9) Решение неопределённых систем линейных уравнений.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Совместная СЛУ– СЛУ, имеющая одно или несколько решений.

Неопределенная СЛУ– совместная СЛУ, имеющая более одного решения.

Решается методом Жордана – Гаусса. Решения выражаются по средством свободных членов.

10) Однородные системы линейных уравнений

СЛАУ называется однородной, если все её свободные члены равны 0.

Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Доказательство По теореме Крамера тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда(т.е. решений системы бесконечное множество).

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

векторов (если):

, …,.

Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицуиз их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нулястолбцов матрицылинейно независимы.

Следовательно, вектора – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли— критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

11. Векторы. Линейные операции над векторами

Геометрическим вектором (или просто вектором) называетсянаправленный отрезок.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой

вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это

позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом

нуль.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на од-

ной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют оди-

наковую длину и одинаковое направление.

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и опе-

рацию умножения векторов на вещественные числа.

Суммойa + b двух векторов a и b называется вектор, идущий

из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b

приложен к концу вектора a.

1. a + b = b + a (переместительное свойство);

2. (a + b) + c= a + (b + c) (сочетательное свойство);

3. а+0=а

4. а+(-а)=0

Разностьюa - b вектора a и вектора b называется такой вектор

c, который в сумме с вектором b дает вектор a.

Произведениемα a (или aα) вектора a на вещественное число α

называется вектор b, коллинеарный вектору a, имеющий длину,

равную |α|·|a| , и имеющий направление, совпадающее с направле-

нием вектора a в случае α > 0 и противоположное направлению

вектора a в случае α < 0.