2.3.2. Трещинная среда

Линейный закон фильтрации. В трещинных пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

u=m_тw. (2.22)

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

(2.23)

Если использовать зависимости (2.23), (1.12), то получаем линейный закон фильтрации в трещинных средах

(2.24)

Проницаемость трещинных сред равна

(2.25)

Для трещинно-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма пористой и трещинной проницаемостей.

Трещинно-пористую среду следует считать деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет изменяться с изменением давления, а именно:

(2.26)

Данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.

Границы применимости линейного закона фильтрации. Так же, как и в пористых средах, в трещинных породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых трещин – 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещинной среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

, а Re_кр=0,4. (2.27)

2.4. Уравнения потенциального движения для пористой среды

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.28)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.29)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.30)

Здесь u – вектор массовой скорости фильтрации; grad – градиент , направленный в сторону быстрейшего возрастания .

Уравнение (2.30) – это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.30)в (2.4), получаем

, (2.31)

а для установившегося течения

. (2.32)

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции , а оператор  оператором Лапласа.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты.

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

• сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;

• произведение частного решения на константу – также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.

2.5. Уравнения фильтрации для трещинно-пористой среды

В чисто трещинном пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещинно-пористой среды следует учитывать её характерные особенности:

1. моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 – роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен – пористые блоки; среда 2 – обычная пористая среда, образующая блоки);

2. между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещинно-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещинно-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:

. (2.33)

Для жидкости в пористых блоках

. (2.34)

Здесь q_1,2 – масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL^-3T^-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q_1,2= (₂ - ₁), (2.35)

где  – коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещинного пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещинно-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р, получаем

(2.36)

Для чисто трещинного пласта

. (2.37)