2.6. Начальные и граничные условия

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для данного уравнения.

2.6.1. Начальные условия

 = _о(x,y,z) при t = 0, (2.38)

если при t = 0 пласт не возмущён, то  = _о = const.

2.6.2. Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

(Г,t)=_к=const, (2.39)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fu = const, т.е. используя уравнение (2.30),

(2.40)

3) переменный поток массы через границу

(2.41)

4) замкнутая внешняя граница

(2.42)

5) бесконечный пласт

lim_x (Г,t) = _к = const. (2.43)

у

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

(r_c , t)=_c=const ; (2.44)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси) или

при r=r_c; (2.45)

3) переменный потенциал на забое

(r_c ,t)=f₂(t) при r=r_c; (2.46)

4) переменный массовый дебит

при r=r_c; (2.47)

5) неработающая скважина

при r=r_c. (2.48)

2.7. Замыкающие соотношения

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей , m, k, μ от давления.

2.7.1. Зависимость плотности от давления

Различают жидкости:

а) Несжимаемую – =соnst. (2.49)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления

, (2.50)

где – коэффициент объёмного расширения жидкости, V_с – объём жидкости; _с= (7–30)10^-10 Па^-1 – для нефти и (2,7–5)10^-10Па^-1 – для пластовой воды.

с) Сжимаемую – газ. До р_пл < 9 МПа и  р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р= R T, (2.51)

где R – газовая постоянная.

Совершенный газ – это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const) используют соотношение

. (2.52)

Если р_пл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=z R T (2.53)

или двузпараметрические уравнения состояния, типа Редлиха – Квонга.

В уравнении (2.53): z – коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.

2.7.2. Зависимость вязкости от давления

При давлениях меньше давления насыщения можно считать, что вязкость не зависит от давления, а при больших значениях давления

. (2.54)

2.7.3. Зависимость пористости от давления

Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды – эффективным давлением _эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что

_эф + р_пл = р_горн = const. (2.55)

Здесь р_пл – пластовое давление; р_горн= _горн g H –горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности _горн; Н – глубина залегания пласта.

При разработке р_пл падает и, согласно (2.55), растёт _эф. Увеличение _эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

, (2.56)

где _т – коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 – 2)10^-10Па^-1.