой. Тогда векторыиперпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть,. Полученное равенство можно переписать в виде. Если принять, то получим уравнение, которое соответствует прямойa.
На этом доказательство теоремы завершено.