Экзамен по матану

1) Частные виды матриц.

Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами.

Виды: 1) прямоугольная 2) строка 3) столбец 4) квадратная 5) треугольная 6) диагональная и скалярная 7) еденичная 8)симметричная и косеметричная

Умножение матриц

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц

Произведениемматрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

где , .

Свойства умножения

--ассоциативностьумножения;

, где-- число;

,--дистрибутивностьумножения;,, где-- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство ассоциативности.

На протяжении всего доказательства предполагается, что -- матрица размеров.

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрицадолжна иметь размеры. Произведениеобозначим буквой. Тогда матрицаимеет размеры. Чтобы произведениебыло определено, матрицадолжна иметь размеры. Матрицуобозначим, матрицуобозначим, матрицуобозначим. Покажем, что элементы, стоящие в-ой строке и-ом столбце матрици, равны друг другу, то есть что.

По определению

Подставив из второго равенства в первое, получим

В силу предложения 14.1

В силу предложения 14.3 (14.6)

С другой стороны

откуда

Применим предложение 14.1

Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что .

Ассоциативность умножения доказана...

Доказательство дистрибутивности.

. Чтобы произведение было определено, матрицыидолжны иметь размеры. Положим,,,,. Для доказательства равенства, нужно доказать, что,,.

Так как , то

По определению суммы матриц, . Следовательно,

(14.7)

С другой стороны,

Тогда

Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано…

Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если и— квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицыиназываются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

2) Определители. Правила вычисления

Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам.

Правила вычисления:

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число.Определителемквадратной матрицы порядка,, называется число

где - определитель матрицы порядка, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и столбца с номером.

3) Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.